11.520 · Matemàtiques per a les Telecomunicacions · PAC2
2023-24-Sem.2 · Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Data d’inici: 25/03/2024
Consultora: Miriam Valiente Martos
Data lı́mit de lliurament: 21/04/2024
• Envia la solució en un arxiu PDF. No s’acceptarà cap altre format. Comprova l’estat dels arxius
entregats (que no estiguin buits o siguin corruptes). Els professors NO acceptarem arxius modificats
passat el termini de lliurament.
• Recorda que la PEC és individual. La detecció de falta d’originalitat serà penalitzada d’acord amb
la normativa vigent de la UOC. A més, en lliurar-la, has de assegurar-te i comprovar que l’arxiu que
es pugi és el correcte, és responsabilitat de l’alumne fer la entrega correctament. No s’acceptaran
entregues fora de termini.
• Justifica sempre les teves respostes.
• Tots els exercicis puntuen per igual.
• Pots utilitzar software matemàtic (per exemple, CalcMe) per comprovar els resultats de les integrals
i fer gràfiques si fos necessari, però recorda detallar tots els passos seguits.
• $ID apareix al llarg dels exercicis per designar una xifra que es correspon amb l’última xifra de l’IDP
de l’estudiant. Pots TROBAR el teu IDP a Campus UOC → Espai Personal → Informació Personal
→ Dades personals. Per exemple, si l’IDP és 908.573, $ID=3. Substitueix $ID pel seu corresponent
valor per realitzar els exercicis des de l’inici de la resolució.
• En aquesta activitat no està permès l’ús d’eines d’intel·ligència artificial. Al pla docent i al web
sobre integritat acadèmica i plagi de la UOC trobareu informació sobre què es considera conducta
irregular en l’avaluació i les conseqüències que pot tenir.
IDP de l’Alumne:
Exercicis:
1. Sigui X una variable aleatòria que modela la resposta d’una cèlula fotoelèctrica a la freqüència
de la radiació incident, i que té funció de densitat:
fX (x) =
2x
0
x ∈ (0, 1),
altrament.
1
11.520 · Matemàtiques per a les Telecomunicacions · PAC2
2023-24-Sem.2 · Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
√
Sigui Y = X. Es demana calcular E(Y ):
a) A partir de la funció de densitat de Y , fY (y).
b) Utilitzant el Teorema de l’Esperança.
2. Considera un vector aleatori continu (X, Y ) amb funció de densitat donada per:
fXY (x, y) =
1
0
0 < x < 1, 0 < y < 1,
altrament.
Y
Es demana calcular la funció de distribució de probabilitat de la variable Z = X
.
3. Sigui (X, Y ) una variable aleatòria bidimensional amb funció de densitat:
fXY (x, y) =
1
0
|y| < x, 0 < x < 1,
altrament.
Es demana:
a) Comprova que fXY (x, y) és una funció de densitat de probabilitat.
b) Calcula les funcions de densitat de probabilitat marginals de X i Y , fX (x) i fY (y).
c) Calcula les esperances de X i Y , E(X) i E(Y ).
d) Calcula la probabilitat P (X < 21 , Y < 0).
e) Calcula la probabilitat P (X > 21 , − 12 < Y < 12 ).
4. La variable aleatòria X és seleccionada aleatòriament en l’interval unitat. La variable aleatòria Y és seleccionada aleatòriament en l’interval (0, X). Calcula la funció de densitat de
probabilitat de Y , fY (y).
2