Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Económicas
Econometrı́a 1
Cuarto Taller
1. (Máxima Verosimilitud). Una variable aleatoria x sigue la distribución exponencial si presenta la siguiente función de densidad de probabilidad (pdf):
1
 exp − x
si x ≥ 0,
θ
f (x) = θ
(1)

0
si x < 0.
Donde θ > 0 es el parámetro de la distribución. Con el métodoP
de Máxima Verosixi
, donde n es el
militud (MV) demuestre que el estimador de MV de θ es θb =
n
tamaño de la muestra. Es decir, demuestre que el estimador de MV de θ es la media
muestral x̄.
Como estamos interesados en el caso en que x ≥ 0, la función de densidad es:
x
1
.
f (x) = exp −
θ
θ
La función de verosimilitud serı́a:
L (x1 , x2 , . . . , xn ; θ) =
n
Y
1
i=1
x
i
exp −
,
θ
θ
n
1
1X
= n exp −
xi
θ
θ i=1
Tomando logaritmo natural a la función de verosimilitud,
n
1X
ln(L) = −nln(θ) −
xi .
θ i=1
1
!
.
2
Derivando con respecto a θ, igualando a cero y despejando, obtenemos el estimador
de Máxima Verosimilitud del parámetro θ.
n
∂ln(L)
n
1 X
=0: − + 2
xi = 0,
∂θ
θ θ i=1
n
n
1 X
= 2
xi ,
θ
θ i=1
Pn
θbM V =
i=1
xi
n
= x̄.
2. (Máxima Verosimilitud). Sea x una variable aleatoria discreta que representa el
número de aciertos en n ensayos de un experimento. Asuma que la variable x sigue
una distribución binomial:
n x
f (x) =
p (1 − p)n−x .
(2)
x
Donde p es la probabilidad de acierto. Demuestre que el estimador de MV de p es
x
pb = . Es decir, demuestre que el estimador de MV de la probabilidad de acierto
n
es la variable x dividida entre el número de observaciones.
La función de verosimilitud es:
n x
L (x; p) =
p (1 − p)n−x ,
x
x
n
p
=
(1 − p)n .
x
1−p
Tomando logaritmo natural a la función de verosimilitud.
p
n
ln(L) = xln
+ n ln (1 − p) + ln
.
1−p
x
Derivando con respecto a p, igualando a cero y despejando, encontramos el estimador
de Máxima Verosimilitud de ese parámetro.
3
∂ln(L)
=0:
∂p
1−p
p
x
n
= 0,
2 −
1−p
(1 − p)
n
x
=
,
1−p
p (1 − p)
np = x,
pbM V =
x
.
n
3. (Mı́nimos Cuadrados Restringidos). Suponiendo que se cumplen los supuestos
b 0 Pb
del modelo clásico de regresión. Demuestre que SRCR − SRCN R = u
u. Donde P
−1 0
0
b
es la matriz de proyección, P = X(X X) X , y u son los residuales estimados del
modelo restringido.
Tips: Utilice las siguientes ayudas:
Estadı́stico F en función de SRC y en su forma matricial:
Fc =
(SRCR − SRCN R )/J
,
SRCN R /(n − k)
−1
(Rb − r) /J
(Rb − r)0 R (X0 X)−1 R0
.
Fc =
2
s
Donde J es número de restricciones lineales en la hipótesis nula, R es una
matriz de dimensión J × k, r es un vector de dimensión J × 1 y b es el vector
de los parámetros estimados por MCO.
El estimador de la varianza de los residuales en el modelo no restringido es s2 ,
que se define como:
SRCN R
s2 =
.
n−k
La condición de primer orden del problema de optimización de mı́nimos cuadrados restringidos:
h
i−1
−1
b = R0 R (X0 X) R0
X0 u
(Rb − r) .
4
El primer paso intuitivo es igualar las dos expresiones de los estadı́sticos F. Pero el
segundo paso es un poco más difı́cil. Toca desarrollar y organizar de forma conveb 0 Pb
niente la expresión u
u y hacer uso de la condición de primer orden.
Como s2 =
SRCN R
, el estadı́stico F en su forma matricial queda expresado como:
n−k
−1
(Rb − r) /J
(Rb − r)0 R (X0 X)−1 R0
Fc =
.
SRCN R /(n − k)
Igualando ambas expresiones del estadı́stico F :
−1
(Rb − r)0 R (X0 X)−1 R0
(Rb − r) /J
(SRCR − SRCN R )/J
= Fc =
,
SRCN R /(n − k)
SRCN R /(n − k)
h
i−1
−1
(Rb − r) .
SRCR − SRCN R = (Rb − r)0 R (X0 X) R0
−1
b 0 Pb
Como P = X(X0 X) X0 , la expresión u
u queda,
−1
b 0 Pb
b 0 X(X0 X) X0 u
b,
u
u=u
−1
b 0 Pb
b )0 (X0 X) (X0 u
b ).
u
u = (X0 u
h
i−1
−1
0
0
b = R R (X X) R
Usando la condición de primer orden: X u
(Rb − r) y simplificando, tenemos:
h
0
h
i−1
i−1
−1
−1
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
b Pb
u
u = R R (X X) R
(Rb − r) (X X)
R R (X X) R
(Rb − r) ,
0
0
h
i−1
h
i−1
−1
−1
−1
b 0 Pb
(Rb − r) .
u
u = (Rb − r)0 R (X0 X) R0
R (X0 X) R0 R (X0 X) R0
h
0
−1
Debido a que R (X X)
0
R
i−1
−1
R (X0 X)
R0 = IJ ,
h
i−1
−1
0
0
b Pb
u
u = (Rb − r) IJ R (X X) R
(Rb − r) ,
0
0
h
i−1
−1
0
0
b Pb
u
u = (Rb − r) R (X X) R
(Rb − r) .
0
0
5
Entonces, tenemos las siguientes igualdades,
h
i−1
−1
b 0 Pb
u
u = (Rb − r)0 R (X0 X) R0
(Rb − r) ,
h
i−1
−1
SRCR − SRCN R = (Rb − r)0 R (X0 X) R0
(Rb − r) .
Luego, se obtiene el resultado deseado.
h
i−1
−1
b 0 Pb
SRCR − SRCN R = (Rb − r)0 R (X0 X) R0
(Rb − r) = u
u,
b 0 Pb
SRCR − SRCN R = u
u.
4. (Mı́nimos Cuadrados Restringidos). Se estima por medio de MCO un modelo
de la variable y sobre un término constante y dos variables control, dando como
resultado el modelo no restringido:
yb = 4 + 0.4x1 + 0.9x2 .
Se conoce la siguiente información: SRCN R = 520, n = 29 y


29 0 0


X0 X =  0 50 10 .
0
10 80
Mediante la fórmula matricial del estadı́stico F, evalúe la hipótesis de que la suma
de los estimadores de x1 y x2 es igual a 1. Para hacer el contraste, trabajando con
un nivel α = 5 %, con los grados de libertad J = 1 y n − k = 26, el F de las tablas
es Ft = 4.225 ¿Qué conclusión obtiene?
La función de regresión poblacional es:
yi = β0 + β1 xi,1 + β2 xi,2 + ui .
La hipótesis nula es:
H0 : β1 + β2 = 1.
Y el estadı́stico F en su forma matricial es:
−1
(Rb − r)0 R (X0 X)−1 R0
(Rb − r) /J
.
Fc =
SRCN R /(n − k)
6
De la hipótesis nula se hace obvio que sólo hay una restricción, por lo que J = 1.
Además, el vector r serı́a, en este caso, un escalar: r = 1.
También se deduce que la matriz R es un vector de 1 × 3, ya que hay una sola
restricción y 3 parámetros: β0 , β1 , y β2 .
R= 0 1 1 .
La matriz (X0 X)−1 es relativamente fácil de calcular. Con el método de GaussJordan, se puede llegar a la siguiente expresión:

1
0
0

 29



1 
4
.

=0
−

195
390



1
1 
0 −
390
78

−1
(X0 X)
Desarrollamos la expresión R (X0 X)−1 .

1
0
0

 29
 


4
1
= 0 7
= 0 1 1 
−
0
195
390 
390



1 
1
0 −
390
78

0
−1
R (X X)
2
195
.
Desarrollamos la expresión R (X0 X)−1 R0 .
−1
0
0
R (X X) R = 0
7
390
2
195
 
0
 
1 = 11 .
  390
1
i−1
h
−1
Luego, la matriz R (X0 X) R0
serı́a, simplemente, el inverso de un escalar.
h
i−1 11 −1 392
−1
0
0
R (X X) R
=
=
.
390
11
Ahora, desarrollamos la expresión Rb − r, la cual nos da un escalar. Por lo que, en
este caso, tenemos (Rb − r)0 = (Rb − r).
7


4

 

Rb − r =  0 1 1 0.4 − 1 = [0 + 0.4 + 0.9] − 1 = 0.3.
0.9
h
i−1
−1
Luego, la expresión (Rb − r)0 R (X0 X) R0
(Rb − r) queda como,
h
i−1
390
351
−1
0
0
(Rb − r) R (X X) R
(Rb − r) = (0.3)
(0.3) =
.
11
110
0
Con SRCN R = 520 y n − k = 26, la varianza estimada del modelo no restringido es:
s2 =
520
SRCN R
=
= 20.
n−k
26
Con esta información, ya se puede calcular el valor del estadı́stico F .
−1
(Rb − r)0 R (X0 X)−1 R0
(Rb − r) /J
,
Fc =
SRCN R /(n − k)
Fc =
351
(351/110)/1
=
≈ 0.1595.
20
2, 200
Trabajando con un nivel de significancia del 5 %, con J = 1 y n − k = 26 grados de
libertad, el valor crı́tico de las tablas es Ft = 4.225. Como Ft > Fc , hay evidencia
para no rechazar la hipótesis nula.