Statystyka i Rachunek prawdopodobieństwa
Inżynieria Biomedyczna
2023/2024
POWTÓRKA
Zagadnienia: analiza opisowa, prawdopodobieństwo, zmienna losowa dyskretna, zmienna losowa
ciągła, rozkłady zmiennej losowej dyskretnej, rozkład normalny, przedziały ufności, testy
parametryczne, testy nieparametryczne,
Zad.1 Na podstawie przedstawionego poniżej szeregu rozdzielczego oblicz:
a) Wartość średnią;
b) Pierwszy kwartyl.
Początek
przedziału
0
2
4
6
8
Koniec
przedziału
2
4
6
8
10
Liczebność
2
8
11
7
2
Liczebność
skumulowana
2
10
21
28
30
Zad.2 Na lotnisko przyleciały samoloty z trzech różnych linii lotniczych: 1, 2 i 3. Z każdego z samolotów
wysiadło odpowiednio 60, 50 i 40 pasażerów. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zagubienia bagażu
przez każdą z tych linii lotniczych wynosi odpowiednio: 0,1; 0,2; 0,3. Spośród tej 150-osobowej grupy
pasażerów wybrano w sposób losowy jednego. Oblicz:
a) Prawdopodobieństwo tego, że podróżował samolotem nr 3;
b) Prawdopodobieństwo tego, że zaginął mu bagaż;
c) Prawdopodobieństwo tego, że podróżował samolotem nr 3, jeśli okazało się, że jego bagaż
zaginął.
Do obliczeń wykorzystaj oznaczenia zdarzeń: Ak (k = 1, 2, 3) – pasażer podróżował k-tym samolotem; B
– pasażerowi zaginął bagaż.
Zad.3 Dana jest dystrybuanta F(x) dla dyskretnej zmiennej losowej X:
x
x < -4
-4 ≤ x < -3
-3 ≤ x < -2
-2 ≤ x < -1
F(x)
0
1/4
3/8
1/2
a) Narysuj wykres dystrybuanty;
b) Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa dla tej zmiennej losowej;
c) Wylicz wartość oczekiwaną oraz wariancję;
d) Oblicz 𝑃(𝑋 ≥ −2), 𝑃(−3 ≤ 𝑋 < 0,5).
-1≤ x < 0
7/8
x≥0
1
Zad.4 Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale jest równe 1/5. Niech X5 oznacza liczbę
strzałów celnych w wykonanej serii 5 niezależnych strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że
liczba strzałów celnych będzie nie mniejsza niż 2.
Zad.5
W pewnej fabryce produkuje się 2 gatunki danego produktu: 40% produkcji to wyrób I gatunku,
natomiast pozostała część to wyrób II gatunku. Odbiorca planuje zakupić 5 losowych produktów. Oblicz
prawdopodobieństwo, że:
a) Dokładnie 2 produkty będą z I gatunku
b) Co najmniej 2 produkty będą z I gatunku
Statystyka i Rachunek prawdopodobieństwa
Inżynieria Biomedyczna
2023/2024
c) jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się odbiorca jeśli zakupi 200 sztuk
wyrobów?
Zad.6 Zmienna losowa X ma rozkład normalny 𝑁(1,3). Oblicz:
a) 𝑃(𝑋 ≥ −2),
b) 𝑃(0,5 ≤ 𝑋 < 1,5),
c) Pierwszy kwartyl.
Zad.7 Zmienna losowa ma rozkład normalny 𝑁(1; 𝜎). Oblicz wartość odchylenia standardowego 𝜎 dla
tej zmiennej losowej, jeśli wiadomo, że 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 0,55962.
Zad .8
W ofercie pewnego dostawcy Internetu prędkość pobierania danych podlega rozkładowi normalnemu.
Wiedząc, że średnia prędkość pobierania danych wynosi 41 Mb/s z odchyleniem standardowym
równym 2,4 Mb/s, oblicz prawdopodobieństwo tego, że:
a) Prędkość sprawdzona w dowolnej chwili będzie w granicach 40 do 43,5 Mb/s;
b) Będzie większa niż 39,5 Mb/s.
Zad.9 W celu zbadania czasu dojazdu z obrzeży do centrum pewnego miasta w godzinach szczytu
pobrano 20 osobową próbę kierowców, dla której średni czas dojazdu wynosił 𝑥̅ = 45 min. Zakładając,
że ogólny czas dojazdu z obrzeży do centrum miasta ma rozkład normalny 𝑁(𝜇, 2.4) oszacuj przeciętny
czas dojazdu przyjmując współczynnik ufności 0,98.
Zad.10 Odchylenie standardowe 𝜎 błędu przyrządu pomiarowego jest znane. Zakładamy, że rozkład
błędów pomiarów jest rozkładem normalnym. W poniższej tabelce zapisano wyniki 10 pomiarów:
Nr pomiaru 𝑘
Wynik pomiaru 𝑥𝑘 [mm]
1
7
2
7,5
3
8,5
4
8
5
6
6
7,5
7
6,5
8
5,5
9
7,5
10
6
Znajdź wartości liczbowe krańców przedziału ufności (w mm) dla wartości przeciętnej 𝜇, przyjmując
𝜎 = 1 i poziom ufności: a) 1 − 𝛼 = 0,99, b) 1 − 𝛼 = 0,98, c) 1 − 𝛼 = 0,95.
Zad.11 Podczas kontroli w firmie produkującej zębatki rowerowe zmierzono średnice 20 losowych
zębatek tego samego typu, uzyskując średnią średnicę 15.20 cm i odchylenie standardowe s = 0.05 cm.
Wyznacz 95% przedział ufności dla wariancji średnicy zębatek.
Zad.12 Zbadano ciśnienie krwi dla losowej próby 12 pacjentów uzyskując następujące wyniki:
145 130 140 125 155 150 135 120 160 140 145 128
Zweryfikuj hipotezę, że średnie ciśnienie ogółu chorych wynosi 𝜇 = 150. Przyjmij 𝛼 = 0,05.
Zad.13 W próbie losowej o liczebności 400 pasażerów pewnej linii lotniczej podróżujących
z dodatkowym bagażem zbadaną średnią masę całkowitego bagażu przypadającą na pasażera, na
podstawie danych z tej próby średnia mas wyniosła 𝑥̅ = 50𝑘𝑔, a odchylenie standardowe 𝑠 = 5𝑘𝑔.
Na poziomie istotności 𝛼 = 0,05 zbadać, czy kontrolerzy lotów nie powinni sprawdzać bagaży bardziej
restrykcyjnie, gdyż wg regulaminu tych linii lotniczych średnia masa bagażu na osobę powinna wynosić
𝜇 = 47,5𝑘𝑔.
Zad.14 Właściciel sklepu internetowego zastanawia się nad zwiększeniem wydatków na reklamę.
W tym celu w sierpniu przeprowadził miesięczny eksperyment, w trakcie którego na portalach
Statystyka i Rachunek prawdopodobieństwa
Inżynieria Biomedyczna
2023/2024
społecznościowych pojawiały się reklamy 10 oferowanych przez niego produktów. Poniższa tabela
zawiera informację na temat liczby sprzedanych sztuk każdego z 10 produktów przed (lipiec) i po
(sierpień) umieszczeniu dodatkowych reklam w sieci:
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
produktu
Lipiec
81
33
90
101
48
50
76
13
41
79
Sierpień 98
35
88
105
55
56
79
17
42
78
Zakładając, że rozkład liczby sprzedanych sztuk jest normalny, na poziomie istotności 𝛼 = 0,05
zweryfikuj hipotezę mówiącą, że umieszczenie reklam na portalach społecznościowych zwiększyło
sprzedaż.
Zad.15 Wiedząc, że średnia pewnego parametru wyliczona na podstawie 100-elementowej próby
wynosi 𝑥̅ = 9, a odchylenie standardowe dla populacji, o której wiemy, że charakteryzuje się
rozkładem normlanym, ma wartość 𝜎 = 1, na poziomie istotności 𝛼 = 0,05 zweryfikuj hipotezy:
𝐻0 : 𝜇 = 10
𝐻1 : 𝜇 < 10
Zad.16 Wśród 12 uczestników kursu pisania bezwzrokowego przeprowadzono test szybkości pisania
na klawiaturze przed i po odbyciu kursu. Uzyskane wyniki w słowach na minutę przedstawia poniższa
tabela. Czy odbycie kursu poprawia szybkość pisania na klawiaturze? Zweryfikuj hipotezę na poziomie
istotności 0,05.
Przed
kursem
Po kursie
44
38
52
61
34
49
46
58
62
55
43
63
48
40
51
66
34
54
49
62
61
57
46
65
Statystyka i Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Inżynieria Biomedyczna
2023/2024
Wynik