ITBA
Matemática I/Análisis I - Final
4 julio 2018
Nombre y Apellido:
Número de Legajo:
1
2
3
4
5
Calificación
• Ejercicio 1.
Considere la función definida por
f (x) = ln(|x|) −
x3
.
3
1. Estudie crecimiento, extremos, concavidad, puntos de inflexión y ası́ntotas.
2. Haga un gráfico aproximado de f y encuentre la imagen de la función.
• Ejercicio 2.
Halle el valor de c ∈ R para que la función
(
f (x) =
ex −1−x
x2
c
x 6= 0
x=0
resulte derivable en todo R. Analice la continuidad de f 0 en x = 0 para el valor de c obtenido.
• Ejercicio 3.
Hallar todas las f : (−1, 1) → R tales que:
1. f 0 (x) = ln(1 − x2 )
2. f (0) = 1
• Ejercicio 4.
2
Sea f (x) = e−x . Encuentre el valor de a ∈ R para el cual el área encerrada por el gráfico de
f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = a + 2 es máxima.
• Ejercicio 5.
Sea f una función de la cual se sabe que 1 − x2 es su polinomio de Taylor de orden 2 centrado
en el origen. Pruebe que g(x) = ln(1 + f 2 (x − 1)) tiene un extremo relativo en x = 1, e indique
si éste es un máximo o un mı́nimo.