Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Matemática - UFMG
Cálculo Diferencial e Integral 1 — Turma online — 2020/I
Soluções de exercı́cios — Aula 3 — Funções exponenciais, logarı́tmicas e
trigonométricas
1. Faça o esboço do gráfico das funções: f (x) = 4x − 3 e g(x) = −2−x .
Solução:
Para f (x) = 4x − 3, desenhamos primeiro o gráfico y = 4x e, em seguida, fazemos uma translação
vertical desse gráfico para baixo em 3 unidades:
Figure 1: f (x) = 4x − 3
Para g(x) = −2−x , desenhamos primeiro o gráfico y = 2−x (este é obtido refletindo o gráfico y = 2x
em torno do eixo y) e, em seguida, fazemos uma reflexão em torno do eixo x:
Figure 2: g(x) = −2−x
2. Encontre uma fórmula para a inversa da função f (x) =
4x−1
2x+3 .
Solução:
y = 4x−1
2x+3
⇒ y(2x + 3) = 4x − 1
⇒ 2xy + 3y = 4x − 1
⇒ 3y + 1 = 4x − 2xy
⇒ 3y + 1 = x(4 − 2y)
⇒ 3y+1
4−2y = x
⇒ f −1 (x) = 3x+1
4−2x
3. Determine o domı́nio e a inversa da função ln(2 + ln(x)).
Solução:
Para determinar o domı́nio de f (x) = ln(2 + ln(x)) lembre-se que ln(x) está definida para x > 0.
Logo, 2 + ln(x) > 0 ⇒ ln(x) > −2. Portanto, x > e−2 e o domı́nio é (e−2 , ∞).
y = ln(2 + ln(x))
⇒ ey = eln(2+ln(x))
⇒ ey = 2 + ln(x)
⇒ ey − 2 = ln(x)
y
⇒ ee −2 = x
x
⇒ f −1 (x) = ee −2
4. Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada 3 horas, então o número de bactérias
t
após t horas é de f (t) = 100 · 2 3 . Encontre a função inversa, explique seu significado e descubra
quando a população atingirá 50000 bactérias.
Solução:
t
y = 100 · 2 3
t
y
⇒ 100
= 23
t
y
⇒ ln( 100
) = ln(2 3 )
y
⇒ ln( 100
) = 3t ln(2)
y
3
⇒ t = ln( 100
) · ln(2)
y
Portanto, f −1 (y) = ln( 100
)·
3
ln(2) .
A função inversa fornece o tempo necessário para que a população atinja um determinado número
de indivı́duos.
f −1 (50000) = ln( 50000
100 ) ·
3
ln(2)
≈ 26, 9 horas.
2
5. Resolva as seguintes equações:
(a) 2 cos x − 1 = 0
(b) 2sen2 x = 1
Solução:
Use o cı́rculo trigonométrico para responder essa questão.
(a)
2 cos x − 1 = 0 ⇐⇒ cos x =
1
π
π
5π
⇐⇒ x =
ou x = 2π − =
.
2
3
3
3
(b)
2sen2 x = 1 ⇐⇒ sen2 x =
1
π
3π
5π
7π
1
⇐⇒ sen2 x = ± √ ⇐⇒ x =
ou x =
ou x =
ou x =
.
2
4
4
4
4
2
3