Universidad Metropolitana
Dpto. de Matemáticas
Modelo de Respuesta Tercer Examen Parcial Matemáticas III
1.a) Dados los vectores
,
y
volumen del paralelepípedo generado por ellos tres
, determina el
b) Determina el área del paralelogramo que tiene como vértices adyacentes
,
y
Solución:
a)
b)
2.- Dadas las ecuaciones de dos rectas
a) Determina las coordenadas del punto de intersección de las rectas (si existe)
b) Determina la ecuación del plano que contiene a las dos rectas
Solución:
a) Tenemos
Ahora se igualan componente a componente y obtenemos
La matriz ampliada es
Aplicando Gauss-Jordan
Por tanto
y el punto de intersección es
b) El vector director de la recta
es
y de la recta
es
,
Tomemos el producto vectorial de ellos encontraremos un vector ortogonal, el cual será
nuestro vector normal del plano
Ahora tomamos un punto sobre y determinamos la ecuación del plano
3.- Determina si el conjunto
es un subespacio vectorial del espacio vectorial
Solución:
Sean las matrices
La matriz nula, también está
Luego es un subespacio vectorial
y
4.- Sean
,
y
a) Determina el espacio generado por
tres vectores en
,
y
b) Determina una base para el espacio generado por
,
y
Solución:
a) Debe cumplirse que para cualquier
El sistema es
La matriz ampliada es
Al usar Gauss tenemos
Para que el sistema sea consistente debe cumplirse que la última fila exista igualdad, en otras
palabras:
a) De manera que
b) Como todo vector del
Por tanto
tiene la forma
es una base del espacio
, entonces