Lista de Exercícios de Análise Numérica
1) As séries de Fourier para os casos discretos se limitam a situações em que possui-se um
número muito grande de medidas, sendo as mesmas com espaçamento regular. Caso estas
duas proposições não forem satisfeitas, as funções seno e coseno não formam
necessariamente uma base ortogonal; em outras palavras:
∑ j [cos( 2 π ω t j) sin(2 π ω t j )]≠0
(1.1)
Para casos que fogem destas premissas, podemos redefinir o espectro de Fourier como:
P (ω)=
[ ∑ j ( y j−y m )cos(2 π ω(t j−τ))]
∑ j cos 2 (2 π ω (t j−τ))
2
+
[ ∑ j ( y j− y m)sin( 2 π ω(t j−τ))]
∑ j sin 2 (2 π ω (t j−τ))
Onde (t j , y j ) são os dados medidos, y m a média de
inserido ad-hoc e calculado em função de ω de forma que:
yj e
2
(1.2)
τ é um parâmetro
∑ j [cos( 2 π ω(t j−τ)) sin( 2 π ω(t j−τ))]=0
(1.3)
Assim, podemos utilizar a equação (1.2) para a determinação de períodos em séries de
dados com espaçamento irregular.
a) Encontre que:
τ=
∑ sin (4 π ωt j )
1
arctan [ j
]
4πω
∑ cos (4 π ω t j )
(1.4)
j
b) Aplique (1.2) e (1.4) aos dados da figura a seguir, apresente o grafico de P (ω) pela
frequência ω e/ou periodo T =2 π/ω . Aponte os principais periodos dos dados.
14000
80
14400
14800
15200
f(x)
40
15600
80
40
0
0
-40
-40
-80
-80
14000
14400
14800
X
15200
15600
2) O sistema abaixo:
dx /dt =σ(−x+ y )
dy /dt =rx−y−xz
dz /dt =−bz+xz
Possui aplicação na Meteorologia e é chamado de Sistema de Lorenz, descreve o
movimento de massas gasosas na atmosfera. Os termos σ e b são parâmetros que, para
o caso da atmosfera terrestre são σ=10 e b=8/3 , por outro lado r e um fator que
depende da temperatura a diferentes altitudes. Tome r =28 e resolva os itens a seguir:
a) Trace os gráficos x, y e z contra t
b) Trace o grafico no eixo xy e xz.
3) A equação:
1 2
u ' '−μ (1− u ' )u ' +u=0
3
é chamada muitas vezes de equação de Rayleigh.
a) Escreva a equação de Rayleigh como um sistema de duas equações de primeira ordem.
b) Mostre que a origem é o único opnto crítico desse sistema. Determine se é estável ou
instável.
c) Seja μ=1 . Escolha condições iniciais e calcule a solução correspondente para o
sistema em um intervalo como 0≤t ≤20 , ou maior. Faça o gráfico de u em função de t e
também a trajetória no espaço de fase. Observe que a trajetória tende a uma curva fechada.
Estime a amplitude e o periodo da trajetória.