‖𝑥‖ = √< 𝑥, 𝑥 > : módulo del vector 𝑥
‖𝑥‖2 =< 𝑥, 𝑥 >
DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES.
Definición. La distancia entre dos vectores 𝑥 e 𝑦 , en un espacio con producto interno, 𝑉, es el módulo de su
diferencia
𝑑(𝑥; 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖
Propiedad: Dado 𝛼 ∈ ℝ y 𝒙 ∈ 𝑉,
‖𝛼𝑥‖ = |𝛼 |‖𝑥 ‖
Ejemplo 1
Si 𝒙 e 𝒚 son dos vectores ortogonales, entonces ‖𝑥 + 𝑦‖2 = ‖𝑥‖2 + ‖𝑦‖2
Resolución.
Ejemplo 2.
En el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 2, con el producto interno
1
< 𝑝, 𝑞 > = ∫ 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)𝑑𝑥
−1
√2
Determine si los polinomios 2 y
√3
𝑥 son ortogonales.
√2
Resolución.
Propiedades:
a) Para todo 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉 : |< 𝑥, 𝑦 >| ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖
b) Para todo 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉 : ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖
ÁNGULO DE DOS VECTORES
Sea 𝑥 e 𝑦 dos vectores no nulos en un espacio con producto interno. De la propiedad a)
|< 𝑥, 𝑦 >| ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖
Se deduce que
−‖𝑥‖‖𝑦‖ ≤ < 𝑥, 𝑦 > ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖
Recordar: |𝑎| ≤ 𝑏, 𝑏 ≥ 0 ↔ −𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏
Dividiendo por el producto de los módulos de 𝑥 e 𝑦 , que es positivo, se tiene
−1 ≤
< 𝑥; 𝑦 >
≤1
‖𝑥‖‖𝑦‖
Definición.
Ángulo de dos vectores no nulos 𝑥 e 𝑦 es el número real 𝜃 que satisface:
1) 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
2) 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
<𝑥;𝑦>
‖𝑥‖‖𝑦‖
Nota: de 2) se tiene, < 𝑥, 𝑦 > = ‖𝑥‖‖𝑦‖𝑐𝑜𝑠𝜃
CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES
Un conjunto de vectores {𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑟 } en un espacio con producto interno es ortogonal si y solo
si dos vectores cualesquiera y distintos son ortogonales.
Es decir, {𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑟 } es un conjunto ortogonal ⇔ (𝑖 ≠ 𝑗 ⟹< 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 > = 0)
Propiedad.
Todo conjunto ortogonal de vectores, diferentes del vector nulo, es linealmente independiente.
Resolución.
𝑆 = {𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 } es un conjunto ortogonal y además 𝑥𝑖 ≠ 0.
Veamos: 𝑆 es LI
Conjunto ortonormal
Definición:
El conjunto {𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑟 } es ortonormal si es ortogonal y además el módulo de cada uno de los
vectores 𝑥𝑖 es igual a 1.
Ejemplo3
El conjunto {(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0,1)} en un ortonormal en ℝ3 .
Resolución.
Ejemplo 4
En un espacio 𝑉 con producto interno se sabe que el vector 𝑣 es ortogonal a los vectores 𝑣1 , 𝑣2 y
𝑣3 .
Probar que 𝑣 es ortogonal al subespacio generado por ellos.
Resolución.
Ejemplo 5
Determine si la siguiente afirmación es V o F.
Si 𝑥 e 𝑦 son vectores L.D, entonces |< 𝑥, 𝑦 >| = ‖𝑥‖‖𝑦‖
Resolución.
Ejemplo 5
Si 𝑥 ⊥ 𝑦, probar que se cumple ‖𝑥 + 𝛼𝑦‖ ≥ ‖𝑥‖ , para todo 𝛼 ∈ ℝ
Resolución.
Ejemplo 6
En ℝ3 con el producto interno usual (canónico)
a) Obtener un vector unitario ortogonal a 𝑣1 = (1; −1; 3) y 𝑣2 = (2; 4; 3)
b) Obtener dos vectores unitarios ortogonales entre si y ortogonales a 𝑣 = (1; −1; 3)
Resolución
Ejemplo 7
En un espacio 𝑉 con producto interno los vectores 𝑥 e 𝑦 forman un ángulo de 60° y el módulo de 𝑥
es 3. Calcule ‖𝑦‖ para que y-x sea ortogonal a 𝑥.
Resolución.
Ejercicio de reforzamiento
Probar que en todo espacio vectorial 𝑉 con producto interno se cumple:
‖𝑥 − 𝑦‖ ≥ ‖𝑥‖ − ‖𝑦‖
Para todo 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉.
Sugerencia:
Para todo 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉 : ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖
Ejercicio propuesto
Determine si el vector 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 es ortogonal a cada elemento del conjunto
{1; 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑐𝑜𝑠2𝑥; 𝑐𝑜𝑠3𝑥}, con el producto interno
𝜋
< 𝑓, 𝑔 >= ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
−𝜋