• 2.3 Ecuación normal de un plano
Si el plano pasa por el origen:
a) Vectores iguales→ producto
vectorial nulo u=(0,0,0)
𝑢 × 𝑣⃗ (no es el único)
λ 𝑤 × 𝑧⃗ 𝑦 𝜇 𝑧⃗ × 𝑤
𝚤⃗ −𝑗
𝑤 × 𝑧⃗ = 1 2
2 −4
𝑘
4
8
c) Propiedad de la Norma de un vector:
λ 𝑤 × 𝑧⃗
𝜆 8 17 = 2
8(4,0, −1) = 8 4,0, −1
𝜆 =
𝑤 × 𝑧⃗ = 16 − −16 𝚤⃗ − 8 − 8 𝚥⃗ + −4 − 4 𝑘
𝑤 × 𝑧⃗ = 32𝚤⃗ + 𝟎𝚥⃗ − 8𝑘
𝑤 × 𝑧⃗ = 8 4 + −1
𝑤 × 𝑧⃗ = (32,0, −8)
𝑤 × 𝑧⃗ = 8 17
𝜆 =
𝑤 × 𝑧⃗ = 8(4,0, −1)
Datos importantes:
= 𝜆 𝑤 × 𝑧⃗ = 2
8 17 2 17
, 0,
17
17
Si dos vectores no son múltiplos, su producto vectorial (vector ortogonal a ambos) será no nulo
𝑢 × 𝑣⃗ y 𝑣⃗ × 𝑢 darán como resultado dos vectores opuestos entre si (ambos ortogonales a 𝑢 𝑦 𝑣⃗).
Los múltiplos de los productos vectoriales también ortogonales a 𝑢 𝑦 𝑣⃗
8 17
.
17
17
17
68
17
(32,0, −8)
68
8 17
2 17
λ 𝑤 × 𝑧⃗ = −
, 0, −
17
17
λ 𝑤 × 𝑧⃗ = ±
λ 𝑤 × 𝑧⃗ =
2
𝜋 = 𝜆 −1,0, −1 + 𝜇 1,1,5 + (2,1,2)
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 4
𝜋 = 𝜆(1,0,0) + 𝜇 0,1,0 + (1,2,1)
𝜋 = 𝜆(1,2, −4) + 𝜇 −1,0, −4 + (2,2,1)
𝜋 = 𝜆(1, −3, −2) + 𝜇 0, −2, −2 + (−1,2,2)
𝑁. 𝑋 − 𝑃 = 0
a) 1,4, −1 .
𝑥, 𝑦, 𝑧 − (2,1,2) = 0
1,4, −1 . 𝑥 − 2, 𝑦 − 1, 𝑧 − 2 = 0
1 𝑥−2 + 4 𝑦−1 −1 𝑧−2 = 0
𝑥 − 2 + 4𝑦 − 4 − 𝑧 + 2 = 0
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 − 4 = 0
−4𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
𝑧=1
𝜋 = 𝜆 −1,0, −1 + 𝜇 1,1,5 + (2,1,2)
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 4
𝜋 = 𝜆(1,0,0) + 𝜇 0,1,0 + (1,2,1)
𝜋 = 𝜆(1,2, −4) + 𝜇 −1,0, −4 + (2,2,1)
𝜋 = 𝜆(1, −3, −2) + 𝜇 0, −2, −2 + (−1,2,2)
𝑁. 𝑋 − 𝑃 = 0
c) −4,4,1 .
𝑥, 𝑦, 𝑧 − (2,2,1) = 0
−4,4,1 . 𝑥 − 2, 𝑦 − 2, 𝑧 − 1 = 0
−4 𝑥 − 2 + 4 𝑦 − 2 + 1 𝑧 − 1 = 0
−4𝑥 + 8 + 4𝑦 − 8 + 𝑧 − 1 = 0
−4𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
−4𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
𝑧=1