MATG1046 - Álgebra
Lineal
Ayudantías: II-PAO 2023
Luis A. Pezo
G UAYAQUIL , E CUADOR
Índice general
1
Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1
Matrices
5
1.2
Sistemas de ecuaciones lineales
6
2
Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1
Espacio vectorial
2.1.1
Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales
AYUDANTÍA 1
1.1
Matrices
Problema 1
Reducir

2
3

3
4

1 3 −1
1 −2 2 

1 −2 −4
1 1
1
Problema 2
Sea la matriz A tal que


1 2 3 4
3 α 12 15
2 4 7 9
Determine, de ser posible, los valores de α para
que ρ(A) sea 1, 2, 3 y 4.
Capítulo 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales
6
1.2
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales se representa típicamente de la siguiente manera:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1




 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..


.



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Donde:
x1 , x2 , . . . , xn son las variables.
ai j son los coeficientes de las variables.
bi son los términos independientes en cada ecuación.
Además, se puede representar al sistema de la forma AX = b, siendo A la matriz de coeficientes, X
el vector de variables y b el vector de términos independientes.
Teorema 1.2.1 — Teorema de Rouché Frabenius. Sea AX = b un sistema de m ecuaciones y
n variables, entonces
1. El sistema es consistente si ρ(A) = ρ(A|b).
a) Tiene solución única si y solo si ρ(A) = n.
b) Tiene infinitas soluciones si y solo si ρ(A) < n. Existen n − ρ(A) variables libres
2. El sistema es inconsistente si ρ(A) ̸= ρ(A|b).
En resumen:
El sistema es
inconsistente
No
ρ(A) = ρ(A|b)
Sí
El sistema es
consistente
# variables libres = n − ρ(A)
1.2 Sistemas de ecuaciones lineales
7
Problema 3
Dado el sistema de ecuaciones



x + 3y + z = 2
x + 2y − 5z = 4


2x + 5y − a2 z = a + 4
Determine el valor de a tal que el sistema tenga
1. solución única.
2. infinitas soluciones.
3. ninguna solución.
Problema 4


9 −3
Sean A = [1 1 − 2] , B = −5 5  , C = [1 2] y X una matriz simétrica 2 × 2. Determine el
2
1
conjunto solución de la ecuación matricial AB = CX.
Capítulo 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales
8
AYUDANTÍA 2
Problema 1
En una región de Europa se pudo determinar que, durante unos días de mayo 2020, la función
f (t) = α1t + α2t 2 + α3t 3 , permitió medir el número de infectados por el virus COVID-19 en el día t,
donde t ∈ [1, 10]. Cuando se detectó la presencia del virus (t = 1), el número de infectados fue de 8
personas. Al día siguiente (t = 2), el número de infectados fue de 26 personas. En el día t = 4, el
número de infectados fue de 104 personas. ¿Cuál fue el número de infectados al final del día t = 10?
Problema 2
Una bióloga ha colocado tres cepas bacterianas (denotadas por I, II y III) en un tubo de ensayo,
donde serán alimentadas con tres distintas fuentes alimenticias (A , B y C). Cada día se colocan
1800 unidades de A, 500 de B y 700 de C se colocan en el tubo de ensayo y cada bacteria consume
cierto número de unidades de cada alimento por día, como se muestra en la tabla.
Alimento
A
B
C
Cepa I
2
1
1
Cepa II
8
2
3
Cepa III
4
0
1
¿Cuántas bacterias de cada cepa pueden coexistir en el tubo de ensayo y consumir todo el
alimento? ¿Existe solo una cantidad de cada bacteria para que estas puedan coexistir?
Problema 3
Construya, de ser posible, un sistema de ecuaciones lineales, de 4 ecuaciones, 3 incógnitas y con
solución única.
Problema 4
Determinar una expresión que relacione los valores de a, b y c para los cuales cada uno de los
sistemas siguientes son consistentes.


 x + y + 2z + w = a
x+z+w = b


2x + y + 3z + 4w = c
2. Espacios Vectoriales
2.1
Espacio vectorial
El concepto de espacio vectorial es fundamental en álgebra lineal, se utiliza para estudiar y
comprender las propiedades de estructuras de conjuntos de vectores, y tienen aplicaciones en física,
ingeniería, informática y muchas otras disciplinas.
Definición 2.1.1 — Espacio vectorial. Sea K un campo y V un conjunto no vacío, en el cuál se
definen dos operaciones, ⊕ : V × V → V y ⊙ : K × V → V. Se dice que V es un espacio vectorial
sobre el campo K si cumple
∀u, v, w ∈ V
Cerradura de la suma:
∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ V
Cerradura del producto:
u⊕v ∈ V
Conmutatividad:
u⊕v = v⊕u
Asociatividad de la suma:
u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w
Existencia de un elemento neutro:
∃0V ∈ V, ∀v ∈ V : v ⊕ 0V = v
Existencia del inverso aditivo:
∀v ∈ V, ∃v′ ∈ V : v ⊕ v′ = 0
α ⊙v ∈ V
Distributiva
α ⊙ (v ⊕ u) = (α ⊙ v) ⊕ (α ⊙ u)
Asociatividad del producto
(αβ ) ⊙ v = α ⊙ (β ⊙ v)
Distributiva:
(α + β ) ⊙ v = (α ⊙ v) ⊕ (β ⊙ v)
Identidad multiplicativa:
1⊙v = v
Capítulo 2. Espacios Vectoriales
10
Ejemplos:
Rn , Pn , Mm×n
AYUDANTÍA 3
Se resolvieron diversos problemas de talleres y trabajos autónomos disponibles en el sitio web
http://blog.espol.edu.ec/imancero/teaching/126-2/, cuyo autor principal es el docente
Isaac Mancero.
Teorema 2.1.1 Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Entonces
α ⊙ 0V = 0V para todo α ∈ K.
0 ⊙ v = 0V para todo v ∈ V .
Si α ⊙ v = 0V , entonces (α = 0) ∨ (v = 0V ) para todo v ∈ V.
AYUDANTÍA 4
2.1.1
Subespacios vectoriales
Definición 2.1.2 — Subespacio vectorial. Se dice que H es un subespacio vectorial de V si H
es un subconjunto no vacío de V, y H es un espacio vectorial, junto con las operaciones de suma
entre vectores y multiplicación por un escalar definidas para V.
Teorema 2.1.2 — Caracterización de subespacios. Un subconjunto no vacío H de un espacio
vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Cerradura de la suma:
Cerradura del producto:
∀u, v ∈ H : u ⊕ v ∈ H
∀v ∈ H : α ⊙ v ∈ H
Problema 1
Considere el espacio vectorial V = S2×2 de las matrices simétricas de orden 2 × 2, con las
operaciones usuales. Sean los subconjuntos de V:
a b
W1 =
∈ S2×2 a − 2b + c = 0
b c
W2 = A ∈ S2×2 det(AT ) = 0
Determine si los subconjuntos son subespacios vectoriales de V.
2.1 Espacio vectorial
11
Problema 2
Para el siguiente espacio vectorial V = (x, y) ∈ R2 y > 0 con la operación de suma y multiplicación por un número real definidas por:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 y2 )
α(x, y) = (αx, yα )
Determine si los siguientes subconjuntos son subespacios de V :
H = {(x, y)/y = 2x } ,
W = {(x, y)/y = 3x} ,
U = {(x, y)/y = 1}
AYUDANTÍA 5
Resolución de temas de talleres.
Definición 2.1.3 — Combinación lineal. Sean v1 , v2 , . . . , vn vectores en un espacio vectorial V
sobre un campo K. Entonces cualquier vector de la forma
α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn
tal que α1 , α2 , . . . , αn ∈ K, se denomina una combinación lineal de v1 , v2 , . . . , vn .
AYUDANTÍA 6
Se resolvieron diversos problemas de talleres y trabajos autónomos .
AYUDANTÍA 7
Definición 2.1.4 — Espacio generado. Sea S = {v1 , v2 , . . . , vn } un conjunto de vectores en un
espacio vectorial V. Se denomina espacio generado (gen(S)) al conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de S, llamado conjunto generador.
gen(S) = v ∈ V v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn
Teorema 2.1.3 Si v1 , v2 , . . . , vn son vectores en un espacio vectorial V , entonces gen{v1 , v2 , ..., vk }
es un subespacio de V .
Problema 1
Determine el espacio generado por el conjunto S = x + 1, x2 − 1, 2x2 + x − 1 .
Problema 2
       
1
2
1 
 1







1 ; 0 ; 1 ; 1 .
Determine el espacio generado por el conjunto S =


2
1
3
4
Repaso para lección.