-Los círculos de GuerberoffSE SALVA GAL 2 CARAJO
By: Gabriel Iglesias, Mateo Viñales, Nahuel Alonzo, Bautista Tiscordio.
Matriz asociada a una transformación lineal:
Propiedades:
1. 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝐵 𝑇(𝑣) = 𝑏(𝑇)𝑎 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝐴 (𝑣)
2. 𝑏(𝑇 + 𝑆)𝑎 = 𝑏(𝑇)𝑎 + 𝑏(𝑆)𝑎
3. 𝑏(𝛼𝑇)𝑎 = 𝛼𝑏(𝑇)𝑎, 𝛼 ∈ 𝐾
DEFINICIÓN: Operador lineal.
Cuando una transformación lineal va desde un espacio vectorial en si mismo se llama
operador lineal. 𝑇: 𝑉 → 𝑉
Cambio de bases:
Cuando se tienen dos bases distintas se cumple la siguiente relación:
𝑏̃(𝑇)𝑎̃ = 𝑏̃ (𝐼𝑑)𝑏 𝑏(𝑇)𝑎 𝑎(𝐼𝑑)𝑎̃
𝑏̃(𝐼𝑑)𝑏 y 𝑎(𝐼𝑑)𝑎̃ son matrices de cambio de base.
Las matrices de cambio de base se arman colgando los vectores de a como combinación
lineal de 𝑎̃.
DEFINICIÓN: Matriz invertible.
Sean 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛 . Entonces A y B son semejantes si y solo si:
∃ 𝑃 ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 ∶ 𝐵 = 𝑃−1 𝐴𝑃
TEOREMA: Si A, B son matrices semejantes entonces:
1. Rango(A) = Rango(B)
2. Traza(A) = Traza(B)
3. Det(A) = Det(B)
DEFINICIÓN: Vector propio.
Sea V un espacio vectorial sobre K. Un vector propio de T asociado al valor propio es
un 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑣 ≠ 0 ∶ 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣
DEFINICIÓN: Subespacio propio.
Dado un T operador lineal, 𝜆 valor propio, un subespacio propio asociado al valor
propio de 𝜆:
𝑆𝜆 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∶ 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣}
LEMA: 𝑆𝜆 es un subespacio vectorial de V.
OBSERVACIÓN: 𝑆𝜆 = 𝑁(𝑇 − 𝜆𝐼𝑑)
PROPOSICIÓN: (Como hallar un subespacio propio)
v (x1, x2, … , xn) es vector propio de T, si y solo si es solución no trivial del siguiente
sistema:
𝑥1
0
(𝐴 − 𝜆𝐼𝑑) 𝑥2 = 0
…
…
𝑥𝑛
( ) (0)
COROLARIO: (Como hallar un valor propio)
Se cumple que 𝜆 es un valor propio de T si y solo si 𝐷𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑑) = 0.
Las soluciones de dicha ecuación se llaman raíces características de A, y componen la
ecuación característica.
LEMA: Si A, B son matrices semejantes, entonces tienen los mismos valores propios.
OBSERVACIÓN: No se cumple el recíproco.
DEFINICIÓN: Matriz diagonalizable.
𝑏
Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑉, entonces esta es diagonalizable si ∃ 𝐵 → 𝑉 ∶ 𝑏(𝑇)𝑏 es una matriz
diagonal.
TEOREMA: (IMPORTANTE)
𝑏
𝑇: 𝑉 → 𝑉 es diagonalizable ↔ ∃ 𝐵 → 𝑉 formada por vectores propios de T.
OBSERVACIÓN: La forma diagonal es única, los únicos cambios posibles son la
variación en el orden de los valores propios.
TEOREMA:
𝑇: 𝑉 → 𝑉 operador lineal. Sean 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 valores propios distintos y 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛
vectores propios asociados a cada valor propio. Entonces:
{𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } es un conjunto L.I
COROLARIO: (IMPORTANTE)
Si 𝐷𝑖𝑚(𝑉) = 𝑛 𝑦 𝑇: 𝑉 → 𝑉 tiene n valores propios distintos, entonces T es
diagonalizable.
LEMA: La suma de subespacios propios asociados a valores propios distintos es suma
directa.
PROPOSICIÓN
𝐷𝑖𝑚(𝑉) = 𝑛, 𝑇: 𝑉 → 𝑉, 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑟 valores propios de T. Entonces es equivalente:
1. T es diagonalizable.
2. 𝑉 = 𝑆𝜆1 ⊕ 𝑆𝜆2 ⊕ … ⊕ 𝑆𝜆𝑟
3. dim(𝑆𝜆1 ) + dim(𝑆𝜆2 ) + ⋯ + dim(𝑆𝜆𝑟 ) = 𝑛
DEFINICIÓN: Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica.
𝐷𝑖𝑚(𝑉) = 𝑛, 𝑇: 𝑉 → 𝑉, 𝜆 valor propio de T, entonces:
•
•
Multiplicidad algebraica de 𝜆. ma(𝜆): multiplicidad de 𝜆 como raíz del
polinomio característico.
Multiplicidad geométrica de 𝜆. mg(𝜆) = dim (𝑆𝜆 )
PROPOSICIÓN: Si 𝜆 es valor propio de T entonces:
1 ≤ 𝑚𝑔(𝜆) ≤ 𝑚𝑎(𝜆) ≤ 𝑛
COROLARIO: (IMPORTANTE)
𝑇: 𝑉 → 𝑉 es diagonalizable ↔ toda raíz 𝜆 del polinomio característico está en K y
cumple que 𝑚𝑔(𝜆) = 𝑚𝑎(𝜆)
TEOREMA DE GERSHGORIN:
Dado 𝐴 ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛 (ℂ):
1. Si 𝜆 es valor propio de A entonces: 𝜆 ∈ ⋃𝑛𝑖=1 𝐶𝑖
2. Si el conjunto 𝑀 = 𝐶𝑖1 ∪ 𝐶𝑖2 ∪ … ∪ 𝐶𝑖𝑛 es disjunto de los restantes discos,
entonces en M hay exactamente n valores propios (contados con su
multiplicidad).
Se tiene un círculo de Gershgorin por fila, donde el centro del mismo es el término que
ocupa la diagonal, y el radio es la suma de los términos restantes en la fila.
OBSERVACIÓN: Si no se encuentra un valor propio en 𝑁(𝑇 − 𝜆𝐼𝑑), entonces se debe
buscar en 𝑁(𝑇 − 𝜆𝐼𝑑)2 y así sucesivamente, debido a que se cumple:
𝑁(𝑇) ⊆ 𝑁(𝑇 2 ) … ⊆ 𝑁(𝑇 𝑛 )
DEFINICIÓN: Subespacio invariante.
Dado 𝑇: 𝑉 → 𝑉, un subespacio 𝑊 ⊆ 𝑉 es invariante si 𝑇(𝑊) ⊆ 𝑊
DEFINICIÓN: Sub bloque y bloque de Lebron.
Un sub bloque de Jordan es:
𝜆 0… 0
1 𝜆 … 0
𝑠𝐽(𝜆) = 0 1 … 𝜆
⋮ ⋮
⋮
0
0
…
1
(
0
0
0
⋮
𝜆)
Un bloque de Jordan:
0
𝑠𝜆1 0 …
0
1 𝑠𝜆2 …
𝐽(𝜆) =
0
1…
𝑠𝜆3
⋮
⋮
⋮
0
0
…
1
(
0
0
0
⋮
𝑠𝜆𝑛)
Donde 𝑠𝜆𝑛 son sub bloques de Jordan.
DEFINICIÓN: Producto interno.
V espacio vectorial sobre K, una función ⟨. , . ⟩ ∶ 𝑉𝑥𝑉 → 𝐾 es un producto interno en V
si cumple:
1.
2.
3.
4.
⟨𝑢 + 𝑣, 𝑤⟩ = ⟨𝑢, 𝑤⟩ + ⟨𝑣, 𝑤⟩
⟨𝛼𝑢, 𝑣⟩ = 𝛼⟨𝑢, 𝑣⟩
⟨𝑢, 𝑣⟩ = ̅̅̅̅̅̅̅
⟨𝑣, 𝑢⟩
⟨𝑣, 𝑣⟩ ≥ 0, 𝑠𝑖 ⟨𝑣, 𝑣⟩ = 0 ↔ 𝑣 = 0
OBSERVACIONES:
I.
II.
III.
⟨𝑢, 𝑣 + 𝑤⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ + ⟨𝑢, 𝑤⟩
⟨𝑢, 𝛼𝑣⟩ = 𝛼̅⟨𝑢, 𝑣⟩
⟨0, 𝑣⟩ = ⟨𝑣, 0⟩ = 0
DEFINICIÓN: Norma.
V espacio vectorial sobre K, una función ‖. ‖: 𝑉 → 𝑅 es una norma en V si:
1. ‖𝑣‖ ≥ 0, 𝑦 ‖𝑣‖ = 0 ↔ 𝑣 = 0
2. ‖𝛼𝑣‖ = |𝛼|‖𝑣‖
3. ‖𝑣 + 𝑤‖ ≤ ‖𝑣‖ + ‖𝑤‖
DEFINICIÓN: Norma inducida por producto interno.
Se define la norma inducida por el producto interno como:
‖𝑣‖ = √⟨𝑣, 𝑣⟩
LEMA: Si ‖. ‖ es una norma inducida por un producto interno, entonces se cumple:
‖𝑣 + 𝑤‖2 + ‖𝑣 − 𝑤‖2 = 2‖𝑣‖2 + 2‖𝑤‖2
DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ:
Dado V espacio vectorial con producto interno, y una norma inducida por el producto
interno se cumple:
|⟨𝑣, 𝑤⟩| ≤ ‖𝑣‖‖𝑤‖
Y si se cumple:
|⟨𝑣, 𝑤⟩| = ‖𝑣‖‖𝑤‖ entonces {𝑣, 𝑤} es L.D
DEFINICIÓN: Ángulo entre dos vectores:
cos(𝜃) =
⟨𝑣, 𝑤⟩
‖𝑣‖‖𝑤‖
COROLARIO: (Desigualdad triangular para la norma inducida por un producto
interno).
Se cumple:
‖𝑣 + 𝑤‖ ≤ ‖𝑣‖ + ‖𝑤‖
DEFINICIÓN: Vectores ortogonales.
Sea V espacio vectorial con producto interno, entonces se dice que v y w son
ortogonales si:
⟨𝑣, 𝑤⟩ = 0
Notación: 𝑣 ⊥ 𝑤
DEFINICIÓN: Conjuntos ortogonales.
A es un conjunto ortogonal si ∀𝑣, 𝑤 ∈ 𝐴, 𝑐𝑜𝑛 𝑣 ≠ 𝑤 → 𝑣 ⊥ 𝑤
Si además ‖𝑣‖ = 1, ∀𝑣 ∈ 𝐴 se dice que A es un conjunto ortonormal.
TEOREMA:
Sea V espacio vectorial con producto interno, entonces si {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } ⊆ 𝑉 es un
conjunto ortogonal tal que 𝑣𝑖 ≠ 0 entonces:
{𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } es un conjunto L.I
TEOREMA DE PITÁGORAS:
Sea V espacio vectorial con producto interno, {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑟 } un conjunto ortogonal,
entonces se cumple que:
𝑟
2
𝑟
‖∑ 𝑣𝑖 ‖ = ∑‖𝑣𝑖 ‖2
𝑖=1
𝑖=1
MÉTODO DE ORTONORMALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT.
Sirve para encontrar una base ortonormal a cualquier base, donde el primer vector
coincide y los siguientes se construyen:
𝑤1 = 𝑣1
𝑤𝑘 = 𝑣𝑘 −
⟨𝑣𝑘 . 𝑤𝑘−1 ⟩
⟨𝑣𝑘 . 𝑤1 ⟩
𝑤𝑘−1 − ⋯ −
𝑤
⟨𝑤𝑘−1 , 𝑤𝑘−1 ⟩
⟨𝑤1 , 𝑤1 ⟩ 1
PROPIEDADES DE BASES ORTONORMALES.
𝑏.𝑜.𝑛
Sea V con producto interno: {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } →
𝑉
1. Si 𝑣 = ∑𝑛𝑖=1 𝛼𝑖 𝑣𝑖 y 𝑤 = ∑𝑛𝑖=1 𝛽𝑖 𝑤𝑖 entonces ⟨𝑣, 𝑤⟩ = ∑𝑛𝑖=1 𝛼𝑖 𝛽̅𝑖
2. ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∶ 𝑣 = ⟨𝑣, 𝑣1 ⟩𝑣1 + ⟨𝑣, 𝑣2 ⟩𝑣2 + ⋯ + ⟨𝑣, 𝑣𝑛 ⟩𝑣𝑛
3. ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∶ ‖𝑣‖2 = ∑𝑛𝑖=1|⟨𝑣, 𝑣1 ⟩|2
DEFINICIÓN: Complemento ortogonal.
V espacio vectorial con producto interno, 𝑆 ⊆ 𝑉. El complemento ortogonal de S es el
conjunto:
𝑆 ⊥ = {𝑣 ∈ 𝑉 ∶ 𝑣 ⊥ 𝑠 ∀𝑠 ∈ 𝑆} = {𝑣 ∈ 𝑉 ∶ ⟨𝑣, 𝑠 ⟩ = 0 ∀𝑠 ∈ 𝑆}
PROPOSICIÓN: 𝑆 ⊥ es un subespacio de V.
PROPOSICIÓN: V espacio vectorial con producto interno. S subespacio vectorial (de
𝑏
dimensión finita) y 𝐵 = {𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑛 } → 𝑆. Entonces 𝑣 ∈ 𝑆 ⊥ ⟷ 𝑣 ⊥ 𝑠𝑖 ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑟.
PROPOSICIÓN: (IMPORTANTE)
V especio vectorial con producto interno, S subespacio vectorial. Entonces:
𝑉 = 𝑆 ⊕ 𝑆⊥
DEFINICIÓN: Proyección ortogonal.
Dado 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑣𝑠 se llama proyección ortogonal de v sobre el subespacio S y se denota:
𝑘
𝑏.𝑜.𝑛
𝑃𝑠 (𝑣) = ∑⟨𝑣, 𝑠𝑖 ⟩𝑠𝑖 , {𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑛 } →
𝑆
𝑖=1
OBSERVACIONES:
•
•
La definición de proyección ortogonal no depende de la b.o.n.
𝑃𝑠 : 𝑉 → 𝑉 es un operador lineal.
TEOREMA: V espacio vectorial con producto interno S subespacio. Entonces:
‖𝑣 − 𝑃𝑠 (𝑣)‖ ≤ ‖𝑣 − 𝑠‖ ∀𝑠 ∈ 𝑆
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EL SANTO GRIAL DE LOS VERDADERO O FALSO.
Considere un operador lineal 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 con valores propios 𝜆 ≠ 𝜇. Si 𝑚. 𝑎(𝜆) = 2 entonces
la 𝑚. 𝑔(𝜇) = 1 VERDADERO
Sea V un espacio vectorial y 𝑇: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal. Si 𝑊 ⊆ 𝑉 es un subespacio
invariante bajo T y dim(𝑊) = 2 entonces W es un subespacio propio de T. FALSO
Considere una matriz 𝐴 ∈ 𝑀3𝑥3 sobre el cuerpo K y sean 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 los círculos de Gershgorin.
Si 𝐶𝑖 ∩ 𝐶𝑗 = ∅ entonces A es diagonalizable. VERDADERO
Sea V un espacio vectorial con producto interno y 𝑆 ⊆ 𝑉 entonces S es un conjunto
ortonormal si y solo si S es L.I. FALSO (NO SE CUMPLE EL RECÍPROCO)
Sea V un espacio vectorial con producto interno, dim(𝑉) = 𝑛 y 𝑇: 𝑉 → 𝑉 una transformación
lineal tal que cero es valor propio de T. Si 𝑆 = 𝑁(𝑇) entonces dim(𝑆 ⊥ ) = 𝑛 − 1. FALSO
(dim(N(T))>=1)
Sea V un espacio vectorial con producto interno. Considere un subespacio 𝑆 ⊆ 𝑉, 𝑆 ≠ 0, y la
proyección ortogonal sobre S. Entonces existe 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑣 ≠ 0 tal que 𝑃𝑆 (𝑣) = 𝑣. VERDADERO
Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal y 𝜆 un valor propio de T. Entonces dim(𝑁(𝑇 −
𝜆𝐼𝑑)) = 𝑚. 𝑎(𝜆) FALSO
Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛 (𝑅). Si A es diagonalizable, entonces todos sus valores propios son reales y
distintos dos a dos. FALSO
Si 𝑇: 𝑉 → 𝑉 es diagonalizable, entonces 𝑇 𝑛 es diagonalizable para todo 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 > 0.
VERDADERO
Si 𝐴 ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛 (𝑅) tal que 𝐴𝑡 𝐴 = 𝐼𝑑, entonces las columnas de A forman una base ortonormal de
𝑅 𝑛 . VERDADERO
Si 𝐴 ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛 (𝐶) no diagonalizable, entonces existe 𝜆 ∈ 𝐶 valor propio, tal que la 𝑚. 𝑎(𝜆) ≥ 2.
VERDADERO
Sea V un espacio vectorial con producto interno y S un subespacio de V. Entonces
𝐾𝑒𝑟(𝐼𝑑 − 𝑃𝑠) = 𝑆 ⊥ , siendo Id la transformación identidad. FALSO
Sea V un espacio vectorial con producto interno, {𝑣, 𝑤} un conjunto ortonormal y 𝛼, 𝛽 dos
reales. Si los vectores 𝛼𝑣 + 𝛽𝑤 y 𝛼𝑣 − 𝛽𝑤 son ortogonales. Entonces |𝛼| = |𝛽|. VERDADERO
PROPIEDAD IMPORTANTE: Si los círculos de Gershgorin no tocan el origen (eje y) entonces la
matriz es invertible.
PROPIEDAD IMPORTANTE: Si dos matrices tienen la misma forma canónica de Jordan,
entonces son semejantes.
IMPORTANTE: El rango(T)=dim(Im(T))
IMPORTANTE: El 0 es valor propio de una transformación lineal si y solo si ésta no es invertible,
del mismo modo, el 0 no es valor propio de una transformación lineal si y solo si ésta es
invertible.