Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Universidad de Chile
MA3002-1 Tópicos en Análisis Convexo
Profesor: Rafael Correa y Felipe Atenas
Auxiliares: Ignacio Fierro, Felipe Hernández y Arie Wortsman
Auxiliar 8: Más Separación y Revisión del control
P1. Sea X un e.v.n. y A ⊆ X no vacı́o. Pruebe que co(A) = {x ∈ X | l(x) ≤ supa∈A l(a), ∀l ∈ X ∗ } donde
co(A) es la intersección de todos los conjuntos cerrados convexos que contienen a A.
P2. Dado dos convexos cerrados y no vacı́os A, B ⊆ E, demuestre:
sup l(x) = sup l(x), ∀l ∈ E ∗ =⇒ A = B
x∈A
x∈B
P3. Revisión del control
Sea V un espacio de Banach, y L ∈ L(V, V ). Suponga que
kLkL(V,V ) < 1
El objetivo de este problema es probar que I −L es una biyección en V , con función inversa lineal continua:
(I − L)−1 =
∞
X
Ln
n=0
y que además se cumple que
k(I − L)−1 kL(V,V ) ≤
1
1 − kLkL(V,V )
(1)
donde I representa la función identidad en el espacio V . Para esto se propone el siguiente esquema:
a) Justifique que L(V, V ) es Banach y pruebe que ∀L1 , L2 ∈ L(V, V ), kL1 ◦ L2 k ≤ kL1 k · kL2 k
b) Defina en L(V, V ) la sucesión
Tn =
n
X
Lk
k=0
Demuestre que (Tn )n∈N es convergente en L(V, V ).
c) Use lo anterior para demostrar que (I − L) es biyectiva e identificar su inversa lineal.
d) Concluya la desigualdad (1).
P4. Revisión del control
Sea {zi }ni=1 un conjunto finito de puntos linealmente independientes en un espacio de Hilbert H. Considere
además el conjunto {αi }ni=1 de n reales distintos. En este problema, buscaremos mostrar que existe una
función φ ∈ L(H, R) tal que φ(zi ) = αi para todo i ∈ {1, ..., n}. Para ello, para zi ∈ X fijo, definamos el
conjunto Fj = h{zi }ij6=i .
a) Demuestre que existe una función lineal continua φi ∈ L(H, R) tal que φi (x) = 0 ∀x ∈ Fi .
b) Concluya.
I