Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange)
Dada la curva en el plano
(x−h)2
a2
2
+ (y−k)
= 1. Esta es una elipse con centro en (h,k) y queremos
b2
encontrar qué punto de esta elipse se encuentra más cercano al origen y que punto se encuentra
p
más alejado de el. Para un punto (x, y) en el plano, la distancia entre él y el origen es x2 + y 2 .
p
Si la expresión anterior la pensamos como una función f (x, y) = x2 + y 2 . Esta es una función
de las variables x,y, de la cual nos interesa obtener el máximo y el mı́nimo, cuando x,y se
mueven sobre la elipse g(x, y) = 0
Diremos entonces que queremos encontrar el maximo y el mı́nimo de la función z = f (x, y) =
p
2
2
+ (y−k)
− 1 = 0. Estos valores extremos de la
x2 + y 2 sujeta a la restricción g(x, y) = (x−h)
a2
b2
función z = F (x, y) se llaman en general, estremos condicionados
Fijemos nuestra atención en las curvas de nivel de la función f; es decir, las curvas f (x, y) = C.
p
Estas son cı́rculos x2 + y 2 = C, que tienen su centro en el origen y radio C. Sea x0 el punto
donde se alcanza el mı́nimo buscado y sea C = f (x0 ). Observemos con cuidado que la curva de
nivel f (x0 ) = C. Esta curva debe ser tangente a la elipse en g(x, y) = 0 en el punto x0 .
1
Sabemos que el vector grad f (x, y) es un vector perpendicular a la curva de nivel que pasa por
x0 . Entonces éste es un vector perpendicular a la curva de nivel f (x0 ) = C en el punto x0 . por
otra parte la elipse g(x, y) = 0 la podemos ver como una curva de nivel de la función z = g(x, y).
Entonces el vector gradiente graf g(x, y) debe ser perpendicular a tal curva en x0 . En resumen:
grad f (x, y) es perpendicular a f (x0 ) = C en x0 ; grad g(x, y) es perpendicular a g(x, y) = 0
en x0 ; las curvas f (x0 ) = C y g(x, y) = 0 son tangentes en x0 . Concluimos que grad f (x, y) y
grad g(x, y) son vectores colineales. lo anterior nos permite afirmar que en el punto x0 , donde la
función z = f (x, y) alcanza su máximo ó su mı́nimo condicionado, debe existir una constante
λ tal que
gradf (x, y) = λgradg(x, y)
Dado nuestro ejemplo buscamos los puntos en los que ocurre una relación como la anterior. Se
debe tener entonces que
∂f ∂f
∂g ∂g
,
,
=λ
∂x ∂y
∂x ∂y
o sea
∂g
∂f
=λ ,
∂x
∂x
∂f
∂g
=λ
∂y
∂y
que junto con la ecuación g(x, y) = 0 nos da un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas
x, y, λ. Resolviendo este sistema localizamos los puntos x, y de la elipse en la que se da la
colinealidad de los vectores ∇f (x, y) y ∇g(x, y). estos son los extremos que se buscan.
Supongase que se quieren hallar los valores extremos (máximo ó mı́nimo) de una función f (x, y)
sujeta a la restircción x2 + y 2 = 1; esto es, que (x, y) está en el circulo unitario. con mayor
generalidad, podemos necesitar maximizar o minimizar f (x, y) sujeta a la condición adicional
de que (x, y) también satisfaga una ecuación g(x, y) = c donde g es alguna función y c es una
constante [En el ejemplo g(x, y) = x2 + y 2 y c = 1]. El conjunto de dichas (x, y) es un conjunto
de nivel de g.
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En general, sean f : u ⊂ Rn → R y g : u ⊂ Rn → R funciones C 1 dadas, y sea S el conjunto de
nivel de g con valor c. [Recordar que el conjunto de nivel son los puntos x ∈ Rn con g(x) = c]
Cuando f se restringe a S, de nuevo tenemos el concepto de máximos locales o mı́nimos locales
de f (extremos locales), y un máximo (valor mayor) o un minimo absoluto (valor menor) debe
ser un extremo local.
Teorema.- Método de los multiplicadores de lagrange. Sean f : u ⊂ Rn → R y g : u ⊂
Rn → R funciones C 1 con valores reales dados. Sean x0 ∈ u y g(x0 ) = c, y sea S el
conjunto de nivel de g con valor c. Suponer ∇g(x0 ) 6= 0.
Si f |s (f restringida a s) tiene un máximo o un mı́nimo local en S, en x0 , entonces existe
un número real λ tal que ∇f (x0 ) = λ∇g(x0 ).
Demostración: Para n = 3 el espacio tangente o plano tangente de S en x0 es el espacio
ortogonal a ∇g(x0 ) y para n arbitraria podemos dar la misma definición de espacio
tangente de S en x0 . Esta definición se puede motivar al considerar tangentes a
trayectorias c(t) que estan en s, como sigue: si c(t) es una trayectoria en S y c(0) = x0 ,
entonces c0 (0) es un vector tangente a S en x0 , pero
dg(c(t))
d
= (c) = 0
dt
dt
3
Por otro lado usando regla de la cadena
d
g(c(t))
dt
= ∇g(x0 ) · c0 (0)
t=0
de manera que ∇g(x0 ) · c0 (0) = 0, esto es, c0 (0) es ortogonal a ∇g(x0 ).
Si f |s tiene un máximo en x0 , entonces f (c(t)) tiene un máximo en t = 0. Por cálculo
df (c(t))
de una variable,
= 0.
dt
t=0
df (c(t))
Entonces por regla de la cadena 0 =
= ∇f (x0 ) · c0 (0).
dt
t=0
Asi, ∇f (x0 ) es perpendicular a la tangente de toda curva en S y entonces tambien
es perpendicular al espacio tangente completo de S en x0 . Como el espacio perpendicular a este espacio tangente es una recta, ∇f (x0 ) y ∇g(x0 ) son paralelos. Como
∇g(x0 ) 6= 0, se deduce que ∇f (x0 ) es multiplo de ∇g(x0 ).
Corolario.- Si f al restringirse a una superficie S, tiene un máximo o un mı́nimo local en x0 ,
entonces ∇f (x0 ) es perpendicular a S en x0 .
La geometria de los valores extremos restringidos.
Ejemplo.- Sea S ⊂ R2 la recta que pasa por (−1, 0) inclinada a 45o , y sea f : R2 → R daa asi
f (x, y) = x2 + y 2 . Hallar los extremos de f |s .
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Solución.- Aqui S = {(x, y)|y − x − 1 = 0} y por lo tanto hacemos g(x, y) = −y − x − 1
y c = 0. Tenemos ∇g(x, y) = −i + j 6= 0. Los extremos relativos de f |s deben
hallarse entre los puntos en que ∇f es ortogonal a S, esto es, inclinada a −45o . Pero
∇f (x, y) = (2x,2y), que tiene la pendiente deseada sólo cuando x = −y, o cuando
(x, y) está sobre la recta L, que pasa por el origen inlinada a −45o . Esto puede
suceder en el conjunto S sólo para el unico punto en el que se intersecan L y S. Al
referirnos a las curvas de nivel de f se indica que este punto (− 11 , 12 ) es un mı́nimo
relativo de f |s (Pero no de f ).
Ejemplo.- Sea f : R2 → R dada asi f (x, y) = x2 − y 2 y sea S el circulo de radio 1 alrededor
del origen. Halar los extremos de f |s .
Solución.- El conjunto S es la curva de nivel para g con valor t. Donde g : R2 → R,
(x, y) → x2 + y 2 . La condición de que ∇f = λ∇g en x0 , es decir que ∇f y ∇g
son pararlelos en x0 , es la misma que las curvas de nivel sean tangentes en x0 .
Asi los puntos extremos de f |s son (0, ±1) y (±1, 0). Evaluando f hallamos que
(0, ±1) son mı́nimos y (±1, 0) son máximos. Usando Multiplicadores de lagrange
5
∇f (x, y) = (2x, 2y) y ∇g(x, y) = (2x, 2y)
∴
(2x, −2y) = λ(2x, 2y) cuya solución es (0, ±1), (±1, 0).
Ejemplo.- Maximizar la función f (x, y, z) = x + z sujeta a la restricción x2 + y 2 + z 2 = 1
Solución.- Buscamos λ y (x, y, z) tales que 1 = 2xλ, 0 = 2yλ y 1 = 2zλ x2 +y 2 +z 2 = 1 la
solución es ( √12 , 0, √12 ), (− √12 , 0, − √12 ) comprobando los valores de f en estos puntos
podemos ver que el primer punto produce el máximo de f y el segundo el mı́nimo.
Ejemplo.- Hallar los puntos extremos de f (x, y, z) = x + y + z sujeto a las dos condiciones
x2 + y 2 = 2 y x + z = 1
Solución.- Aquı́ hay dos restricciones g1 = (x, y, z) = x2 + y 2 − 2 = 0 g2 (x, y, z) =
x + z − 1 = 0 asi, debemos encontrar x, y, z, λ1 y λ2 tales que
∇f (x, y, z) = λ1 ∇g(x, y, z) + λ2 ∇g2 (x, y, z)
g1 (x, y, z) = 0 y
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g2 (x, y, z) = 0
Calculando gradientes e igualando componentes, obtenemos
1 = λ1 · 2x + λ2 · 1
(1)
1 = λ1 2y + λ2 · 0
(2)
1 = λ1 · 0 + λ2 · 1
(3)
x2 + y 2 = 2
(4)
x+z =1
(5)
De (3) λ2 = 1 y asi 2xλ1 = 0, 2yλ1 = 1. Como la segunda implica λ1 6= 0 x = 0. Asi
√
√
y = ± 2 y z = 1. Entonces los extremos deseados son (0, ± 2, 1). Por inspección
√
√
(0, 2, 1) da un máximo relativo y (0, − 2, 1) un mı́nimo relativo.
La condición x+z = 1 implica que z tambien esta acotada. Se deduce que el conjunto
de restricciones S es cerrada y acotada, Por lo tanto f tiene un máximo y un mı́nimo
√
√
en S que se deben alcanzar en (0, 2, 1) y (0, − 2, 1) respectivamente.
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