Cálculo Diferencial
Primer Parcial, TEMA A
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Fecha: 21 de Agosto de 2019.
Profesor:
La presencia de cualquier equipo de comunicación en el entorno del examen es considerado intento de fraude.
Éste o cualquier otro intento de fraude implica cero en el examen y se reportará a la facultad.
La comprensión del examen es parte de la evaluación, por tanto, no se responden preguntas.
Se evalua procedimiento y/o justificación , por tanto, sea claro y ordenado.
√
1. (8 puntos) La siguiente gráfica representa la función f (x) =
x.
y
4
3
2
1
−2
x
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
Determine la transformación realizada a la función anterior en cada una de las siguientes
graficas:
y
−2
y
2
4
1
3
x
−1
1
2
3
4
5
6
7
2
8
−1
1
x
−2
−2
−1
1
−3
−1
−4
−2
h(x) =
−7
−6
−5
g(x) =
3
4
5
6
1
2
3
4
7
m(x) =
y
−8
2
−4
−3
−2
y
4
4
3
3
2
2
1
1
x
−1
1
2
−2
x
−1
−1
−1
−2
−2
w(x) =
8
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2. Para f (x) = x2 − 4, g(x) = −x + 2, h(x) = |x|. Completar y simplificar:
a) (4 puntos)
(h ◦ f )(x) =
. Dom =
. Rango =
. Cortey =
b) (4 puntos)
(f − g)(x) =
. Dom =
. Rango =
. Cortex =
c) (2 puntos)
(f /g)(x) =
. Dom =
.
3. Una maquina se compra en $40.000 y al cabo de 8 años se deprecia hasta un precio de
$24.000. Sea C es el costo de la maquina y t el tiempo medido en años. Si se usa un método
de depreciación en linea recta:
a) (4 puntos) Determine C(t) la función de costo de la maquina.
b) (4 puntos) Halle el dominio y el rango de la función en el contexto del problema.
Grafique la función.
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c) (2 puntos) Interprete la pendiente como una taza de cambio.
d) (2 puntos) Halle los cortes con los ejes e interprete.
e) (4 puntos) Si la empresa le ofrece a usted una maquina con 12 años de uso a un precio
de $20.000. ¿Es buena idea comprar la maquina? Argumente.
4. Para estimar la fecha de caducidad de un alimento como la leche, se observa controladamente el crecimiento de diferentes patógenos. La proliferación de estos microorganismos es
disparada cuando los polisacáridos comienzan a descomponerse. La siguiente figura muestra
la concentración de monosacáridos en gramos por litro para un determinado alimento en
función del tiempo en que este fue empacado.
0.01
0.008
C (g/L)
0.006
0.004
0.002
0
0
2
4
6
t (días)
8
10
12
14
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a) (4 puntos) De las siguientes tres funciones cuál podrı́a modelar mejor la concentración
de monosacáridos en función de los dı́as transcurridos.
1) f (t) = 0,002e0,12·t
2) g (t) = 0,002 + 0,00024 · t
3) h (t) = 0,002 + 0,00024 · log (t)
b) (8 puntos) ¿cual es la cantidad de monosacaridos a los 70 dias de empacado el producto?
c) (4 puntos) Sı́ se sabe que con una concentración de monosacáridos de 50 gramos/litro
la cantidad de microorganismos se dispara hasta alcanzar niveles que desaconsejan su
consumo. ¿Cuál es la fecha limite de consumo de este alimento? Exprese su respuesta
en función del número de dı́as de haberse empacado el alimento.
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5. (16 puntos) Para la función f (x) con la siguiente gráfica,
y
4
d
t
3
d
2
t
d
1
x
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
d
−2
−3
Complete la tabla:
a
lı́m f (x)
x→a−
lı́m f (x)
x→a+
lı́m f (x) f (a)
x→a
-3
-1
3
5
6. (12 puntos) Complete las siguientes afirmaciones:
La función f (x) =
x2
cumple la propiedad:
3
cumple f (−a) = f (a) para todo el dominio, por lo tanto f (x)
+6
Para que la función exponencial g(x) = ax sea decreciente, la base a debe cumplir la
propiedad:
lı́m tan(x) no existe porque:
x→π/2
x2 − 9/4
(x + 3/2)(x − 3/2)
Es falso que la función h(x) =
=
= x − 3/2 es una función
x + 3/2
x + 3/2
lineal en todos los reales porque: