10) Resolva a equação exponencial
Equações e inequações
9
11) A solução da equação ( )
16
Determine a solução da inequação:
2 − 3𝑥
−1 <
<1
𝑥+3
2)
Determine a solução da inequação:
1
1
>
1 − 2𝑥 2𝑥 + 3
3)
Se 𝑎 < −2, os valores de x tais que
𝑎
2
⋅ (𝑥 − 𝑎) < −(𝑥 + 2)
são aqueles que satisfazem:
a) 𝑥 < 𝑎 − 2
b) 𝑥 < −2𝑎
c) 𝑥 > 2𝑎
d) 𝑥 > 𝑎 − 2
e) 𝑎 − 2 < 𝑥 < 2 − 𝑎
4)
= 2.
12 𝑥
= ( ) é um número racional x
9
12) ITA Uma vez que para todo 𝑥 ≥ 1 e 𝑛 ∈ ℕ vale a desigualdade
𝑥 𝑛 > 𝑛(𝑥 − 1), temos como consequência que, para
0 < 𝑥 < 1 e 𝑛 ∈ ℕ se tem:
a) 𝑥 𝑛−1 < [𝑛(1 + 𝑥)]−1
b) 𝑥 𝑛−1 < [(𝑛 + 1)(1 + 𝑥)]−1
c) 𝑥 𝑛−1 < [𝑛²(1 − 𝑥)]−1
d) 𝑥 𝑛−1 < [(𝑛 + 1)(1 − 𝑥)]−1
e) 𝑥 𝑛−1 < [𝑛(1 − 𝑥)]−1
13) Observe a figura a seguir.
Fuvest Determine todos os valores de m para os quais a equação:
𝑚𝑥
4
a)
b)
c)
−
(𝑥−2)
𝑚
=1
admite uma única solução
não admite solução
admite infinitas soluções
Demonstre que p < x + y +z < 2p.
(𝑥−4)
(𝑥−2)
5)
UFF Resolva, em ℝ{−4, −2}, a inequação (𝑥+2) < (𝑥+4) .
6)
PUC No universo ℝ, o conjunto-solução da inequação
(𝑥−3)
(3𝑥−𝑥 2 )
a)
b)
c)
d)
e)
7)
3𝑥 −3−𝑥
tal que:
a) −1 ≤ 𝑥 < 0
b) 0 ≤ 𝑥 < 1
c) 1,5 < 𝑥 < 2,5
d) 2,5 < 𝑥 < 3,5
e) 2,5 ≤ 𝑥 < 3,5
Questões de embasamento
1)
𝑥−3
3𝑥 +3−𝑥
< 0 é:
{x ∈ ℝ | x > 0}
{x ∈ ℝ | x > 3}
{x ∈ ℝ | x < 0 ou x > 3}
{x ∈ ℝ | 0 < x < 3}
{x ∈ ℝ | x > 0 e x ≠ 3}
ITA Seja 𝛼 um número real tal que 𝛼 > 2(1 + √2) e consista na
equação x² - 𝛼x + 𝛼 + 1 = 0. Sabendo que as raízes reais dessa
equação são as cotangentes de dois dos ângulos internos de um
triângulo, então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale:
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 135°
e) 120°
8)
Resolva a equação exponencial 4𝑥 − 2𝑥 − 2 = 0.
9)
Resolva a inequação 9𝑥 − 4 ⋅ 3𝑥+1 + 27 > 0.
14) Para que valores reais de K os números 21, 28 e 2K² - 1 são as
medidas dos lados de um triângulo?
15) ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 15 cm e ̅̅̅̅
𝐵𝐶 = 8 cm são os dois lados de um triângulo ABC.
̅̅̅̅ .
Determine entre que limites pode variar a medida do lado 𝐴𝐶
̅̅̅̅ , determine x e y.
16) Se o ∆ABC é isósceles de base 𝐵𝐶
17) Resolva a equação: 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1) + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 1) = 3 𝑙𝑜𝑔 2 +
𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 2).
18) Resolva as inequações a seguir.
a) 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 1) < 𝑙𝑜𝑔(5 – 6𝑥) – 𝑙𝑜𝑔 2
b)
ab²≤
4 – 𝑙𝑜𝑔𝑥 ≥ 3√𝑙𝑜𝑔𝑥
19) O menor valor natural de n para o qual se tem
2⋅4⋅6⋅8⋅…⋅2𝑛
1⋅2⋅3⋅…⋅𝑛
a)
b)
c)
d)
e)
>
√𝑙𝑜𝑔10100
é:
2
3
4
10
100
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎𝑏𝑐
{0}
{-4; -2; 2; 4}
{-4; 0; 4}
{-4; -2; 0; 2; 4}
{-2; 0; 2}
21) Determine a soma das raízes da equação |2 − |1 − |𝑥|| = 1.
22) A soma dos inteiros que satisfazem a desigualdade
|𝑥 − 7| > |𝑥 + 2| + |𝑥 − 2| é:
a) 14
b) 0
c) -2
d) -15
e) -18
23) Determine o valor absoluto da soma das duas menores raízes da
equação:
𝑥2 +
2
3
c)
4−√3
d)
e)
4
n.d.a.
1
1
+𝑥+ =4
𝑥2
𝑥
2
24) Determine o máximo da função f(x)=x(1-x), sendo x ∈ (0; 1).
25) Mostre que, se x, y e z são números reais positivos, então
1
1
1
(1 + 𝑥𝑦) + (1 + 𝑦𝑧) + (1 + 𝑧𝑥) ≥ 6.
𝑥
𝑦
𝑧
26) Determine o máximo da função 𝑓(𝑥) = 𝑥³(1 − 𝑥), sendo
x ∈ (0; 1).
27) Se a, b e c são números positivos, prove que
(a²b+b²c+c²a)(a²c+b²a+c²b) ≥ 9a²b²c².
28) Se a, b, c e d são reais positivos cuja soma é 1, prove que
1+
√4𝑏 + 1 + √4𝑐 + 1 + √4𝑑 + 1 < 6.
.
30) IME 2002
a)
b)
o número |𝑎| + |𝑏| + |𝑐| + |𝑎𝑏𝑐| , pode assumir é igual a:
a)
b)
4
27
Sejam x, y e z números reais positivos. Prove que
𝑥+𝑦+𝑧
3
≥
√𝑥𝑦𝑧 .
Considere um paralelepípedo retângulo de arestas a, b, c e
área total 𝑆0 . Determine o volume máximo desse paralelepípedo em função de 𝑆0 . Qual a relação entre a, b e c para que
esse volume seja máximo? Demonstre seu resultado.
3
20) Para quaisquer reais não nulos a, b e c o conjunto dos valores que
a)
b)
c)
d)
e)
29) Sejam a e b números reais positivos tais que a + b = 1. Prove que
Equações e inequações
9)
Seja a superfície total dum tetraedro de arestas a, b, c, d, e e f.
Prove que 𝑆 ≤
Questões de aprofundamento
O produto de 3 números positivos dados é igual a 1. A soma desses números é maior que a soma dos seus inversos. Prove que um
dos 3 números é maior que 1 enquanto os outros dois são menores
que 1.
2)
Bielo-Rússia Sejam x, y, z números reais positivos satisfazendo x
+ y + z = √𝑥𝑦𝑧. Prove que xy + yz + zx ≥ 9(x + y + z).
3)
Se a > 0, b > 0, c > 0, então prove que
4)
Prove que
𝑎3
𝑏𝑐
+
𝑏3
𝑐𝑎
+
𝑐3
𝑎𝑏
𝑎
+
𝑎𝑐
𝑏
+
𝑎𝑏
𝑐
≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, quaisquer que sejam a, b,
c reais positivos.
5)
Prove que para quaisquer números positivos a e b ocorre a
2
2
2
desigualdade 𝑎3 + 𝑏 3 > (𝑎 + 𝑏)3 .
6)
IME - 2000 As arestas laterais de uma pirâmide regular com n faces têm medida 𝑙. Determine:
a) a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função
de 𝑙, de modo que o produto do volume da pirâmide pela sua
altura seja máximo.
b) a expressão desse produto máximo, em função de 𝑙 e n.
7)
Considere a equação 3x² - 4x + k = 0 com raízes reais. O valor de k
para o qual o produto das raízes da equação é máximo é:
a)
b)
c)
d)
e)
8)
16
9
3
16
16
3
4
3
−4
3
ITA 1983 Considere os números reais não nulos a, b, c e d em progressão geométrica tais que a, b e c são raízes da equação (em x)
𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 − 2𝐵𝑥 + 𝐷 = 0, em que B e D são números reais e
B > 0. Se cd – ac = –2B, então:
a) (𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 )(𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 ) = (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑)2 e
𝑏2 + 𝑐 2 + 𝑑2 =
b)
(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐
c)
(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐
+ 𝑐 + 𝑑 2 ) = (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑)2 e
16𝐵
𝐵2 + 4
2 )(𝑏 2
2
+ 𝑐 + 𝑑 2 ) = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 e
𝑏2 + 𝑐 2 + 𝑑2 =
d)
e)
16𝐵2
𝐵2 +4𝐵
2 )(𝑏 2
2
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 =
16𝐵
𝐵+4
2 )(𝑏 2
(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐
+ 𝑐 2 + 𝑑 2 ) = (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑)2
(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 )(𝑏 + 𝑐 + 𝑑) = (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑)2 e 𝑎² +
𝑏2 + 𝑐2 =
𝐵+4
16𝐵
6
(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 + 𝑒 2 + 𝑓²).
10) A soma dos possíveis valores inteiros de
1)
𝑏𝑐
√3
a)
b)
c)
d)
e)
-2
-1
0
1
2
2𝑥
𝑥 2 +1
, 𝑥 ∈ ℝ, é:
Gabarito - Questões de embasamento
5
1)
] − ∞; −3[ ∪ ] ; ∞[
2)
] − ∞; − [ ∪ ]
3)
4)
D
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
3
2
2
; [
2
a) 𝑚 ≠ 2 e 𝑚 ≠ −2 e 𝑚 ≠ 0
b) 𝑚 = −2
c) 𝑚 = 2
x < -4 ou x > -2
E
D
x=1
𝑆 = ] − ∞; 1[ ∪ ] 2; +∞[
S = {1/2}
C
E
Demonstração
-5 < K < -2; 2 < K < 5
7 < ̅̅̅̅
𝐴𝐶 < 23
x = 50° e y = 15.
S = {3; 5}
a)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
2
−1 1
𝑆 = ]0; −2 +
√26
[
2
b) 𝑆 = [1; 10]
C
C
0
C
B
1/4
Demonstração
27/256
Demonstração
Demonstração
Demonstração
a)
Demonstração
b)
V=
𝑆0
6
√
𝑆0
6
Gabarito - Questões de aprofundamento
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Demonstração
Demonstração
Demonstração
Demonstração
Demonstração
a)
𝑙√2
2
b)
7)
8)
9)
10)
𝑙4 (𝑛−1)𝑠𝑒𝑛(
24
D
A
Demonstração
C
2𝜋
)
𝑛−1