Kombinatoryka
Ciąg n-elementowy, którego wyrazy nie powtarzają się, nazywa się n wyrazową wariacją bez
powtórzeń. Liczba n-wyrazowych wariacji bez powtórzeń w zbiorze m elementowym (n  m) wynosi
Vmn 
m!
(m  n)!
Ciąg n-elementowy, którego wyrazy mogą się powtarzać, nazywa się n wyrazową wariacją z
powtórzeniami. (Uwaga: Nie musi być spełniony warunek k n). Liczba n-wyrazowych wariacji z
powtórzeniami w zbiorze m elementowym wynosi
n
Vm  mn
Permutacją n-elementowego zbioru X nazywamy dowolny ciąg n-elementowy o różnych wyrazach
należących do zbioru X. Inaczej mówiąc, permutacja to funkcja różnowartościowa ze zbioru {1,...,n}
w zbiór X. Liczba permutacji w dowolnym zbiorze n-elementowym wynosi Pn=n! dla dowolnej liczby
naturalnej n.
Niech X będzie zbiorem k różnych elementów, X={x1,...,xk}. Permutacją n-elementową z
powtórzeniami, w której element x1 powtarza się n1 razy, ....... , element xk powtarza się nk razy,
n1+...+nk=n, nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, w którym poszczególne elementy zbioru X powtarzają
się wskazaną liczbę razy. Liczba wszystkich n-elementowych permutacji z powtórzeniami jest dana
równością:
Pnn1 ,...,nk 
n!
n1!...n k!
Dla k  n, k-elementowe podzbiory zbioru n-elementowego nazywamy k-elementowymi
kombinacjami bez powtórzeń. Liczba k-elementowych kombinacji bez powtórzeń w dowolnym
zbiorze n-elementowym (k  n) wynosi
 n
n!
Ckn    
k

n

k !k!
 
Rozważmy elementy n różnych rodzajów. Elementy tego samego rodzaju traktujemy jako
identyczne. Każdy zbiór składający się z k elementów, gdy każdy element należy do jednego z tych n
rodzajów, nazywamy k-elementową kombinacją z powtórzeniami z n rodzajów elementów. Liczba kelementowych kombinacji z powtórzeniami z elementów n rodzajów jest równa liczbie kelementowych kombinacji bez powtórzeń z (n+k-1) elementów
k
n  k  1 

Cn  
 k 
Uwaga: Nie musi być spełniony warunek k n.
Zasada rozmieszczania identycznych przedmiotów w odróżnialnych pudełkach Jest
n  k  1 


 n-1 
sposobów rozmieszczania k identycznych przedmiotów w n rozróżnialnych pudełkach.
Zad. Na ile sposobów można wybrać z grupy 7 osób, 3 osoby, tak by rozdać im 3 różne książki?
Czy kolejność wyboru jest ważna? TAK
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? NIE
Zatem są to wariacje bez powtórzeń.
V37=7!/(4!)=(4!*5*6*7)/4! = 5*6*7=210
Inna metoda.
Na ile sposobów można wybrać pierwsza osobę? 7
Na ile sposobów można wybrać drugą osobę? 6 – bo osoby nie mogą się powtarzać
Na ile sposobów można wybrać drugą osobę? 5 – bo osoby nie mogą się powtarzać
Razem jest 7*6*5=210 sposobów.
Zad. Na ile sposobów można 7 osobom rozdać 3 różne książki?
Czy kolejność wyboru jest ważna? TAK
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? TAK
Zatem są to wariacje z powtórzeniami i sposobów jest 73
Inna metoda.
Na ile sposobów można wybrać pierwsza osobę? 7
Na ile sposobów można wybrać każdą następną osobę? 7
Razem mamy 7*7*7=73 sposobów.
Zad. Na ile sposobów można ustawić 6 osób w kolejkę?
Czy kolejność wyboru jest ważna? TAK
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? NIE
Czy każdy element musi być wybrany? TAK
Są to permutacje bez powtórzeń, czyli wszystkich sposobów jest 6!
Zad. Na ile sposobów można wyznaczyć wynik biegu, w którym startuje 20 osób, przy założeniu, że
żadne dwie osoby nie dobiegły razem?
Czy kolejność wyboru jest ważna? TAK
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? NIE
Czy każdy element musi być wybrany? TAK
Są to permutacje bez powtórzeń, czyli wszystkich sposobów jest 20!
Zad. Ile jest ciągów binarnych długości 9, złożonych z 4 zer?
Ciąg taki ma 5 „jedynek”, np. 000011111
Wybieramy 4 miejsca z 9. Na tych miejscach postawimy „zera”, na pozostałych pozycjach postawimy
„jedynki”.
Czy kolejność wyboru jest ważna? NIE
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? NIE
Są to kombinacje bez powtórzeń, czyli wszystkich sposobów jest 9!/(4!*5!)=(6*7*8*9)/(2*3*4)=126.
Zad. Ile jest różnych słów złożonych z liter aabbbcccc (dokładnie te litery mają być użyte).
Czy kolejność wyboru jest ważna? TAK
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? TAK, a-2 razy, b-3 razy,c-4 razy
Czy każdy element musi być wybrany? TAK
Są to permutacje z powtórzeniami, czyli wszystkich sposobów jest 9!/(2!*3!*4!).
Zad. Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z 9 osób?
Czy kolejność wyboru jest ważna? NIE
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? NIE
Zatem są to kombinacje bez powtórzeń. C59=9!/(4!*5!)=(5!* 6*7*8*9)/(5!*1*2*3*4) = 7*8*9/4=126
Zad. Na ile sposobów można rozdać 8 różnych czekolad ośmiu osobom, jeśli każda ma dostać
czekoladę?
Czy kolejność wyboru jest ważna? TAK
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? NIE
Czy każdy element musi być wybrany? TAK
Zatem są to permutacje bez powtórzeń i wszystkich sposobów jest 8!.
Zad. Na ile sposobów można rozdać 8 identycznych czekolad ośmiu osobom, jeśli każda ma dostać
czekoladę?
Jest 1 taki sposób.
Zad. Na ile sposobów można rozdać 8 identycznych czekolad ośmiu osobom?
Z zasady rozkładania identycznych przedmiotów w pudełkach otrzymujemy N(8+8-1,8)=15!/(8!*7!).
Zad. Na ile sposobów można ustawić 8 wież na szachownicy tak, aby nie atakowały się wzajemnie.
Szachownica zawiera 8 wierszy i 8 kolumn. Pierwsza wieżę ustawiamy w pierwszym wierszu. Można
to zrobić na 8 sposobów. Drugą wieżę ustawiamy w drugim wierszu. Można to zrobić na 7 sposobów
(nie można ustawić wieży w tej samej kolumnie, co wieża pierwsza). I tak dalej. Wszystkich możliwych
ustawień jest 8*7*6*5*4*3*2*1=8!
Zad. Ile różnych słów można otrzymać przestawiając litery w słowie
(a) Mati
4! – permutacje bez powtórzeń
(b) mama
4!/(2!*2!) – permutacje z powtórzeniami
Zad. Palindrom to wyrażenie brzmiące tak samo czytane od lewej do prawej i od prawej do lewej,
np. Abba, Ada, kajak, potop, sedes, zakaz, Elle, mełłem, koppok itp. Ile palindromów (mających
sens lub nie) można zbudować z 2 liter m, 4 liter a, 2 liter l, 1 litery j?
Musimy utworzyć ciąg złożony z 2+4+2+1=9 liter. Ponieważ litera j jest jedna, to musi być w samym
środku. Po lewej stronie litery j muszą być 4 litery, w tym 1 litera m, 2 litery a i 1 litera l. Pozostałe
litery ustawiamy symetrycznie po prawej stronie litery j, tak by powstał palindrom. Może to być np.
słowo lamajamal. Wszystkich takich słów jest tyle ile możliwości ustawienia w ciąg 4-literowy, 1 litery
m, 2 liter a i 1 litery l. Są to permutacje z powtórzeniami: 4!/(1!*2!*1!).
Zadanie Na kartkach papieru zapisano kolejno po 5 cyfry z przedziału od 2 do 7 (cyfry mogą się
powtarzać). W ten sposób powstały numery oznaczające kody do sejfu. Ile ich jest?
Czy kolejność wyboru jest ważna? TAK
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? TAK
Zatem są to wariacje z powtórzeniami i wszystkich kodów jest 6*6*6*6*6=65.
Zadanie Na kartkach papieru zapisano kolejno po 5 różnych cyfry z przedziału od 2 do 7. W ten
sposób powstały numery oznaczające kody do sejfu. Ile ich jest?
Czy kolejność wyboru jest ważna? TAK
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? NIE
Zatem są to wariacje bez powtórzeń i wszystkich kodów jest 6*5*4*3*2.
Zadanie Na kartkach papieru zapisano po 5 niepowtarzających się liczb z przedziału od 0 do 90. W
ten sposób powstały losy loterii, które rozdano uczestnikom. Ile jest tych losów?
Czy kolejność wyboru jest ważna? NIE
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? NIE
Zatem są to kombinacje bez powtórzeń i wszystkich losów jest N(91,5)=91!/(5!*86!).
Następnie moderator wylosował jedną liczbę z przedziału 0-90. Wszystkie losy zawierające
wylosowaną liczbę wygrywają. Ile jest losów wygrywających?
Jedna liczba jest ustalona, więc trzeba wybrać 4 liczby z pozostałych 90. Losów wygrywających jest
N(90,4)=90!/(4!*86!).
Zad. Na stole ustawiono 3 kosze. W pierwszym są nieodróżnialne piłki podpisane numerem 1, w
drugim piłki z numerem 2, a w trzecim piłki z numerem 3. Wybieramy 6 piłek.
(a) Na ile sposobów można to zrobić, jeśli każdy numer musi być reprezentowany (trzeba wybrać
co najmniej jedną piłkę z każdym numerem)?
Czy kolejność wyboru jest ważna? NIE
Czy wybierane elementy mogą się powtarzać? TAK
Zatem są to kombinacje z powtórzeniami.
Najpierw wybieramy po jednej piłce każdego numeru. Pozostają do wybrania 3 piłki z dowolnym
numerem. Wszystkich wyborów jest N(3+3-1,3)=N(5,3)=5!/(3!*2!).
(b) Na ile sposobów można to zrobić, jeśli numer 3 musi być wybrany dokładnie 2 razy?
Spośród 6 piłek 2 mają mieć numer 3, więc dowolnie wybieramy 6-2=4 piłki.
Numer 3 nie może występować na pozostałych piłkach, więc dokonujemy wyboru z 2 numerów: 1 i 2.
Możliwych wyborów jest zatem N(4+2-1,4)=N(5,4)=5!/(4!*1!)=5.
(c) Na ile sposobów można to zrobić, jeśli numer 3 musi być wybrany co najmniej 2 razy?
Spośród 6 piłek 2 mają mieć numer 3, więc dowolnie wybieramy 6-2=4 piłki.
Numer 3 może występować na pozostałych piłkach, więc dokonujemy wyboru z 3 numerów: 1, 2 i 3.
Możliwych wyborów jest zatem N(4+3-1,4)=N(6,4)=6!/(4!*2!)=5*6/2=5*3=15.
Zad. Na ile sposobów można ustawić 7 chłopców i 7 dziewcząt
(a) w szeregu,
Są to permutacje bez powtórzeń, P14=14!
(b) w dwuszeregu,
Ustawiamy osoby w szeregu, a później połowę osób ustawiamy w drugim szeregu, P14=14!
(c) w szeregu tak, aby osoby A i B sąsiadowały ze sobą, a osoba C nie sąsiadowała z żadną z nich,
Ustawiamy wszystkie osoby, poza osobami A i B, w szereg, możliwych ustawień jest 12!
Następnie dostawiamy osoby A i B, które stoją bok siebie, ale nie mogą stać obok osoby C. Możliwych
ustawień jest 11. Osoby A i B mogą stać na dwa sposoby obok siebie AB lub BA – 2 możliwości. Zatem
wszystkich sposobów jest 12!*11*2.
Zad. Wśród danych 8 osób są rodzice z dwojgiem dzieci. Ile jest sposobów posadzenia ich przy
okrągłym stole tak, aby
(a) dzieci siedziały bezpośrednio między rodzicami.
Najpierw usadzamy rodziców – 2 sposoby R2R1 lub R1R2. Następnie pomiędzy nimi usadzamy dzieci
– 2 sposoby R1D1D2R2 lub R1D2D1R2. Pozostałe osoby usadzamy na 4! sposobów. Wszystkich
sposobów jest zatem 2*2*4!
(b) dzieci siedziały naprzeciw siebie.
Najpierw usadzamy dzieci – jest 1 sposób, D1 XXX D2 XXX
Pozostałe osoby usadzamy na 6! sposobów. Wszystkich sposobów jest zatem 6!.
Uwaga! W powyższych przykładach ważne jest wzajemnie położenie osób, czyli kto koło kogo siedzi,
a nie na którym miejscu.
Zad. W cukierni sprzedaje się 5 rodzajów ciastek. Na ile sposobów klient może wskazać 12 ciastek
(a) bez ograniczeń.
Czy kolejność wyboru jest ważna? NIE
Czy elementy mogą się powtarzać? TAK
Zatem są to kombinacje z powtórzeniami.
N(12+5-1, 12)=N(16,12)=16!/(4!*12!)
(b) każdy rodzaj był reprezentowany.
Najpierw bierzemy po jednym ciastku każdego rodzaju. Następnie dowolnie wybieramy
12-5=7 ciastek na N(7+5-1, 7)=N(11,7)=11!/(4!*7!) sposobów.
(c) ciastek pierwszego rodzaju nie kupować.
Wybieramy 12 ciastek z 4 rodzajów. Wszystkich sposobów jest
N(12+4-1, 12)=N(15,12)=15!/(3!*12!).