Algebra Lineal
Contenido
1. Espacios vectoriales ........................................................................................................................ 1
Problemas 1.2. Espacios vectoriales. .................................................................................................. 1
PROBLEMA 13 ................................................................................................................................. 1
PROBLEMA 16. ................................................................................................................................ 2
[i]
1. Espacios vectoriales
Problemas 1.2. Espacios vectoriales.
PROBLEMA 13
Sea 𝑽 el conjunto de pares ordenados de números reales. Si (𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ) y (𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 ) son elementos de 𝑽
y 𝒄 es un elemento de 𝑭, se definen
(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ) + (𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 ) = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏 , 𝒂𝟐 𝒃𝟐 ) y 𝒄(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ) = (𝒄𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 )
¿En V un espacio vectorial bajo esas operaciones? Verifique su respuesta
SOLUCION:
Teorema: En cualquier espacio vectorial 𝑉, son verdaderos los siguientes enunciados:
a) 0𝑥 = 0 para toda 𝑥𝜖𝑉
b) (−𝑎)𝑥 = −(𝑎𝑥) para toda 𝑎𝜖𝐹 y toda 𝑥𝜖𝑉
c) 𝑎0 = 0 para toda 𝑎𝜖𝐹
Entonces probando cada condición:
a) 0𝑥 = 0 para toda 𝑥𝜖𝑉
𝑐(𝑎1 , 𝑎2 ) = (𝑐𝑎1 , 𝑎2 ) donde 𝑐 = 0
0(𝑎1 , 𝑎2 ) = (0, 𝑎2 ) ≠ (0,0)
Por lo tanto, no cumple con esta condición y no es un espacio vectorial.
[1]
PROBLEMA 16.
Sea 𝑽 = {(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ): 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ∈ 𝑹}. Para (𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ), (𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 ) ∈ 𝑽 y 𝒄 ∈ 𝑹, defínase
(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ) + (𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 ) = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏 , 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 )
𝒄(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ) = {
(𝟎, 𝟎)
𝒔𝒊 𝒄 = 𝟎
𝒂𝟐
(𝒄𝒂𝟏 , ) 𝒔𝒊 𝒄 ≠ 𝟎
𝒄
¿Es 𝑽 un espacio vectorial bajo estas operaciones? Justifique su respuesta.
SOLUCION:
Un espacio vectorial 𝑉 sobre un campo 𝐹 Deben cumplir las siguientes condiciones:
1.
(VS 1) Para toda 𝑥, 𝑦 en 𝑉, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (conmutatividad de la adición).
𝑥 + 𝑦 = (𝑎1 , 𝑎2 ) + (𝑏1 , 𝑏2 ) = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 )
𝑦 + 𝑥 = (𝑏1 , 𝑏2 ) + (𝑎1 , 𝑎2 ) = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 )
Por lo tanto, se cumple (VS 1)
2. (VS 2) Para toda 𝑥, 𝑦, 𝑧 en 𝑉, (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑥) (asociatividad de la adición).
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = [(𝑎1 , 𝑎2 ) + (𝑏1 , 𝑏2 )] + (𝑐1 , 𝑐2 ) = (𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 , 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 )
𝑥 + (𝑦 + 𝑥) = (𝑎1 , 𝑎2 ) + [(𝑏1 , 𝑏2 ) + (𝑐1 , 𝑐2 )] = (𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 , 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Por lo tanto, se cumple (VS 2)
3. (VS 3) Existe un elemento en 𝑉 llamado 0 tal que 𝑥 + 0 = 𝑥 para toda 𝑥 en 𝑉
𝑥+0=𝑥 ∴𝑥−𝑥 =0
𝑥 − 𝑥 = (𝑎1 , 𝑎2 ) − (𝑎1 , 𝑎2 ) = (𝑎1 − 𝑎1 , 𝑎2 − 𝑎2 ) = (0,0)
Por lo tanto, se cumple (VS 3)
4. (VS 4) Para cada elemento 𝑥 en 𝑉, existe un elemento 𝑦 en 𝑉 tal que 𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 0 ∴ 𝑦 = −𝑥 ∴ 𝑥 − 𝑥 = 0
𝑥 − 𝑥 = (𝑎1 , 𝑎2 ) − (𝑎1 , 𝑎2 ) = (𝑎1 − 𝑎1 , 𝑎2 − 𝑎2 ) = (0,0)
Por lo tanto, se cumple (VS 4)
5. (VS 5) Para cada elemento 𝑥 en 𝑉, 1𝑥 = 𝑥
𝑥 = (𝑎1 , 𝑎2 )
𝑐𝑥 = (𝑐𝑎1 ,
𝑎2
𝑎2
) ; 𝑐 = 1; 1𝑥 = (1𝑎1 , ) = (𝑎1 , 𝑎2 )
𝑐
1
Por lo tanto, se cumple (VS 5)
[2]
6. (VS 6) Para cada par 𝑎, 𝑏 de elementos en 𝐹 y cada elemento 𝑥 en 𝑉, (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎(𝑏𝑥)
𝑎2
𝑎2
) ; 𝑐 = 𝑎𝑏; (𝑎𝑏)𝑥 = ((𝑎𝑏)𝑎1 , )
𝑐
𝑎𝑏
𝑎2
𝑎2
𝑎2
𝑐𝑥 = (𝑐𝑎1 , ) ; 𝑐 = 𝑏; 𝑎(𝑏𝑥) = 𝑎 ((𝑏)𝑎1 , ) = ((𝑎𝑏)𝑎1 , )
𝑐
𝑏
𝑎𝑏
𝑐𝑥 = (𝑐𝑎1 ,
Por lo tanto, se cumple (VS 6)
7. (VS 7) Para cada elemento 𝑎 en 𝐹 y cada par de elementos 𝑥, 𝑦 en V 𝑎(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
𝑎(𝑥 + 𝑦) = 𝑎((𝑎1 , 𝑎2 ) + (𝑏1 , 𝑏2 )) = 𝑎((𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 )) = (𝑎(𝑎1 + 𝑏1 ),
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑎1 , 𝑎2 ) + 𝑎(𝑏1 , 𝑏2 ) = ((𝑎)𝑎1 ,
𝑎2
)+
𝑎
𝑏
(𝑎2 + 𝑏2 )
)
𝑎
((𝑎)𝑏1 , 𝑎2 ) = (𝑎(𝑎1 + 𝑏1 ),
(𝑎2 + 𝑏2 )
𝑎
)
Por lo tanto, se cumple (VS 7)
8. (VS 8) Para cada par 𝑎, 𝑏 de elementos en 𝐹 y cada par de elementos 𝑥 en 𝑉, (𝑎 + 𝑏)𝑥 =
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
𝑎2
)
𝑎+𝑏
𝑎2
𝑎2
𝑎2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑎(𝑎1 , 𝑎2 ) + 𝑏(𝑎1 , 𝑎2 ) = ((𝑎)𝑎1 , ) + ((𝑏)𝑎1 , ) = ((𝑎 + 𝑏)𝑎1 ,
)
𝑎
𝑏
𝑎+𝑏
(𝑎 + 𝑏)𝑥 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎1 , 𝑎2 ) = ((𝑎 + 𝑏)𝑎1 ,
Por lo tanto, se cumple (VS 8)
Como todas las condiciones se cumplen entonces si es un espacio vectorial
[3]