Matemática das Coisas
Projeto 3
EDFs & Aplicações em Finanças e Economia
Grupo 7:
Tiago Miguel Silva A101780
João Afonso Silva A101278
Fernando Mendes A101263
Bruno Magalhães A101781
Junlin Lu
Pedro Bártolo
A101270
A92324
Novembro 2023
1. Introdução
1.1
Objetivos
O propósito deste trabalho é aprimorar a nossa compreensão de alguns modelos
matemáticos com aplicações na área de Finanças e Economia.
Para isso, iremos estudar um produto agrícola comercializado sem armazenamento ao
longo do tempo, visando atender à demanda do consumidor e determinar um preço para qual a
quantidade procurada é igual à quantidade de oferta. Para além disso, iremos fazer um estudo
deste problema com o cálculo de pontos fixos de f, pontos de equilíbrio da EDF, estabilidade
(diagrama de teia de aranha), estabilidade (critérios).
Por último, iremos fazer a interpretação de todos os resultados recorrendo também a
gráficos de lei de procura e oferta bem como a diagramas de teia de aranha.
1.2
Ferramentas usadas
●
Wolfram Mathematica
2. Modelo Matemático
Para um determinado produto vendido no mercado, sejam
●
S(n) representa a oferta, ou seja, o número de unidades desse produto colocadas à
venda, no período n (tipicamente uma época ou um ano)
●
D(n) representa a procura, ou seja, o número de unidades desse produto compradas, no
período n
●
p(n) representa o preço de cada unidade desse produto praticado no período n
Assumimos que tanto a oferta S(n+1) como a procura D(n) dependem linearmente de p(n)
Figura 1: Equação (1)
❖ ms mede a sensibilidade do vendedor ao preço de mercado
❖ md mede a sensibilidade do consumidor ao preço de mercado
Para esgotar o produto, satisfazendo a procura do consumidor:
●
o preço praticado no mercado é aquele que corresponde a ter a oferta igual à procura,
digamos S(n) = D(n) ou S(n+1) = D(n+1), resultando
Figura 2: Equação (2)
onde, A = -ms/md e B = (bd-bs)/md, que constitui uma equação às diferenças, linear, de ordem
1, autônoma. Obtemos uma EDF linear de ordem 1, para o preço a praticar no mercado ao longo
dos vários períodos de tempo (anualmente, época a época), ou seja, para sucessão de preços.
1.
A EDF (2), possui a seguinte função de atualização:
p(n + 1) = Ap(n) + B ⇔ f(pn) = Ap(n) + B
Para determinarmos os pontos fixos desta função de atualização precisamos de
descobrir os pontos (p*,f(p *)) tais que f(p *) = p* , fazendo:
f(pn) = Ap(n) + B, como p* = f(p*), então p* = Ap* + B
p*= Ap* + B ⇔ p* − Ap* = B ⇔ p*(1 − A) = B ⇔p* =
𝐵
ou seja, o ponto fixo é ( 1−𝐴 ,
𝐵
1−𝐴
𝐵
1−𝐴
).
2.
Tendo em conta que, S(n)= D(n) ou S(n+1)=D(n+1) e sabendo que:
S(n + 1) = ms p(n) + bs
D(n+1) = −md p(n+1) + bd
podemos dizer que:
Obtivemos a expressão (2), o que significa que realmente o preço de equilíbrio, p*, é
o mesmo.
3.
Equação (2) ⇒ p(n + 1) = Ap(n) + B
4.
a)
sendo
de descobrir :
sequência terá n termos, ou seja,
b)
b)
uma progressão geométrica , precisamos
onde a razão (q) será A e o
=B e a nossa
Critérios de estabilidade
A estabilidade é estudada através dos seguintes critérios de estabilidade
Teorema 1
Seja x∗ um ponto de equilíbrio da equação xn = f(xn), com F : I ⊂ R → R derivável e f′
contínua em x∗,
consequentemente
(1) Se |f′(x∗)| < 1, então x∗ é assimptoticamente estável.
(2) Se |f′(x∗)| > 1, então x∗ é instável.
(3) Se |f′(x∗)| = 1, o caso é duvidoso.
Teorema 2
Seja x∗ um ponto de equilíbrio da equação xn = f(xn), com F : I ⊂ R → R derivável e f′
contínua em x∗ e f′(x∗) = 1.
Consequentemente
(1) Se f′′(x) ̸= 0, então x∗ é instável.
(2) Se f′′(x) = 0, e f′′′(x∗) > 0 então x∗ é instável.
(3) Se f′′(x) = 0, e f′′′(x∗) < 0 então x∗ é assimptoticamente estável.
Teorema 3
Seja x∗ um ponto de equilíbrio da equação xn = f(xn), com F : I ⊂ R → R derivável e f′
contínua em x∗ e f′(x∗) = −1.
Consequentemente
(1) Se 2f′′′(x∗) + 3 [f′′(x∗)]2 > 0, então x∗ é assimptoticamente estável.
(2) Se 2f′′′(x∗) + 3 [f′′(x∗)]2 < 0 então x∗ é instável.
5.
Caso 1) -1< A < 0
,aplicando o Teorema 1 um verificamos que p* é
assintoticamente estável
Caso 2) A < -1
,aplicando o Teorema 1 um verificamos que p* é instável
Caso 3) A= -1
, aplicando o Teorema 1 verificamos que se trata de um caso duvidoso, e uma vez que,
Não é possível aplicar o Teorema 2 e 3 neste caso,
portanto vamos ter que analisar a estabilidade graficamente.
Logo estável, mas não assimptótica.
6.
Caso 1) -1<A<0
Caso 2)
Caso 3) A=-1
7.
Caso 1)
a)
- Na questão 1. obtivemos o seguinte ponto de equilíbrio
Ponto fixo:
Ou seja o preço de equilíbrio, p*=4
b)
S(n + 1) = ms p(n) + bs e D(n) = −md p(n) + bd, sabendo que:
S(n+1)=D(n+1) obtemos ms p(n) + bs = −md p(n+1) + bd
o preço equilíbrio p* =4
,
c)
Conseguimos verificar que é assimptoticamente estável
através do diagrama de teia de aranha.
As sucessões tendem para 4.
Caso 2)
a) Na questão 1. obtivemos o seguinte ponto de equilíbrio:
,
b)
c)
Através do diagrama de teia de aranha conseguimos verificar que é instável.
As sucessões tendem a divergir para o infinto.
Caso 3)
a) Na questão 1. obtivemos o seguinte ponto de equilíbrio
Logo, Ponto fixo = (2,2)
b) Aplicando outra vez expressão
,obtemos:
c)
Podemos verificar que a teia de aranha é estável, logo x ∗ = 2, como ponto de
equilíbrio.Mas vemos que a sucessão dos preços, ao oscilar entre dois valores constantes,
nem converge para o preço de equilíbrio e são todas com a mesma amplitude.
Logo será estável não assimptótica.