ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
ALGEBRA LINEAL- LECCIÓN 2
Noviembre 16 de 2023
SOLUCIÓN
1) (50) Sean:
V=ℝ3 junto con las operaciones convencionales de adición entre vectores en ℝ3 y producto entre
escalares reales y vectores en ℝ3 y
𝐵 = {(3, 𝑘, −6), (−2, 1, 𝑘 + 3), (1, 𝑘 + 2, 4)} un subconjunto de V
a) Determine todos los valores de 𝒌 para que el conjunto 𝑩 sea una base de ℝ𝟑
Solución:
B que es un conjunto formado por tres vectores en ℝ3 sería una base de ℝ3 si y sólo si los tres
vectores son linealmente independientes.
Los tres vectores son linealmente independientes si y sólo si la matriz 𝐴 cuyas columnas o filas
son los vectores de 𝐵 es invertible, esto es que su determinante es diferente de 0.
3
𝑘
Sea 𝐴 = (−2
1
1 𝑘+2
−6
𝑘 + 3), obtengamos los valores de 𝑘 para los cuales 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0
4
−2
1
1
𝑘+3
−2 𝑘 + 3
⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 3 ⋅ det (
) − 𝑘 det (
) + (−6) det (
)
1 𝑘+2
𝑘+2
4
1
4
⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 3(−𝑘 2 − 5𝑘 − 2) − 𝑘(−𝑘 − 11) + (−6)(−2𝑘 − 5)
⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = −2𝑘 2 + 8𝑘 + 24
⇒ −2𝑘 2 + 8𝑘 + 24 ≠ 0
⇒ 𝑘 2 − 4𝑘 − 12 ≠ 0 ⇒ (𝑘 − 6)(𝑘 + 2) ≠ 0 ⇒ [(𝑘 − 6) ≠ 0 ∧ (𝑘 + 2) ≠ 0]
⇒ [𝑘 ≠ 6 ∧ 𝑘 ≠ −2]
b) Obtenga la matriz de cambio de base de 𝑩 a la base canónica, para cuando 𝒌 = 𝟏
Solución:
La base canónica es: 𝐵1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
Para 𝑘 = 1 se tiene la base 𝐵 = {(3, 1, −6), (−2, 1, 4), (1, 3, 4)}
La matriz de cambio de base de 𝐵 a 𝐵1 es:
𝑀𝐵𝐵1 = ([(3, 1, −6)]𝐵1
[(−2, 1, 4)]𝐵1
3 −2 1
[(1, 3, 4)]𝐵1 ) ⇒ 𝑀𝐵𝐵1 = ( 1
1 3)
−6 4 4
c) Determine [(𝟑, 𝟖, 𝟐)]𝑩 para cuando 𝒌 = 𝟏
Solución:
𝑎
[(3, 8, 2)]𝐵 = (𝑏) ⇒ (3, 8, 2) = 𝑎(3, 1, −6) + 𝑏(−2, 1, 4) + 𝑐 (1, 3, 4)
𝑐
⇒ (3, 8, 2) = (3𝑎 − 2𝑏 + 𝑐, 𝑎 + 𝑏 + 3𝑐, −6𝑎 + 4𝑏 + 4𝑐 )
3𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 3
⇒ {
𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 = 8
−6𝑎 + 4𝑏 + 4𝑐 = 2
3 −2 1 3
1 1
3 8
1 1
3 8
(1
1 3|8) ≈ (0 −5 −8|−21) ≈ (0 −5 −8|−21) ≈
4
−6 4 4 2
0 0
6 8
0 0
1 3
1
≈ (0
0
1 0 4
1
−5 0|−31/3) ≈ (0
0 1 4/3
0
29/15
⇒ [(3, 8, 2)]𝐵 = (31/15)
4/3
1 0 4
1 0 0 29/15
1 0|31/15) ≈ (0 1 0|31/15) ⇒ {
0 1 4/3
0 0 1 4/3
𝑎 = 29/15
𝑏 = 31/15
𝑐 = 4/3
2) (50) Sean:
V=P3 junto con las operaciones convencionales de adición entre vectores en P3 y producto entre
escalares reales y vectores en P3
𝑊 = 𝑔𝑒𝑛{1 − 𝑥 − 𝑥 3 , 𝑥 2 − 1, 1 − 2𝑥 + 𝑥 2 + 2𝑥 3 }
𝐻 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 3 / 𝑐 = −𝑎 − 𝑏 ∧ 𝑑 = −𝑏 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}
Determine:
a) Una base de 𝑾 y su dimensión
Solución:
𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 3 : 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 3 = 𝛼1 (1 − 𝑥 − 𝑥 3 ) + 𝛼2 ( 𝑥 2 − 1) + 𝛼3 ( 1 − 2𝑥 + 𝑥 2 + 2𝑥 3 )}
𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 3 = (𝛼1 − 𝛼2 + 𝛼3 ) + (−𝛼1 − 2𝛼3 )𝑥 + (𝛼2 + 𝛼3 )𝑥 2 + (−𝛼1 + 2𝛼3 )𝑥 3
𝛼1 − 𝛼2 + 𝛼3 = 𝑎
1
−𝛼1 − 2𝛼3 = 𝑏
−1
⇒{ 𝛼 +𝛼 =𝑐 ⇒(
2
3
0
−𝛼1 + 2𝛼3 = 𝑑
−1
1 0
≈( 0 1
0 0
−0 0
−𝑏
−1
1 𝑎
1 0
2
0 −2 | 𝑏 ) ≈ ( 0 −1 −1 |𝑎 + 𝑏)
𝑐
1
1 𝑐
0
1
1
0
2 𝑑
−0
0
0 𝑏+𝑑
−𝑏
2
1 | −𝑎 − 𝑏 ) ⇒ El SEL es consistente si y sólo si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 ∧ 𝑏 + 𝑑 = 0
0 𝑎+𝑏+𝑐
0
𝑏+𝑑
⇒ 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 3 : 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 ∧ 𝑏 + 𝑑 = 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}
⇒ 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + (−𝑎 − 𝑏)𝑥 2 − 𝑏𝑥 3 : , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}
= {𝑎(1 − 𝑥 2 ) + 𝑏(𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 3 ): , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}
⇒ 𝑊 = 𝑔𝑒𝑛(𝐵1 ), 𝐵1 = {1 − 𝑥 2 , 𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 3 } y 𝐵1 es linealmente independiente
⇒ 𝐵1 = {1 − 𝑥 2 , 𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 3 } es una base de 𝑊 ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 2
b) Una base de 𝑯 y su dimensión
𝐻 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 3 / 𝑐 = −𝑎 − 𝑏 ∧ 𝑑 = −𝑏 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}
⇒ 𝐻 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + (−𝑎 − 𝑏)𝑥2 − 𝑏𝑥3 / 𝑐 = −𝑎 − 𝑏 ∧ 𝑑 = −𝑏 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}
⇒ 𝐻 = {𝑎(1 − 𝑥2 ) + 𝑏(𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3 ) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}
⇒ 𝐻 = 𝑔𝑒𝑛(𝐵2 ), 𝐵2 = {1 − 𝑥 2 , 𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 3 } y 𝐵2 es linealmente independiente
⇒ 𝐵2 = {1 − 𝑥 2 , 𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 3 } es una base de 𝐻 ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝐻 = 2
c) El conjunto 𝑾 ∩ 𝑯, su base y dimensión
Solución:
Del análisis anterior se observa que 𝑊 = 𝐻
⇒𝑊∩𝐻=𝑊
⇒ 𝐵2 = {1 − 𝑥 2 , 𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 3 } es una base de 𝑊 ∩ 𝐻 y 𝑑𝑖𝑚(𝑊 ∩ 𝐻 ) = 2
Califique como VERDADERO (V) o FALSO (F) cada una de las siguientes proposiciones, en
cada caso justifique su respuesta:
d) 𝑾 + 𝑯 es una suma directa
Solución:
La proposición es FALSA porque al ser 𝑊 ∩ 𝐻 ≠ {0} la suma no es directa
e) 𝑾 ∪ 𝑯 es un subespacio vectorial
Solución:
(𝐻 = 𝑊 ) ⇒ (𝑊 ∪ 𝐻 = 𝑊 ) ⇒ (𝑊 ∪ 𝐻 es un subespacio vectorial)
La proposición es VERDADERA