CÀLCUL VECTORIAL.
Mètodes Matemàtics II.
Graus en Enginyeria Industrial.
PROBLEMES
1. La tasca de l’assignatura de Matemàtiques consistia en preparar la parametrització de dues
corbes de tal forma que en representar-les conjuntament s’observés el resultat d’un partit de
futbol B–M. En Joan i l’Anna van presentar les següents parametritzacions:
• Resultat equip B. B(t) = x(t), y(t) essent


t ∈ [0, 1];
t ∈ [0, 1];
 2t,
 −1,
3 − t, t ∈ (1, 2];
−t,
t ∈ (1, 2]; y(t) =
x(t) =


1,
t ∈ (2, 3].
1.5t − 5, t ∈ (2, 3].
• Resultat equip M. M (t) = 2 + sin(4t), 1 + 2 sin(2t) , t ∈ [0, 3].
Es demana que:
(a) Representeu aproximadament la corba B(t), t ∈ [0, 3] de tal forma que s’observi el número
de gols que l’Anna i en Joan preveien que anotaria l’equip B.
(b) Indiqueu si us sembla que en algun punt de la trajectòria de la corba B anterior és possible
que B 0 (t) sigui perpendicular a B(t).
(c) Comproveu que la corba M (t) inicia el seu recorregut en el punt P (2, 1). Demostreu que el
recorregut d’aquesta corba torna a passar per aquest punt P en un altre moment posterior.
→
−
→
−
−
−
2. Donat el camp vectorial →
v = (x3 + y 2 + z) i + (x + y 3 + z 2 ) j + (z 3 + x2 + y)→
z , trobeu:
→
−
−
(a) Els punts de l’espai que verifiquen que rot→
v = 0.
(b) El valor de la divergència en aquests punts.
−
(c) El gradient del camp escalar definit per la divergència de →
v.
3. Determineu, segons els valors de a i b, si el següent camp vectorial és conservatiu. Si és possible,
calculeu la corresponent funció potencial:
→
−
F (x, y, z) = 6ab z 3 y − 20b x3 y 2 , 6abxz 3 − 10b x4 y, 18ab xz 2 y .
→
−
4. Considereu
el camp vectorial F (x, y, z) = (x2 − yz, y 2 − xz, −xy). Calculeu la integral de lı́nia
R
I = AB F1 dx + F2 dy + F3 dz, amb A = (0, 0, 0) i B = (1, 21 , 12 ), segons les corbes:
(a) la recta que uneix A i B;
(b) la corba x = t, y = 12 t2 , z = 12 t4 ;
→
−
(c) Demostreu que F admet funció potencial, i calculeu-la.
→
−
(d) Useu la funció potencial associada a F per a calcular I.
5. Calculeu les següents integrals de lı́nia
R
γ
X, on:
(a) X(x, y, z) = (x, y, z) and γ = (cos(t), sin(t), t), per t ∈ [0, 2π].
(b) X(x, y, z) = x2 , xy, 1 and γ = (t, t2 , 1), per t ∈ [0, 1].
→
−
6. Considereu el camp vectorial F (x, y, z) = (x + y, z + x, y + z).
(a) Demostreu que és un camp conservatiu.
(b) Calculeu el treball que realitza en traslladar una partı́cula de (0, 0, 0) a (1, −1, 0).
2
2
7. Calculeu el treball realitzat per una partı́cula en donar una volta al llarg de l’el·lipse x16 + y9 = 1,
→
−
→
−
→
−
actuant sobre ella la força F (x, y) = (3x − 4y) i + (4x + 2y) j . Es pot aplicar el teorema de
Green? Quina integral doble s’hauria de plantejar per a calcular el treball?
→
−
8. RConsidereu el camp F (x, y) = (−y, x) i els punts A(0, 2) i B(1, 0). Calculeu la integral de lı́nia
C F , on la corba tancada C és recorreguda en sentit positiu (anti-horari), i es defineix de la
següent manera:
• De A a B: la corba 4x2 + y 2 = 4;
• De B a A: la recta que els uneix.
9. Calculeu el treball realitzat per la força F (x, y) = (2x3 − y, x), per moure una partı́cula al llarg
2
2
de tota la corba tancada x4 + y9 = 1 .
→
−
10. Considereu el camp vectorial F (x, y) = (cos(x) sin(x), x + y), i la corba tancada de A(0, 1) a
B(1, e) seguint la funció y = ex , i de B a A per la recta que els uneix. Comproveu el teorema
de Green, calculant les dues integrals corresponents.
11. Donat el camp G(x, y) = (cos(x) − y, sin(y) − x), utilitzeu la seva funció potencial associada per
a calcular el treball que realitza per a traslladar una partı́cula del punt A(0, 0) al punt B(0, π).
SOLUCIONS.
1. (a) Gràfica:
(b) Els vectors tangents són: quan t ∈ (0, 1) múltiples de v~1 = (0, 1); quan t ∈ (1, 2) múltiples
de v~2 = (−1, −1) ; quan t ∈ (2, 3) múltiples de v~3 = (1, 0). L’única possibilitat per tal que
3
B(t) ⊥ B 0 (t) és a l’interval t ∈ (1, 2), i exactament en el moment t = .
2
π
(c) M (0) = (2, 1). Dos valors en l’interval [0, 3] on la corba M (t) s’autointerseca: t = 0 i t = .
2
2. (a) ( 12 , 12 , 21 )
(b)
9
4
(c) (6x, 6y, 6z).
3. Cert ∀a, b. Funció potencial:f (x, y, z) = 6ab xyz 3 − 5b x4 y 2 + C, sent C una constant qualsevol.
4. I = 18 . Funció potencial: f (x, y, z) =
5. (a) 2π 2
x3
3
+
y3
3
− xyz + C.
(b) 11/15.
→
−
→
−
6. rot F = 0 . Treball= - 12 .
7. T = 96π; T =
8.
R
C
R 2π R 1
0
0
96 rdrdα.
F = 2 + 3π.
9. 12π.
10.
3
2
− 12 e.
11. Funció potencial: g(x, y) = sin(x) − cos(y) − xy + C. Treball: 2.
ALGUNES CONSIDERACIONS PER TREBALLAR AMB MAPLE:
Es poden definir els camps vectorials usant la instrucció VectorField. Usem Curl per a calcular el
rotacional, i Divergence per a obtenir la divergència d’un camp vectorial. Compte! Cal cridar la
llibreria Student[VectorCalculus]:
[> with(Student[VectorCalculus]):
[> F := VectorField( <y,-x,z+2> );
[> Curl( F );
[> Divergence( F );
Donat un camp escalar, podem calcular el seu gradient amb l’instrucció Gradient, que també es troba
a la llibreria Student[VectorCalculus]:
[> restart:
[> with(Student[VectorCalculus]):
[> g := (x,y)->cos(x*y);
[> Gradient(g(x,y),[x,y]);