UPN, PASIÓN POR TRANSFORMAR VIDAS ESTÁTICA Lima, 12 de enero del 2025 Docente: Mgtr. Ing. Joel Escobedo joel.escobedo@upn.pe S1: ALGEBRA VECTORIAL LOGRO DE APRENDIZAJE Al terminar la sesión, el estudiante resuelve problemas de la algebra vectorial, producto escalar y vectorial, siguiendo un procedimiento lógico y fundamentado. CONTENIDO ✓ Introducción ✓ Magnitudes Físicas ✓ Concepto de vector ✓ Propiedades fundamentales de los vectores ✓ Leyes del algebra vectorial ✓ Clases de Vectores ✓ Operaciones Vectoriales ✓ Descomposición vectorial ✓ Problemas de aplicación ✓ Producto Escalar ✓ Producto Vectorial INTRODUCCIÓN Muchos cuerpos en la naturaleza adoptan un movimiento según las condiciones a las cuales están sometidas. INTRODUCCIÓN En cambio existen otros que no… MAGNITUDES FÍSICAS Son aquellas que pueden ser reales o no, pero siempre pueden medirse y/o compararse. ❖ Magnitudes Escalares: Son aquellas magnitudes que quedan determinadas únicamente por su valor numérico y su unidad. Son magnitudes escalares, por ejemplo, la temperatura, la masa de un cuerpo, el volumen, la presión, el trabajo que realiza una fuerza, etc. MAGNITUDES FÍSICAS ❖ Magnitudes Vectoriales: Son aquellas magnitudes que para estar bien definidas poseen un modulo, dirección y una unidad. Son magnitudes vectoriales, por ejemplo, el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza que actúa sobre un cuerpo, el torque, etc. VECTOR ✓ Es un ente matemático ✓ Un vector en física es un segmento orientado en el espacio ✓ Los vectores son representaciones graficas o analíticas de las magnitudes vectoriales ✓ Se puede caracterizar, por tanto, por cuatro elementos diferenciadores, que son: • Punto de Aplicación u origen • Dirección o línea de acción • Sentido del vector • Módulo del vector VECTOR Representación de un vector: 𝜃 Línea de acción Sentido origen Dirección VECTOR VECTOR… ¿Por qué estudiarlo? VECTOR Tensiones en los cables VECTOR Tensiones o fuerzas en los músculos Fuerzas de reacción VECTOR Torques o momentos de fuerzas Trabajo mecánico PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS VECTORES 1. Igualdad de vectores. Sentido 𝑎Ԧ Dos vectores se consideran idénticos 𝑏 cuando están representados por segmentos 𝜃 Dirección de recta iguales y paralelos, dirigidos en el Fig. (a) se representa la igualdad mismo sentido. Fig.a. 2. Vector opuesto. −𝑎Ԧ Dado un vector, 𝑎Ԧ el vector opuesto 𝑎Ԧ − 𝑎Ԧ , es el que tiene el mismo módulo y dirección pero sentido Fig. (b) muestra dos vectores opuestos opuesto Fig. b. LEYES DEL ALGEBRA VECTORIAL Sean tres vectores 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐; Ԧ y m, n dos escalares. En estas condiciones se verifica: 𝑎Ԧ + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎Ԧ propiedad conmutativa de la suma. 𝑎Ԧ + −𝑎Ԧ = 0 propiedad del inverso aditivo 𝑎Ԧ + (𝑏 + 𝑐) Ԧ = (𝑎Ԧ + 𝑏) + 𝑐Ԧ propiedad asociativa de la suma. 𝑚𝑎Ԧ = 𝑎𝑚 Ԧ propiedad conmutativa del producto por un escalar (𝑚)𝑛𝑎Ԧ = (𝑚 ∙ 𝑛)𝑎Ԧ propiedad asociativa del producto escalar 𝑚 + 𝑛 𝑎Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑎Ԧ propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma. 𝑚 𝑎Ԧ + 𝑏 = 𝑚𝑎Ԧ + 𝑚𝑏 propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la suma de vectores. CLASES DE VECTORES 𝐴Ԧ 𝐶Ԧ 𝐵 𝐴Ԧ 𝐶Ԧ 𝐵 Vectores colineales 𝑟Ԧ 𝑟Ԧ 𝐷 Vectores Deslizantes Vectores Concurrentes 𝐴Ԧ 𝑎Ԧ 𝐵 Vectores ortogonales 𝑏 𝑐Ԧ Vectores Coplanares CLASES DE VECTORES VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original • Tiene un módulo igual a la unidad (Por ejemplo 𝑒𝐴Ƹ = 1 • Se define como el vector dado entre su módulo correspondiente es decir 𝐴Ԧ 𝑒𝐴Ƹ 𝐴Ԧ 𝑒𝐴Ƹ = 𝐴Ԧ 𝐴Ԧ = 𝐴Ԧ 𝑒𝐴Ƹ CLASES DE VECTORES VECTOR UNITARIOS CANONICOS ❖ A cada uno de los ejes coordenado se le 𝒛 asigna vectores unitarios: 𝑖,Ƹ 𝑗,Ƹ 𝑘 𝒌 𝒊Ƹ 𝒋Ƹ 𝒚 ❖ Cada uno de estos vectores unitario tienen módulos iguales a la unidad y direcciones 𝒙 perpendiculares entre sí. 𝑖Ƹ = 𝑗Ƹ = 𝑘 = 1 CLASES DE VECTORES VECTOR POSICIÓN 𝑟Ԧ = 𝑂𝑃 𝒛 𝑟Ԧ = 𝑥, 𝑦, 𝑧 − 0,0,0 𝑟Ԧ 𝑂 𝑟Ԧ = 𝑥 𝑖Ƹ + 𝑦𝑗Ƹ + 𝑧𝑘 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝒚 Su módulo del vector posición es 𝑟Ԧ = 𝒙 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 CLASES DE VECTORES VECTOR POSICIÓN RELATIVO 𝒛 ∆𝑟Ԧ = 𝑄𝑃 𝑄 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ∆𝑟Ԧ = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 − 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 𝑃 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 𝑟Ԧ𝑄 𝑟Ԧ𝑃 ∆𝑟Ԧ = 𝑥2 − 𝑥1 𝑖Ƹ + 𝑦2 − 𝑦1 𝑗Ƹ + 𝑧2 − 𝑧1 𝑘 𝑂 Su módulo del vector posición es ∆𝑟Ԧ = 𝒙 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 + 𝑧2 − 𝑧1 2 𝒚 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Para la figura: a) Exprese el vector de posición del punto 𝐴 al punto 𝐵 de la figura en función de sus componentes escalares. b) Exprese el vector de posición del punto 𝐵 al punto 𝐶 en función de sus componentes escalares. c) Use los resultados anteriores para determinar la distancia del punto 𝐴 al punto 𝐶. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2. El cable que pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵 de la figura ejerce una fuerza 𝑇 de 110 𝑙𝑏 en 𝐴. a) Determine el vector unitario que va del punto 𝐴 al punto 𝐵. b) Exprese la fuerza 𝑇 como vector cartesiano. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3. Un hombre que se muestra en la figura jala la cuerda con una fuerza de 70 𝑙𝑏. Represente esta fuerza al actuar sobre el soporte 𝐴 como un vector cartesiano OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES 𝑩 𝑨 𝑹=𝑨+𝑩+𝑪 𝑪 OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES – MÉTODO GRAFICO Método del Paralelogramo Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes 𝐵 𝑅 𝜃 𝐴Ԧ 𝑅 = 𝐴Ԧ + 𝐵 OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES – MÉTODO GRAFICO Método del Triángulo Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes 𝐵 𝑅 𝜃 𝐴Ԧ 𝑅 = 𝐴Ԧ + 𝐵 OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES – MÉTODO GRAFICO Método del Polígono 𝑩 𝑨 𝑹=𝑨+𝑩+𝑪 𝑪 OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES – MÉTODO GRAFICO Método del Polígono Cerrado 𝑩 𝑨 𝑹=𝑨+𝑩+𝑪=𝟎 𝑪 OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES CONCURRENTES Y COPLANARES ❖ La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de cosenos 𝑅 = 2 𝐴Ԧ + 𝐵 2 + 2 𝐴Ԧ 𝐵 cos 𝜃 𝐵 ❖ La dirección del vector resultante se halla mediante la Ley de Senos. 𝑅 𝐴Ԧ 𝐵 = = 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝜃) 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝛽 𝑅 𝜋−𝜃 𝐴Ԧ 𝜃 MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR 𝒎, 𝒏 : ESCALARES 𝑨 𝒎𝑨 𝒎>𝟎 𝒎𝑨 Y 𝑨 TIENEN LA MISMA ORIENTACIÓN 𝒏𝑨 𝒏<𝟎 𝒏𝑨 Y 𝑨 TIENEN ORIENTACIONES OPUESTAS PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Hacer una gráfica de la resultante de los siguientes desplazamientos, 𝑎Ԧ = 10 𝑚 al Noroeste; 𝑏 = 20 𝑚, Este 30° Norte; 𝑐Ԧ = 35 𝑚 hacia el sur. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2. Los cables 𝐴 y 𝐵 de la figura ejercen fuerzas 𝐹Ԧ𝐴 y 𝐹Ԧ𝐵 sobre el gancho. La magnitud de 𝐹Ԧ𝐴 es de 100 𝑙𝑏. La tensión en el cable 𝐵 se ha ajustado para que la fuerza total 𝐹Ԧ𝐴 + 𝐹Ԧ𝐵 sea perpendicular a la pared a la que está unido el gancho. a) ¿Cuál es la magnitud de 𝐹Ԧ𝐵 ?, b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre el gancho? PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3. La resultante 𝑅 de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje 𝑥 positivo y tiene una magnitud de 10.0 𝑘𝑁. a) Determine el ángulo 𝜃 que forma el cable unido a 𝐵 tal que la magnitud de la fuerza 𝐹Ԧ𝐵 en este cable sea un mínimo. b) ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación? DESCOMPOSICION VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que la suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plano en el espacio. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO 𝑦 𝐴Ԧ = 𝐴Ԧ𝑥 + 𝐴Ԧ𝑦 𝐴Ԧ 𝐴Ԧ𝑦 = 𝐴Ԧ𝑦 𝑗Ƹ 𝜃 𝑗Ƹ 𝑖Ƹ 𝐴Ԧ𝑥 = 𝐴Ԧ𝑥 𝑖Ƹ 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ 𝐴Ԧ = 𝐴 cos 𝜃 𝑖Ƹ + 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗Ƹ 𝑥 𝐴Ԧ = 𝐴(cos 𝜃 𝑖Ƹ + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗)Ƹ 𝐴Ԧ = 𝐴𝑒𝐴Ƹ 𝑒𝐴Ƹ = (cos 𝜃 𝑖Ƹ + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗)Ƹ 𝐴Ԧ = 𝐴2𝑥 + 𝐴2𝑦 𝐴𝑦 tan 𝜃 = 𝐴𝑥 𝜃 = tan−1 𝐴𝑦 𝐴𝑥 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Calcule las componentes horizontal y vertical de las fuerza mostrada en la figura 𝐴 𝐵 20° 500 𝑁 𝐷 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2. Calcule las componentes horizontal y vertical de las fuerzas mostradas en la figura 170 𝑁 8 15 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3. Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno. 𝐹2 = 80 𝑁 𝐹1 = 150 𝑁 20° 1 3 𝐴 7 24 𝐹3 = 110 𝑁 𝐹4 = 100 𝑁 DESCOMPOSICION VECTORIAL EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes 𝑏 𝐴Ԧ𝑏−𝑏 𝐴Ԧ = 𝐴Ԧ𝑎−𝑎 + 𝐴Ԧ𝑏−𝑏 𝐴Ԧ 𝑎 𝑎 𝑏 𝐴Ԧ𝑎−𝑎 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. En la figura mostrada determinar el valor de las componentes 𝑢 y 𝑣 𝑣 60 ° 𝑢 45 ° 1 500 𝑁 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2. En la figura mostrada determinar el valor de las componentes 𝑢 y 𝑣 𝑣 35 ° 800 𝑙𝑏 45 ° 𝑢 DESCOMPOSICION VECTORIAL En el Espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes 𝑧 𝐴Ԧ = 𝐴Ԧ𝐻 + 𝐴Ԧ𝑍 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘 𝐴Ԧ = 𝐴 cos 𝛼 𝑖Ƹ + 𝐴 cos 𝛽 𝑗Ƹ + 𝐴 cos 𝛾 𝑘 𝐴Ԧ 𝐴Ԧ = 𝐴(cos 𝛼 𝑖Ƹ + cos 𝛽 𝑗Ƹ + cos 𝛾 𝑘) 𝑘 𝐴Ԧ𝑥 = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ 𝑢ො = (cos 𝛼 𝑖Ƹ + cos 𝛽 𝑗Ƹ + cos 𝛾 𝑘) 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜: 𝐴𝑅 = 𝐴2𝑥 + 𝐴2𝑦 + 𝐴𝑧2 𝛾 𝑥 𝑗Ƹ 𝑖Ƹ 𝛼 𝐴Ԧ𝑦 = 𝐴𝑦 𝑗Ƹ 𝛽 𝐴Ԧ𝑧 = 𝐴𝑧 𝑘 𝐴Ԧ𝐻 𝑦 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2. La torre de antena se sostiene mediante tres cables. Si las fuerzas de estos cables que actúan sobre la antena son 𝐹𝐵 = 520 𝑁, 𝐹𝐶 = 680 𝑁 y 𝐹𝐷 = 560 𝑁, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en 𝐴. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3. Los tres cables de soporte ejercen las fuerzas mostradas sobre el señalamiento. Represente cada fuerza como un vector cartesiano. Así como también la resultante y el módulo de este así como sus ángulos directores. PRODUCTO ESCALAR El producto escalar o producto punto de dos vectores 𝐴Ԧ y 𝐵 denotado por y expresado 𝐴Ԧ multiplicado escalarmente 𝐵, se define como el producto de las magnitudes de los vectores 𝐴Ԧ y 𝐵 por el coseno del ángulo que forman ellos. 𝑨 ⋅ 𝑩 = 𝑨 𝑩 cos 𝜽 𝑩 ෝ ⋅ 𝑩𝒗 ෝ = 𝑨 𝑩 cos 𝜽 𝑨𝒖 ෝ 𝒗 𝜽 ෝ 𝒖 ෝ⋅𝒗 ෝ = cos 𝜽 𝒖 𝑨 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 PRODUCTO ESCALAR PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1. El producto escalar es conmutativo 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴Ԧ 2. El producto escalar es distributivo 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 + 𝐶Ԧ = 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 + 𝐴Ԧ ∙ 𝐶Ԧ 3. Producto de un escalar por el producto escalar 𝑐𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝑐 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector 𝐴Ԧ + 𝐵 ∙ 𝐶Ԧ = 𝐴Ԧ ∙ 𝐶Ԧ + 𝐵 ∙ 𝐶Ԧ PRODUCTO ESCALAR PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 5. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales 𝑖Ƹ ∙ 𝑖Ƹ = 𝑖Ƹ 𝑖Ƹ 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 𝑗Ƹ ∙ 𝑗Ƹ = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1 6. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes. 𝑖Ƹ ∙ 𝑗Ƹ = 𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑐𝑜𝑠 𝜋Τ2 = 0 𝑖Ƹ ∙ 𝑘 = 𝑗Ƹ ∙ 𝑘 = 0 7. Producto escalar de dos vectores 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘 ∙ 𝐵𝑥 𝑖Ƹ 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ ∙ 𝐵𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ ∙ 𝐵𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘 ∙ 𝐵𝑥 𝑖Ƹ 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝑖Ƹ ∙ 𝑖Ƹ + +𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑗Ƹ ∙ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑘 ∙ 𝑖Ƹ 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 PRODUCTO ESCALAR PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 8. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes Entonces tenemos 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖Ƹ + 𝐵𝑦 𝑗Ƹ + 𝐵𝑧 𝑘. 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 9. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares Ԧ 𝐵 = 0 ⇒ 𝐴Ԧ ⊥ 𝐵 𝐴. PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMAS DE APLICACIÓN 𝑏 = 6𝑖Ƹ − 3𝑗Ƹ + 2𝑘 1. Hallar el ángulo formado por los vectores 𝑎Ԧ = 2𝑖Ƹ + 2𝑗Ƹ − 𝑘; PROBLEMAS DE APLICACIÓN 𝑣Ԧ = 4𝑖Ƹ − 2𝑗Ƹ − 2𝑘, determinar el valor 2. Dado los vectores 𝑢 = 2𝑖Ƹ + 𝑎𝑗Ƹ + 𝑘; del parámetro 𝑎 para que los vectores sean perpendiculares PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3. El cable 𝑂𝐴 se usa para dar soporte a la columna 𝑂𝐵. Determine el ángulo 𝜙 que forma el cable con la viga 𝑂𝐷. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 4. Determine el ángulo formado por los tirantes 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶 de la red de voleibol que se muestra en la figura PRODUCTO VECTORIAL Este producto se simboliza como 𝑨 × 𝑩 𝑩 𝑨 PLANO FORMADO POR LOS VECTORES 𝑨 × 𝑩 es un vector perpendicular al plano formado por los vectores PRODUCTO VECTORIAL La dirección del vector se define por la regla de mano derecha PRODUCTO VECTORIAL EL PULGAR NOS INDICA LA ORIENTACION DE 𝑨 × 𝑩 𝑨×𝑩 DIBUJAR EL ÁNGULO MÁS PEQUEÑO DE 𝑨 HACIA 𝑩 𝑩 IMITAR EL SENTIDO DEL ÁNGULO CON LOS DEDOS DE LA MANO DERECHA 𝑨 EL PULGAR NOS INDICA LA ORIENTACION DE 𝑩 × 𝑨 𝑨 × 𝑩 = −𝑩 × 𝑨 𝑩×𝑨 DIBUJAR EL ÁNGULO MÁS PEQUEÑO DE 𝑩 HACIA 𝑨 IMITAR EL SENTIDO DEL ÁNGULO CON LOS DEDOS DE LA MANO DERECHA PRODUCTO VECTORIAL Condición de paralelismo 𝑨 ෝ 𝒖 𝑩 𝑨×𝑩=𝟎 ⇒ ෝ 𝑨= 𝑨𝒖 ෝ 𝑩= 𝑩𝒖 ෝ × 𝑩𝒖 ෝ =𝟎 𝑨𝒖 ෝ×𝒖 ෝ=𝟎 𝒖 ×𝒌 =𝟎 Entonces 𝒊Ƹ × 𝒊Ƹ = 𝒋Ƹ × 𝒋Ƹ = 𝒌 PRODUCTO VECTORIAL Condición de perpendicularidad ❖ Sea la definición: 𝑨 × 𝑩 = 𝑨 𝑩 sin 𝜽 𝑨 𝑨 × 𝑩 = 𝑨 𝑩 sin ෝ 𝒗 𝜋 2 ෝ × 𝑩𝒖 ෝ = 𝑨 𝑩 𝑨𝒗 ෝ 𝒖 𝑩 ෝ 𝒗 ෝ 𝒖 ෝ×𝒗 ෝ=𝟏 𝒖 PRODUCTO VECTORIAL PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1. El producto vectorial no es conmutativo 𝐴Ԧ × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴Ԧ , pero se cumple: 𝐴Ԧ × 𝐵 = −𝐵 × 𝐴Ԧ 2. El producto vectorial es distributivo con respecto a la suma 𝐴Ԧ × 𝐵 + 𝐶Ԧ = 𝐴Ԧ × 𝐵 + 𝐴Ԧ × 𝐶Ԧ 𝐴Ԧ + 𝐵 × 𝐶Ԧ = 𝐴Ԧ × 𝐶Ԧ + 𝐵 × 𝐶Ԧ 3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial. 𝑐𝐴Ԧ × 𝐵 = 𝑐 𝐴Ԧ × 𝐵 𝐴Ԧ × 𝑐𝐵 = 𝑐 𝐴Ԧ × 𝐵 4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios 𝑖Ƹ × 𝑖Ƹ = 0 𝑘 × 𝑖Ƹ = 𝑗Ƹ 𝑗Ƹ × 𝑖Ƹ = −𝑘 𝑖Ƹ × 𝑗Ƹ = 𝑘 𝑗Ƹ × 𝑗Ƹ = 0 𝑘 × 𝑗Ƹ = −𝑖Ƹ 𝑖Ƹ × 𝑘 = −𝑗Ƹ 𝑗Ƹ × 𝑘 = 𝑖Ƹ PRODUCTO VECTORIAL 𝒌 𝒊Ƹ × 𝒊Ƹ = 𝒋Ƹ 𝒌 × 𝒋Ƹ 𝒊Ƹ 𝒌 𝒊Ƹ 𝒌 𝒌 𝒊Ƹ 𝒋Ƹ = 𝒊Ƹ 𝒋Ƹ × 𝒌 × 𝒋Ƹ × 𝒋Ƹ 𝒊Ƹ × 𝒋Ƹ = 𝒌 PRODUCTO VECTORIAL PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 5. Multiplicación vectorial de vectores cualquiera Sean los vectores: 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘 y 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖Ƹ + 𝐵𝑦 𝑗Ƹ + 𝐵𝑧 𝑘 𝐴Ԧ × 𝐵 = 𝑘 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝑗Ƹ 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝑘 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝑖Ƹ 𝐴𝑦 𝐵𝑧 + 𝑗Ƹ 𝐴𝑧 𝐵𝑥 + 𝑘 𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝑖Ƹ 𝐴Ԧ × 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝑗Ƹ 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝑖Ƹ 𝐴Ԧ × 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝑖Ƹ 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝑗Ƹ 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝐵𝑥 𝐴𝑦 𝑘 + 𝐵𝑦 𝐴𝑧 𝑖Ƹ + 𝐵𝑧 𝐴𝑥 𝑗Ƹ 𝐴Ԧ × 𝐵 = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑥 − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 𝑗Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑘 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PRODUCTO VECTORIAL Ԧ donde 𝑟Ԧ𝐴𝐵 es el vector posición de 𝐴 a 𝐵. 1. Determinar el vector 𝑟Ԧ𝐴𝐵 × 𝐹, PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2. La cuerda ejerce una fuerza de magnitud 𝐹Ԧ = 210 𝑙𝑏 sobre la pared Ԧ donde 𝑟Ԧ𝐴𝐵 superior del poste en el punto 𝐵. a) Determinar el vector 𝑟Ԧ𝐴𝐵 × 𝐹, Ԧ donde 𝑟Ԧ𝐴𝐶 es el es el vector posición de 𝐴 a 𝐵. b) Determinar el 𝑟Ԧ𝐴𝐶 × 𝐹, vector posición de 𝐴 a 𝐶. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ❑ BEDFORD, Antony y FLOWER, Wallace, (2008), Mecánica para Ingeniería – Estática (Quinta Edición). México D.F., México: Pearson Educación. ❑ BEER Ferdinand P y otros. Mecánica Vectorial para Ingenieros. – Estática (Novena Edición). Editorial Mc. Graw. Hill. 1990. ❑ NARA HARRY. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Tomo 1 Edit. Mc. Graw Hill. ❑ HIBBELER R. Mecánica para Ingenieros. Tomo 1. Estática Edit. Reverté. ❑ STILES HIGDON Ingeniería Mecánica. Tomo I. Estática Vectorial. Editorial PHIPrentice- México, 1998.
