Espacios vectoriales
Definición
Sea Rn =
,
, ………,
∈
Consideramos las operaciones: + en Rn y • : R × R n → R n una operación externa
Decimos que (R n , +, R, •) es un espacio vectorial si y sólo si:
1) (Rn, + ) es un grupo conmutativo, o sea que:
i) + es asociativa
ii) + tiene neutro
iii) Cada elemento tiene simétrico
iv) + es conmutativa
2) i) a • (b • v) = ( ab) • v , ∀a, b ∈ R , ∀v ∈ R n
ii) (a + b) • v = a • v + b • v , ∀a, b ∈ R , ∀v ∈ R n .
iii) a • ( v + u ) = a • v + a • u , ∀a ∈ R , ∀u, v ∈ R n .
iv) 1• v = v , ∀v ∈ R n .
Nota:
Aclaramos que se abusa de la notación al usar el símbolo + tanto para la suma de vectores
como para la suma de escalares y para el producto de escalares y el de escalar por vector.
Propiedades
i) 0.v = ϑ , ∀v ∈ V , siendo 0 el neutro de ( R, + ) y ϑ el neutro de
ii) −v = ( −1).v , ∀v ∈ R n .
1
( R n , +) .
iii) a.ϑ = ϑ , ∀a ∈ R .
iv) (− a).v = a.(−v) = − a.v , ∀a ∈ R , ∀v ∈ R n .
 a=0

v) a.v = ϑ ⇒  o
 v =ϑ

vi)
a.v = a.u 
⇒v =u.
a≠0

vii)
a.v = b.v 
 ⇒ a = b.
v ≠ϑ

Subespacio vectorial
Definición
Sea S un subconjunto no vacío de Rn. Decimos que S es un subespacio vectorial
de Rn si y solo si ( S , +, R, •) es un R-espacio vectorial siendo + y • las operaciones en Rn
restringidas a S.
Entendemos por restricción a S al hecho de que las operaciones se realizan solamente con
elementos de S y con resultados en S.
Teorema
Sea S ⊆ R n . , S ≠ ∅
 i) u + v ∈ S ∀u , v ∈ S

S es un subespacio vectorial de R . si y sólo si 
.
 ii ) α v ∈ S ∀α ∈ R y ∀v ∈ S

n
Nota:
ϑ
2
y Rn son subespacios de Rn denominados subespacios triviales
Ejercicio I
Analizar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de ℝ 2 .
Dar una interpretación geométrica
S1 = {( x, y ) ∈ ℝ 2 / 3 x + 2 y = 0 }
S 2 = {( x, y ) ∈ ℝ 2 / x + y + 1 = 0 }
S3 = {( x, y ) ∈ ℝ 2 / x 2 − y 2 = 0 }
S 4 = {( x, y ) ∈ ℝ 2 / x 2 − y = 0 }
Ejercicio II
Analizar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de ℝ 3 .
Dar una interpretación geométrica
S1 = {( x, y, z ) ∈ ℝ 3 / 3x + y + z = 0 }
S 2 = {( x, y, z ) ∈ ℝ 3 / x − y + z = 0 }
S3 = {( x, y, z ) ∈ ℝ 3 / 2 x + y = 3 = 0 }
S 4 = S1 ∩ S 2
Teorema
La intersección de dos subespacios es un subespacio
Definición
Llamamos subespacio generado por A ( Anotamos SG (A) )al conjunto formado por todos
los
vectores que se pueden expresar como combinación lineal de los elementos de A.
En otras palabras si A = {v1 , v2 ,…, vn } anotamos
SG ( A) = {v ∈V : v = α1v1 + α 2 v2 + ⋯ + α n vn , con α i ∈ K , 1 ≤ i ≤ n}
3
Generador
Por lo tanto S = SG(A) ⇔ A es generador de S
Anotamos A es generador de S , A → S
Ejemplo
Consideramos en ℝ 2 al conjunto A = { (1, 2) } .
En este caso
SG ( A) = {α (1, 2) : α ∈ ℝ} = {(α , 2α ) : α ∈ ℝ} = { ( x, y ) ∈ ℝ 2 : y = 2 x} ,
conjunto que
podemos considerar como el conjunto solución en ℝ 2 de la ecuación y = 2 x al cual podemos
interpretar geométricamente como la recta de ecuación y = 2 x .
EjercicioI
Siendo B = {(1, 2), (−1,1)} probar que SG ( B) = ℝ 2 .
EjercicioII
Dados
=
−1,2,3 , 2,3,1
&' =
2,4,2 , 1,2,1
Hallar SG(A) y SG(B), e
interpretar geométricamente
DEPENDENCIA LINEAL
Definición
Dado A = {v1 , v2 ,… , vn } un subconjunto finito no vacío de Rn
Decimos que A es linealmente dependiente (LD) si y sólo si existen x1 , x2 ,… , xn reales no
todos nulos tal que x1 .v1 + x2 v2 + ⋯ + xn vn = ϑ .
Si A no es linealmente dependiente se denomina linealmente independiente (LI).
4
En otros términos: A es LI ⇔ ( x1v1 + x2 v2 + ⋯ + xn vn = ϑ ⇒ x1 = x2 = ⋯ = xn = 0 ) , o también
A es LI si y sólo si la única combinación lineal nula que podemos realizar es la trivial.
Ejemplos
Analicemos la dependencia lineal (si es LI o LD) de los siguientes conjuntos:
1) A = { (1, −1,0), (1,3, −1), (3,1, −1) } en R .
3
Para poder decidir si A es LI o LD nos tomamos una combinación lineal nula y vemos si
necesariamente los escalares deben ser cero o no.
α (1, −1, 0) + β (1,3, −1) + γ (3,1, −1) = (0, 0, 0) ⇔ (α + β + 3γ , −α + 3β + γ , − β − γ ) = (0, 0, 0) ⇔
 α + β + 3γ = 0
 α + β + 3γ = 0
 α = −2γ


⇔ −α + 3β + γ = 0 ⇔ 
4β + 4γ = 0 ⇔ 
 β = −γ


 − β −γ = 0
 − β −γ = 0
En consecuencia −2γ (1, −1, 0) − γ (1, 3, −1) + γ (3,1, −1) = (0, 0, 0) , ∀γ ∈ ℝ y por ende A es LD.
2) B = { (1,1, 0), (1, 0,1), (0,1,1) } en ℝ3 .
α (1,1, 0) + β (1, 0,1) + γ (0,1,1) = (0, 0, 0) ⇔ (α + β , α + γ , β + γ ) = (0, 0, 0) ⇔
α + β = 0

⇔  α + γ = 0 ⇔ α = β = γ = 0 . Por lo tanto B es LI.
 β +γ = 0

Nota:
Es fácil justificar que: Dado un espacio vectorial V , si un vector v∈ ) puede escribirse
como combinación lineal de los elemento de un conjunto B ( LI ) esta combinación lineal es
única
5
Propiedades
1) Si ϑ ∈ A entonces A es LD.
2) Si A es unitario, A es LD sii A = {ϑ} .
( Unitario significa que tiene un solo elemento )
3) Si A no es unitario, A es LD sii existe un vector de A que es combinación lineal de
los otros elementos de A.
BASES Y DIMENSIÓN
Definición
Consideramos: V un espacio vectorial, B ⊆ R n , B ≠ ∅ , B finito.
 SG ( B) = V
.
 B es LI
Decimos que B es una base de V ⇔ 
si B = {v1 , v2 ,…, vn } es una base ordenada del espacio vectorial V, entonces todo vector de V
puede escribirse de manera única como combinación lineal de los elementos de B. Es
decir ∀u ∈ V existe ( x1 , x2 ,… , xn ) ∈ K n única tal que u = x1v1 + x2 v2 + ⋯ + xn vn .
A la n-pla ( x1 , x2 ,…, xn ) la denominaremos coordenadas de u en la base B .
Ejercicio
1) Probar que: B = {(1,1), (1, 0)} es una base de R2.
2) Hallar las coordenadas de (3,4) en dicha base.
3) Hallar las coordenadas de ( a, b ) en la base B.
4) Ídem. con C = {(1, 0), (0,1)} .
6
Teorema
Todo conjunto con mas de n vectores es L. D.
Teorema
Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cantidad de elementos.
Propiedades
1. Todo conjunto L.I. puede completarse hasta obtener una base ( se agregan de a uno
los que no son combinación lineal de los anteriores.
2. Todo conjunto generador puede reducirse quitando vectores hasta tener una base( se
quitan los que son combinación de los restantes )
Definición
Si V = {ϑ} decimos que V es de dimensión 0.
Si V ≠ {ϑ} llamamos dimensión de un espacio vectorial a la cantidad de elementos de una
base.
Ejercicio
a) Demostrar que los conjuntos siguientes son bases de R3
B = 1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1
C=
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
b) Hallar las coordenadas de (x, y,z ) en ambas bases
7
Ejercicio
a) Sean los conjuntos B1 = {(1, 0 ) , ( 0,1)} , B2 = {(1, 0 ) , (1,1)} , demostrar que ambos son bases
de R 2 .
b) Dado un vector genérico v = ( a, b ) ∈ R 2 , hallar sus coordenadas en las bases B1 y B2 ,
llamando v1 = coord B ( v ) y v2 = coord B ( v ) .
1
2
c) Hallar una matriz P ∈ M 2 x 2 tal que cumpla: v2 = P.v1
d) Mostrar que la matriz P es invertible y deducir que v1 = P −1.v2
Observación
Se puede demostrar que dadas dos bases cualquiera de R n , si tomamos un vector genérico
del mismo y reiteramos el proceso de hallar sus coordenadas en dichas bases , siempre existe
una única matriz P ∈ M nxn invertible , que las relaciona como en las partes ( c ) y ( d ) del
ejercicio, dicha matriz se denomina matriz cambio de base.
Valores y vectores propios de una matriz
Dada la matriz cuadrada A decimos que:
λ es valor propio de A ⇔ existe v , v ≠ o talque A v = λ v
v es el vector propio asociado al valor propio λ
Como hallar los valores propios
A v = λ v⇔ A v - λ v = o ⇔ ( A - λ I ) v = o , este es un sistema homogéneo por lo tanto es
siempre compatible , como además v ≠ o este sistema admite otra solución además de la trivial
por lo tanto el sistema es compatible indeterminado , para que esto suceda el determinante de
la matriz de coeficientes debe ser igual a 0
| − 4 5| = 0 esta se denomina ecuación característica y sus soluciones son los valores
propios
8
Ejemplo
Hallar los valores y los vectores propios de A= 6
0 3
8
−2 5
3
| − 4 5| = 0 ⇔ 9−4
9=0⇔4 =2 ∨ 4=3
−2 5 − 4
Hallemos los vectores propios asociados al valor propio 2
A v= 2 v ⇔ 6
2 − 3& = 0@
2
0 3
⇔ y = 2 /3 x
8 6& 8 = ; < ⇔ =
2&
2x − 3y = 0
−2 5
Por lo tanto todos los vectores de la forma ( x, 2 /3 x ) con x ≠ o son vectores propios
asociados al valor propio 2
Hallar los vectores propios asociados al valor propio 3
Aplicación de valores propios de una matriz a la resolución de sistemas de ecuaciones
diferenciales
Ejemplo
Consideremos el sistema siguiente:
&´ = & + 2 &
& ´ = 3& + 2 &
La matriz asociada al sistema es A = 6
1 2
8
3 2
Hallemos sus valores propios | − 4 5 | = 0 ⇔ 4 = −1 ∨ 4 = 4
La solución genérica para & es & = C D EF + C D GF
Sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema obtenemos & =
9
H
C D EF − C D GF
Ejercicio
a) Teniendo en cuenta las condiciones iniciales siguientes hallar las soluciones
particulares de & e &
&
0 = 1 e &
1 = DE
b) Verificar que las funciones halladas son solución del sistema
Resolución usando los vectores propios asociados
Los vectores propios asociados al valor propio -1 son los de la forma
( x, -x ) con x ≠ o
uno de ellos es (1,- 1).
Los vectores propios asociados al valor propio 4 son los de la forma
( x, 3 / 2 x ) con x ≠ o
uno de ellos es ( 1, 3 / 2).
Podemos escribir la solución genérica del sistema del modo siguiente:
&
1
1
6& 8 = C D EF ;
< + C D GF 6 8
3/2
−1
En general
Sea la ecuación matricial YK = A . Y
Considérenos soluciones de la forma L
= D MF N
OP ⇒ YK = 4D MF N
OP
Sustituyendo en la ecuación obtenemos 4D MF N
OP =
D MF N
OP ⇒
Por lo tanto 4 es valor propio asociado al vector propio N
OP
10
N
OP = 4N
OP