Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ciencias Fı́sicas
DAFES
Fı́sica Matemática II
Dr. Richard Toribio Saavedra
Notación Las derivadas ordinarias se presentarán
utilizando
la
notación
de
Leibniz
dy/dx, d2 y/dx2 , d3 y/dx3 , · · · , o la notación prima
y ′ , y ′′ , y ′′′ , · · · En realidad, la notación de prima se
utiliza solamente las tres primera derivadas. En términos
generales, la n-ésima derivada será dn y/dxn ó y (n) .
Además, ocasionalmente se utiliza la notación de
Newton por puntos para denotar las derivadas con
respecto al tiempo t (d2 s/dt = s̈2 ).
I.
CÁLCULO VECTORIAL
1. Demuestre la ley de los senos para un triángulo
mediante el uso del producto cruz de un vector con
⃗+C
⃗ = B.
⃗
A
2. Verifique el desarrollo del producto vectorial triple
⃗ × (B
⃗ × C)
⃗ = B(
⃗ A
⃗ · C)
⃗ − C(
⃗ A
⃗ · B)
⃗ mediante el
A
desarrollo directo en coordenadas cartesianas.
3. Demuestre que:
⃗ = [⃗a · (⃗b × d)]⃗
⃗ c − [⃗a · (⃗b × ⃗c)]d⃗
(⃗a × ⃗b) × (⃗c × d)
⃗ B,
⃗ y C
⃗ están definidos por: A
⃗ =
4. Tres vectores A,
⃗ = 6x̂ + 4ŷ − 2ẑ, C
⃗ = −3x̂ − 2ŷ − 4ẑ.
3x̂ − 2ŷ + 2ẑ, B
⃗·B
⃗ ×C
⃗ yA
⃗ × (B
⃗ × C).
⃗
Calcule los valores de A
8. Demuestre que ⃗u × ⃗v es solenoidal si ⃗u y ⃗v son cada
una irrotacional.
9. Evalúe
⃗ + p⃗ × E
⃗
⃗τ = ⃗r × [⃗
p · ∇E]
10. Si S(x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )3/2 , encuentre: (a) ∇S
en el punto (1, 2, 3), (b) la magnitud del gradiente
de S, en (1, 2, 3) y (c) los cosenos de dirección de
∇S en el punto (1, 2, 3).
⃗ es un vector constante, demuestre que
11. Si A
⃗ · ⃗r) = A.
⃗
∇(A
12. Si ⃗a = ▽φ + ψ ▽ χ, calcule
(⃗a · ▽)⃗a
13. Verifique la identidad:
⃗ × (∇ × A)
⃗ = 1 ∇(A2 ) − (A
⃗ · ∇)A.
⃗
(a) A
2
(b) Halle la ∇ · (r4⃗r).
14. Demuestre que ∇ × (φ∇φ) = 0.
15. Evalúe el vector
1
⃗r
⃗v = ⃗v0 + a3 ∇(⃗v0 · 3 )
2
r
5. La gravedad varı́a de un punto a otro como:
⃗ × (Ω
⃗ ×R
⃗ T ).
⃗g = ⃗g0 − Ω
Este error es pequeño, pero para vuelos de muchas horas puede hacerse perceptible. Exprese ⃗g en
términos de sus componentes.
donde a es constante.
16. Haciendo uso de las siguientes definiciones:
{∇ψ}α = ∂α ψ,
∇ · F⃗ = ∂α Fα ,
{∇ × F⃗ }γ = εγαβ ∂α Fβ .
6. Evalúe el vector
⃗ + ⃗u × B
⃗ + ⃗v × B),
⃗
F⃗ = q(E
⃗ = ∇ψ × A
⃗ + ψ∇ × A.
⃗
Demuestre que: ∇ × (ψ A)
donde
⃗u =
⃗ ×B
⃗
E
2
B
7. Un cuerpo gira con velocidad angular constante w.
⃗
Demuestre que la velocidad lineal es solenoidal.
17. De la ecuación de la magnetohidrostática:
0=−
dpi
1
⃗ × B]
⃗ z
− gρi + [(∇ × B)
dz
µ
de donde g y µ son constantes. Determine dpi /dz.
2
⃗ es un campo Beltrami definido por la propie18. Si B
⃗ = α(⃗r)B,
⃗ demuestre que:
dad ∇ × B
⃗ = −1B
⃗ · ∇α,
∇·B
α
y
⃗ + α2 B
⃗ = 0.
∇2 B
denominada ecuación de Helmholtz si α se restringe, en este último caso, a ser una constante espacial.
19. Si la fuerza F⃗ = (x2 + y 2 + z 2 )(xx̂ + y ŷ + z ẑ),
encuentre: (a) ∇ · F⃗ , (b) ∇ × F⃗ , (c) un potencial
escalar φ(x, y, z) de modo que F⃗ = −∇φ.
20. Demuestre que:
⃗ = ⃗0,
−∇p + ρψ
es la ecuación más general de la estática de fluidos.
⃗ p es la presión y ρ
La intensidad del campo es ψ,
es la densidad.
21. En una masa aislada (no rotatoria) tal como una
estrella, la condición de equilibrio es
26. (a) Exprese los componentes de un vector de pro⃗ C
⃗ =A
⃗ × B,
⃗ en términos de εıȷk
ducto vectorial C,
⃗
⃗
y los componentes de A y B. (b) Utilice la antisi⃗·A
⃗×B
⃗ = 0.
metrı́a de εıȷk para demostrar que A
27. Demuestre que la condición, para que los vectores
⃗ B,
⃗ C,
⃗ sean coplanares, puede ser escrito como:
A,
∑
εijk Ai Bj Ck = 0
ijk
28. Las ecuaciones magnetohidrostáticas resultantes
son:
⃗
∇p = J⃗ × B,
⃗ = 0,
∇·B
⃗ = µ0 J⃗
∇×B
Utilizando identidades vectoriales, encuentre la
ecuación de balance de presión. Explique brevemente la fı́sica del problema.
29. Al tanque de agua que se ilustra se aplica una aceleración constante ay . Si se desea que el agua no se
derrame cuando se alcance una configuración fija
con respecto al tanque, cuál es la mayor aceleración permisible?
∇P + ρ∇φ = 0
de donde, P es la presión total, ρ la densidad y φ
el potencial gravitacional. Demuestre que en cualquier punto las normales a las superficies de presión constante y potencial gravitacional constante
son paralelas.
⃗ una función
22. Sea η(x, y, z) una función escalar y H
vectorial, calcule:
⃗ ∇ × (η ∇ × H)
⃗
H
23. Si una función de vector F⃗ depende tanto de las
coordenadas espaciales (x, y, z) como del tiempo t,
demuestre que:
dF⃗ = (d⃗r.∇)F⃗ +
∂ F⃗
dt.
∂t
⃗ = 4π J,
⃗ está expre24. La ecuación de Maxwell: ∇ × H
⃗ es la intensada en unidades electromagnéticas. H
sidad de campos magnéticos, J⃗ es la densidad de
corriente y la fuerza de Lorentz está dado por:
⃗
f⃗ℓ = µ J⃗ × H.
⃗ = 0. Calcule f⃗ℓ .
y ∇·H
⃗ y ∇ × ∇φ en la notación εıȷk , de
25. Indique ∇ · ∇ × A
modo que sea evidente que cada expresión desaparece.
30. Exprese la ecuación de Maxwell:
⃗ = (σ + j w ε)E
⃗
∇×H
en coordenadas cilı́ndricas.
√ Los parámetros σ, w y
ε, son constantes y (j = −1). Indique sus respectivos vectores unitarios.
31. Coordenadas curvilı́neas. Determine los coeficientes
métricos hpq que especifican la naturaleza geométrica del sistema coordenado. Demuestre que, para
cualquier sistema coordenado ortogonal el elemento
de longitud resulta ser:
∑
ds2 =
h2p dqp2
p
32. Siendo â1 un vector unitario en la dirección de q1
creciente, demuestre que
1
∂(h2 h3 )
h1 h2 h3 ∂q1
∂h1
∂h1
1
[â2
− â3
]
∇ × â1 =
h1
h3 ∂q3
h2 ∂q2
∇ · â1 =