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Trabajo autónomo 6
Nombre: Peralta Rojas David Emmanuel- emmanuel.peralta@ucuenca.edu.ec
Docente: Ing. Patricio Alcides Astudillo Salinas
patricio.astudillo@ucuenca.edu.ec
Resumen—En el siguiente trabajo se revisaron los conceptos
de funciones vectoriales y se realizaron ejercicios para fortalecer
los conocimientos adquiridos en las sesiones de clase y de manera
autónoma.
f (t + h) − f (t)
r⃗′ (t) = lı́m
,
h→0
h
g(t + h) − g(t)
h(t + h) − h(t)
lı́m
, lı́m
h→0
h→0
h
h
Palabras clave: Funciones, vectores, derivada
I.
I NTRODUCCI ÓN
Una función vectorial se conforma de 2 o 3 ecuaciones
paramétricas las cuáles proporcionan un valor para cada vector
unitario i, j, y k respectivamente, las cuáles forman un vector
en cada punto del parámetro. Al igual que la funciones reales,
la funciones vectoriales se pueden graficar, determinar lı́mites,
continuidad, derivar, integrar y además encontrar la curvatura.
Al derivar la funcion vectorial se obtiene la dirección a la
que apunta el vector en cierto punto, esto es muy útil en
aplicaciones de la vida real, ya que al pensar en una función
vectorial como el desplazamiento de una partı́cula, su derivada
indica la velocidad y su segunda derivada indica la aceleración.
II.
ACTIVIDADES D ESARROLLADAS
II-A. Ejercicio 1
Demostrar el teorema:
Si
⃗ = f (t), g(t), h(t) = f (t)⃗i, g(t)⃗j, h(t)⃗k
r(t)
r⃗′ (t) = f ′ (t), g ′ (t), h′ (t)
II-A3. Análisis de Resultados: Al utilizar el concepto de
derivada, ⃗r′ (t) se convierte en la resta de dos vectores, que
al restarlos, multiplicarlos por h1 y aplicar el lı́mite en cada
componente, se pudo demostrar el teorema.
II-B. Ejercicio 2
Demostrar la propiedad:
d
[⃗u(t) · ⃗v (t)] = u⃗′ (t) · ⃗v (t) + ⃗u(t) · v⃗′ (t)
dt
II-B1. Análisis del Problema: Se pide demostrar que la
derivada del producto punto de dos vectores es igual a la
derivada del primer vector por el segundo más el primero
por la derivada del segundo. Para demostrar esto primero se
representa a los vectores como sus componentes, segundo se
desarrolla el producto punto de los dos vectores y finalmente
al reordenar los términos se puede demostrar la propiedad.
II-B2. Desarrollo:
⃗u(t) = u1⃗i, u2⃗j, u3⃗k
donde f, g, h son funciones derivables, entonces:
⃗v (t) = v1⃗i, v2⃗j, v3⃗k
r′⃗(t) = f ′ (t), g ′ (t), h′ (t) = f ′ (t)⃗i, g ′ (t)⃗j, h′ (t)⃗k
II-A1. Análisis del Problema: El ejercicio pide demostrar
que la derivada de una función vectorial es igual a la derivada
de cada una de sus componentes siendo estas funciones derivables. Para demostrar este teorema se utiliza el concepto de
derivada, la propiedad de resta de vectores y de multiplicación
de un escalar por un vector.
II-A2. Desarrollo:
1
r⃗′ (t) = lı́m [⃗r(t + h) − ⃗r(t)]
h→0 h
1
r⃗′ (t) = lı́m [f (t + h), g(t + h), h(t + h) − f (t), g(t), h(t)]
h→0 h
1
r⃗′ (t) = lı́m [f (t + h) − f (t), g(t + h) − g(t), h(t + h) − h(t)]
h→0 h
f (t + h) − f (t)
′
⃗
r (t) = lı́m
,
h→0
h
g(t + h) − g(t) h(t + h) − h(t)
,
h
h
⃗u(t) · ⃗v (t) = u1 ∗ v1 + u2 ∗ v2 + u3 ∗ v3
d
[⃗u(t) · ⃗v (t)] = u′1 ∗ v1 + u1 ∗ v1′
dt
+u′2 ∗ v2 + u2 ∗ v2′ + u′3 ∗ v3 + u3 ∗ v3′
d
[⃗u(t) · ⃗v (t)] = u′1 ∗ v1 + u′2 ∗ v2 + u′3 ∗ v3
dt
+u1 ∗ v1′ + u2 ∗ v2′ + u3 ∗ v3′
d
[⃗u(t) · ⃗v (t)] = u⃗′ (t) · ⃗v (t) + ⃗u(t) · v⃗′ (t)
dt
II-B3. Análisis de Resultados: Al desarrollar el producto
punto y derivarlo, se pudo demostrar la propiedad.
II-C. Ejercicio 3
Determine la función vectorial que representa la curva de
intersección de las superficies.
x2 + y 2 = 4
z = xy
2
II-C1. Análisis del Problema: La primera superficie es
un cilindro, y su proyección en el plano xy es un cı́rculo de
radio 2, entonces las componentes i y j de la función vectorial
son las ecuaciones paramétricas de un cı́rculo de radio 2, por
lo tanto la componente k será igual a x*y.
II-C2. Desarrollo:
2
2
x +y =4
II-E1. Análisis del Problema: Ya que se trata de un
proyectil, su aceleración es a(t)=-gj en toda la caı́da, ası́
que integrando esta expresión se opbtiene la velocidad y
desplazamiento, y se puede evaluar lo pedido.
II-E2. Desarrollo:
a(t) = v ′ (t) = −gj
z = xy
v(t) = −gtj + C
x = 2cos(t) y = 2sin(t) z = 4cos(t)sin(t)
v(t) = −gtj + vo
⃗r(t) = 2cos(t)⃗i, 2sin(t)⃗j, 4cos(t)sin(t)⃗k
II-C3. Análisis de Resultados: Se obtuvo la ecuación
vectorial parametrizando x, y, z, y tomandolos como las
componentes i,j,k de la función vectorial.
II-D.
Ejercicio 4
Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente
a la curva de ecuaciones paramétricas
√ x = 2cos(t), y =
2sen(t), z = 4cos(2t) en el punto ( 3, 1, 2)
II-D1. Análisis del Problema: Las ecuaciones paramétricas dadas representan una función vectorial derivable ya que
las funciones x,y,z son continuas para toda t, por lo tanto, al
derivar la función vectorial se obtiene un vector paralelo a
la recta tangente de la curva en cualquier punto,√ası́ que hay
que evaluarlo con el valor de t donde ⃗r(t) sea ( 3, 1, 2). Al
conocer el punto y tener un vector paralelo, se puede aplicar
la fórmula de la recta y obtener facilmente las ecuaciones
parámetricas de la recta.
II-D2. Desarrollo:
⃗r(t) = 2cos(t)⃗i, 2sen(t)⃗j, 4cos(2t)⃗k
√
Para que ⃗r(t) sea ( 3, 1, 2), t = π6
r⃗′ (t) = −2sen(t)⃗i, 2cos(t)⃗j, −8sen(2t)⃗k
√
√
π
r⃗′ ( ) = (−1, 3, −4 3)
6
Se obtuvo un vector paralelo.
√
⃗r = r⃗o + t⃗v
√
√
(x, y, z) = ( 3, 1, 2) + t(−1, 3, −4 3)
√
√
√
(x, y, z) = ( 3, 1, 2) + (−1t, 3t, −4 3t)
√
√
√
(x, y, z) = ( 3 − 1t, 1 + 3t, 2 − 4 3t)
Las ecuaciones paramétricas son:
√
√
√
x = 3 − 1t y = 1 + 3t 2 − 4 3t
II-D3. Análisis de Resultados: Al evaluar la derivada de
r(t) en el punto deseado, se obtuvo un vector paralelo a la
recta tangente a la curve en ese punto, con eso y con el punto
inicial se planteó la ecuación de la recta y sus ecuaciones
paramétricas.
II-E. Ejercicio 5
Se dispara una pistola con un angulo de elevación de 30◦ .
¿Cuál es la velocidad inicial del arma si la altura máxima del
proyectil es de 500m?
v(t) = r′ (t)
1
r(t) = − gt2 + tvo + D
2
1
r(t) = − gt2 + tvo
2
Ya que vo es el vector de velocidad inicial, se necesita la
velocidad en j para el problema.
v0 (t) = v0 cos(θ)⃗i + v0 sen(θ)⃗i
1
r(t) = vo cos(θ)t⃗i + (v0 sen(θ)t) − gt2⃗j
2
1
x = vo cos(θ)t
y = v0 sen(θ)t − gt2
2
Con la inclinación y la posición máxima se tiene:
II-E3.
1
500 = vo sen(30)t − 9,8t2
2
t
500 = vo − 4,9t2
2
Análisis de Resultados:
II-F. Ejercicio 5
Se arroja una pelota con un ángulo de 45◦ con respecto
al suelo. Si la pelota aterriza a 90m de distancia, ¿cuál es la
rapidez inicial de la pelota?
II-F1. Análisis del Problema: Ya que se trata de un
proyectil, su aceleración es a(t)=-gj en toda la caı́da, ası́
que integrando esta expresión se opbtiene la velocidad y
desplazamiento, y se puede evaluar lo pedido.
II-F2. Desarrollo:
a(t) = v ′ (t) = −gj
v(t) = −gtj + C
v(t) = −gtj + vo
v(t) = r′ (t)
1
r(t) = − gt2 + tvo + D
2
1
r(t) = − gt2 + tvo
2
Ya que vo es el vector de velocidad inicial, se necesita la
velocidad en j para el problema.
v0 (t) = v0 cos(θ)⃗i + v0 sen(θ)⃗i
1
r(t) = vo cos(θ)t⃗i + (v0 sen(θ)t) − gt2⃗j
2
3
Al evaluar con la información conocida se tiene:
1
r(t) = 90⃗i + (v0 sen(45)t) − 9,8t2⃗j
2
√
2
t
r(t) = 90⃗i + (v0
) − 4,9t2⃗j
2
Al derivar esta expresión se tiene.
√
49
v(t) = v0 t2 2 − t3
30
II-F3. Análisis de Resultados:
II-G. Ejercicio 5
Encuentre el vector posición de una partı́cula que tiene la
aceleración a(t) = 2t⃗i + sen(t)⃗j + cos(2t)⃗k velocidad inicial
v(0) = ⃗i, y posición inicial r(0) = ⃗j
II-G1. Análisis del Problema: Para resolver este problema hay que integrar dos veces la aceleración.
II-G2. Desarrollo:
v ′ (t) = a(t)
sen(2t) ⃗
k+C
v(t) = t2⃗i − cos(t)⃗j +
2
v(0) = C = ⃗i
sen(2t) ⃗ ⃗
k+i
2
sen(2t) ⃗
v(t) = (t2 + 1)⃗i − cos(t)⃗j +
k
2
r′ (t) = v(t)
v(t) = t2⃗i − cos(t)⃗j +
r(t) = (
t3
cos(2t) ⃗
+ x)⃗i − sin(t)⃗j −
k+D
3
4
r(0) = D = ⃗j
cos(2t) ⃗ ⃗
t3
+ x)⃗i − sin(t)⃗j −
k+j
3
4
cos(2t) ⃗
t3
k
r(t) = ( + x)⃗i − (sin(t) − 1)⃗j −
3
4
II-G3. Análisis de Resultados: Al integrar 2 veces la
aceleración se obtuvo la función vectorial de la posición.
r(t) = (
III. C ONCLUSIONES
En conclusion, analizar funciones vectoriales nos ayuda a
comprender y describir el movimiento en el espacio tridimensional. Lo cuál tiene muchas aplicaciones en la vida real.
IV.
R ECOMENDACIONES
Entender los conceptos de superficies cuádricas para
poder manejarse con funciones vectoriales.
Conocer el funcionamiento de el producto punto y producto cruz.
Pensar en las funciones vectoriales como trayectorias que
sigue una partı́cula por el espacio.
V. R EFERENCIAS
Stewart, J. (2012). Cálculo de varias
Trascendentes tempranas (7a ed.). Editorial.
variables.
Leithold, L. (1999). El Cálculo (7a ed.). Oxford University
Press.