Práctica 6
Año 2022
Ejercicio 1. Sea
(
f (x) =
1
x
0
x≥1
.
x<1
Probar que f ∈
/ L1 (R) pero f ∈ Lp (R) si 1 < p ≤ ∞.
Ejercicio 2. Sea X = N y µ la medida sobre X = P(N) que le asigna medida 1/n2 al conjunto
{n}, es decir
X 1
, E ⊆ N.
µ(E) =
n2
n∈E
Notar que µ(N) < ∞ .
a) Sea f definida sobre X por f (n) =
√
n. Probar que f ∈ Lp si, y sólo si, 1 ≤ p < 2.
b) Hallar g definida sobre X tal que g ∈ Lp si, y sólo si, 1 ≤ p ≤ 2.
Sugerencia: Ver el capitulo de series del libro ”Principios de Análisis”de W. Rudin.
Ejercicio 3. Sea f (x) = log(1/x), x > 0. Probar que f ∈ Lp ((0, 1)) (Lebesgue) si 1 ≤ p < ∞ pero,
f∈
/ L∞ ((0, 1)).
Ejercicio 4. Sea
f (x) = √
1
,
x (1 + | log(x)|)
donde x > 0. Probar que f ∈ Lp ((0, ∞)) si, y sólo si, p = 2.
Ejercicio 5. Sea (X, X , µ) un espacio de medida finita y supongamos que 1 ≤ r < p ≤ ∞. Probar
que Lp ⊆ Lr y que si f ∈ Lp entonces
∥f ∥r ≤ ∥f ∥p µ(X)s
con s =
1 1
1
− (= si p = ∞).
r p
r
Luego, si µ(X) = 1 entonces ∥f ∥r ≤ ∥f ∥p .
Sugerencia: Usar la desigualdad de Hölder.
Ejercicio 6. Dado 1 ≤ p ≤ ∞, sea ℓp = Lp (X, X , µ) donde X = N, X = P(N) y µ es la medida de
conteo. Probar que si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ entonces ℓp ⊆ ℓq , y que si u ∈ ℓp entonces ∥u∥q ≤ ∥u∥p .
Sugerencia:
a) Para
αprobar que si a1 , . . . , an son números no negativos y α ≤ 1 entonces
Pn laα primer
Pnparte,
a
≥
a
i=1 i
i=1 i .
b) P
Para la segunda
α probar que si a1 , . . . , an son números no negativos y α ≥ 1 entonces
Pn parte,
n
α ≤
a
a
i=1 i
i=1 i .
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Medida e Integración 2022
Trabajo Práctico Nro. 6
Ejercicio 7. (Log-convexidad de las normas Lp ) Sea (X, X , µ) un espacio de medida y 1 ≤ p1 <
p < p2 ≤ ∞. Probar:
Lp1 (X, X , µ) ∩ Lp2 (X, X , µ) ⊆ Lp (X, X , µ) .
Sugerencia: si a > 0, la función at , t > 0 es convexa.
Ejercicio 8. Supongamos que 1 ≤ p1 < ∞. Probar:
a) Lp1 (X, X , µ)∩L∞ (X, X , µ) ⊆ Lp (X, X , µ) . si p1 < p < ∞. Observar que en el caso µ(X) < ∞
se tiene Lp1 ∩ L∞ = L∞ .
Sugerencia: en casi todo punto se puede acotar |f |p por un múltiplo constante de |f |p1 .
b) Si f ∈ Lp1 ∩ L∞ entonces
lı́m ∥f ∥p = ∥f ∥∞ .
p→∞
Sugerencia: Para acotar ∥f ∥p por debajo, considerar los conjuntos {|f | > ∥f ∥∞ − ε}.
Ejercicio 9. Sean p y q tales que 1 ≤ p < ∞ y p1 + 1q = 1. Dada f ∈ Lp , por la desigualdad de
Hölder se sabe que para toda g ∈ Lq tal que ∥g∥q = 1
Z
f · g dµ ≤ ∥f ∥p .
Si f ̸= 0, probar que que la función g0 = ∥f ∥p1−p sgn (f ) |f |p−1 pertenece a Lq , que ∥g0 ∥q = 1 y que
Z
f · g0 dµ = ∥f ∥p .
Ejercicio 10. Sea (X, X , µ) un espacio de medida y 1 ≤ p < ∞.
a) Probar que si f ∈ Lp y ε > 0 entonces existe una función simple medible φ tal que
µ {x ∈ X : φ(x) ̸= 0} < ∞
de modo que ∥f − φ∥p ≤ ε. Notar que la condición sobre los valores donde no se anula la
función simple φ implican que φ ∈ Lp . Esto muestra que la clase de esas funciones simples es
densa en Lp si 1 ≤ p < ∞.
Sugerencia: Considerar primero el caso f ≥ 0.
b) Probar que la clase de las funciones simples medibles es densa en L∞ .
c) Mostrar que en L∞ (R) la clase definida en a) no es densa.
Ejercicio 11. Consideremos la clase Cc (R) de las funciones f : R → R continuas con soporte
compacto (es decir, nulas fuera de algún intervalo acotado). Supongamos que 1 ≤ p < ∞. Probar
que Cc (R) es denso en Lp (R) (Lebesgue), es decir, que toda f ∈ Lp (R) tiene la propiedad que para
todo ε > 0 existe g ∈ Cc (R) tal que
∥f − g∥p < ε.
Sugerencia: Probarlo cuando:
a) f = χI , I intervalo acotado.
b) f es la función caracterı́stica de una unión finita de intervalos acotados de la forma (a, b],
escribiendo dicha unión como una unión disjunta del mismo tipo.
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c) f = χE , E medible Lebesgue con λ(E) < ∞. Considerar l∗ (E) y observar que si
∞
[
E⊂
Ij
j=1
entonces
|χE − χSN
j=1 Ij
|p = |χE − χSN
j=1 Ij
.
+ χS ∞
| ≤ χS∞
j=1 Ij \E
j=N +1 Ij
Ejercicio 12. Sea f ∈ Lp (R) con 1 ≤ p < ∞. Para cada r ∈ R definimos la función fh : R → R
como fr (x) = f (x − r). Probar que
lı́m ∥fr − f ∥p = 0
h→0
¿Qué pasa si p = ∞?.
Sugerencia: Primero probarlo para funciones continuas con soporte compacto. También convendrı́a
verificar que
Z
Z
g dλ =
R
gr dλ
R
para toda función medible no negativa g.
Ejercicio 13. Sean f y g funciones de Rn en R medibles Borel. Para cada x ∈ Rn , se define f ∗ g(x)
como
Z
f ∗ g(x) =
f (x − y)g(y)dy,
R
siempre que
Z
|f (x − y)g(y)|dy < ∞.
(1)
R
Probar:
a) Si (1) vale para un x, entonces f ∗ g(x) = g ∗ f (x).
b) Sean 1 ≤ p, q ≤ ∞ exponentes conjungados y f ∈ Lp (Rn ) y g ∈ Lq (Rn ). Entonces f ∗ g está
definida para todo x ∈ Rn , es continua y acotada.
Sugerencia: Para la continuidad utilizar la desigualdad de Hölder y el ejercicio 12.
c) Sean f y g funciones continuas con soporte compacto. Entonces f ∗ g posee soporte compacto.
Ejercicio 14. Sea f : R → [0, +∞) una función integrable. Se define g : R → [0, ∞) del siguiente
modo:
Z x+h
1
g(x) =
f (t) dt.
2h x−h
Demostrar que
Z
Z
g(x) dx ≤
R
f (x) dx.
R
Sugerencia: Escribir
1
2h
Z
x+h
f (t) dt
x−h
como una convolución.
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