Machine Translated by Google
La geometría de las ecuaciones lineales
El problema fundamental del álgebra lineal es resolver n ecuaciones lineales en n incógnitas;
por ejemplo:
2x - y = 0 -x +
2y = 3.
En esta primera lección sobre álgebra lineal, vemos este problema de tres maneras.
El sistema anterior es bidimensional (n = 2). Al agregar una tercera variable z, podríamos
expandirla a tres dimensiones.
Fila de imagen
Marca los puntos que satisfacen cada ecuación. La intersección de las gráficas (si se
cruzan) representa la solución al sistema de ecuaciones. Mirando la Figura 1 vemos que la
solución a este sistema de ecuaciones es x = 1, y = 2.
4 años
3
2
(1, 2)
ÿx + 2y = 3
1
2x - y = 0
0
2
ÿ10 1
X
ÿ1
ÿ2
Figura 1: Las rectas 2x ÿ y = 0 y ÿx + 2y = 3 se cortan en el punto (1, 2).
Reemplazamos esta solución en el sistema original de ecuaciones para verificar nuestro
trabajo:
2·1ÿ2=0
ÿ1 + 2 · 2 = 3.
La solución a un sistema tridimensional de ecuaciones es el común
punto de intersección de tres planos (si lo hay).
1
Machine Translated by Google
Imagen de la columna
En la imagen de la columna, reescribimos el sistema de ecuaciones lineales como
una sola ecuación al convertir los coeficientes en las columnas del sistema en vectores:
X
+y
ÿ 2ÿ1ÿ
=
ÿ ÿ12ÿ
ÿ 03 ÿ
.
Dados dos vectores c y d y escalares x e y, la suma xc + yd se llama
combinación lineal de c y d. Las combinaciones lineales son importantes a lo
largo de este curso.
Geométricamente, queremos encontrar los números x e y para que x copias del vector
2
ÿ ÿ 1 ÿ agregado a y copias del vector ÿ ÿ1 2 ÿ es igual al vector ÿ 0 3 ÿ . Como podemos ver
de la Figura 2, x = 1 y y = 2, de acuerdo con la imagen de la fila en la Figura 2.
4
3
ÿ1
2
2
0
3
1
ÿ1
2
0
2
ÿ10 1
2
ÿ1
ÿ1
Figura 2: Una combinación lineal de los vectores columna es igual al vector b.
En tres dimensiones, la imagen de la columna requiere que encontremos una combinación lineal
nación de tres vectores tridimensionales que es igual al vector b.
Imagen de matriz
Escribimos el sistema de ecuaciones
2x ÿ y = 0 ÿx
+ 2y = 3
2
Machine Translated by Google
como una sola ecuación usando matrices y vectores:
2 ÿ ÿ x ÿ ÿ 2yÿ1
ÿ 2ÿ1ÿ1
La matriz A =
x=
=
.
ÿ 03 ÿ
se llama matriz de coeficientes. el vector
ÿ ÿ1 2
es el vector de incógnitas. Los valores en el lado derecho de la
ÿ xy ÿ
ecuaciones forman el vector b:
hacha = b.
La imagen de la matriz tridimensional es muy parecida a la de dos dimensiones,
excepto que los vectores y las matrices aumentan de tamaño.
Multiplicación de matrices
¿Cómo multiplicamos una matriz A por un vector x?
ÿ 21 53ÿ ÿ 1 ÿ 2= ?
Un método es pensar en las entradas de x como los coeficientes de un sistema lineal.
combinación de los vectores columna de la matriz:
ÿ 21 53ÿ ÿ 1 ÿ 2
=1
ÿ 21 ÿ
+2
ÿ 53 ÿ
=
.
ÿ 127 ÿ
Esta técnica muestra que Ax es una combinación lineal de las columnas de A.
También puede calcular el producto Ax tomando el producto escalar de cada
fila de A con el vector x:
ÿ 21 53ÿ ÿ 1 ÿ 2
=
·
·
·
·ÿ
ÿ 21 11++5 32 2
=
ÿ 127 ÿ
.
Independencia lineal
En las imágenes de columnas y matrices, el lado derecho de la ecuación es un
vector b. Dada una matriz A, podemos resolver:
hacha = b
para cada posible vector b? En otras palabras, ¿las combinaciones lineales de los
vectores columna llenan el plano xy (o el espacio, en el caso tridimensional)?
Si la respuesta es “no”, decimos que A es una matriz singular. En este caso singular
sus vectores columna son linealmente dependientes; todas las combinaciones lineales de
esos vectores se encuentran en un punto o línea (en dos dimensiones) o en un punto, línea
o plano (en tres dimensiones). Las combinaciones no llenan todo el espacio.
3
Machine Translated by Google
MIT OpenCourseWare http://
ocw.mit.edu
18.06SC Álgebra lineal
Otoño 2011
Para obtener información sobre cómo citar estos materiales o nuestros Términos de uso, visite: http://ocw.mit.edu/terms.