Equações Diferenciais
DEFINIÇÃO
Toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma
derivada ou diferencial destas funções, denomina-se equação diferencial.
Exemplos
1) pe = 3x – 1
2)
xdy – y dx = 0
.
3) toy + y = 0 4 (0-2) - v - (1 + x ) 59 (v- ) =1+() 6) en =
0
CLASSIFICAÇÃO
A função y é denominada incógnita de uma variável independente x.
Quando existe apenas uma variável independente, a equação é denominada ordinária (cinco
primeiros exemplos); quando há mais de uma variável livre, equação diferencial de derivadas
parciais (6o exemplo).
2 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Existem ainda as equações de diferenciais totais e as equações integrais,
estas últimas transcendendo as finalidades deste estudo.
ORDEM
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada de
mais alta ordem contida na equação.
GRAU
Supondo-se a equação escrita sob forma racional inteira em relação às derivadas, o grau da
equação é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na
equação.
Assim sendo, os exemplos anteriores poderão ser classificados quanto à ordem e
ao grau em:
Exemplo 1 mm 1.a ordem e 1.° grau Exemplo 2 + 1.a ordem e 1.° grau Exemplo 3 + 2.a
ordem e 1.° grau Exemplo 4 + 4.a ordem e 3.° grau Exemplo 5 * 3." ordem e 2.° grau
Exemplo 6 * 2.a ordem é 1.° grau
Observe-se pelos exemplos seguintes que, nem sempre à primeira vista, pode-se
classificar a equação de imediato quanto à ordem e grau. Assim, as equações (7) e (8)
são, respectivamente, de 3.a ordem, 2.° grau e 1.a ordem, 1.° grau.
no che
3ordem e 2o grau
au
*) - v 8) Los * -1847–
is
g x2 =
y
a very
to be a xzena
1.ordem e 1.0 grau,
Obs.: Será omitido doravante o sinal de valor absoluto em todas as operações em que
intervenham Logaritmos, ficando subentendido, todavia, que tal operação só tem sentido para
os valores absolutos das funções a que se aplica.
CAP. 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS / 3
RESOLUÇÃO
Resolver ou integrar uma equação diferencial é determinar
todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou
seja, é obter uma função de variáveis livres que, substituída na
equação, transforme-a numa identidade.
..
Exemplo
.
.
.
.
they
= 3.– 1
er
..
.
.
...
..
.
..
.
dy = 3. dx - dx
.
...
.
:::
.........
7.
..
...
.
.
.
...
.
.
fos - fax dx = [as 1.2 -x+6
..
...
.
.
...
.
.
.
...........
..
+C
......
.
..
.
...
.
..
..
2
.
...***
Existem vários tipos de solução de uma equação diferencial, a saber:
!,
u) Solução geral: é a solução da equação que contém tantas
constantes arbitrárias
quantas forem as unidades da ordem da equação. Dessa forma, uma
equação de 1.a ordem apresenta apenas uma constante arbitrária em
sua solução geral. Uma de 2.a ordem apresentará duas constantes, e
assim por diante.
A
hl Solução particular: é a solução da equação deduzida
da solução geral, atribuindo-se : valores particulares às
constantes arbitrárias..
c) Solução singular: é a solução da equação, que não
pode porém ser deduzida da
solução geral. Assim sendo, apenas alguns tipos de equações
apresentam essa solução.
CURVAS INTEGRAIS
Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial
representa uma familia de curvas que recebem o nome de curvas
integrais. Essa solução denomina-se primitiva ou integral da equação
diferencial.
Exemplo Seja a equação
voy a = 2x.
Sua solução r = .1? + C fornece uma família de parábolas
de concavidade voltada para o eixo r positivo, como mostra a
figura.
.
.
.
.
A
4 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
My лу
C:6
W
0
C: -3
(9==+0]
1 = x2 + c
AX
Exercícios
Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas à equação diferencial de menor ordem
possivel que não contenha nenhuma constante arbitrária.
.
3-2
.
:
.
1) y
me - p + 6.
Solução
Derivando:
2--1
= 3.8 -1
2) y = C, sen x + C, coss.
Solução
Derivando:
đY = C, cos x – C, sen x.
Como as constantes não foram eliminadas, derive-se pela segunda vez:
CAP. 1 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 15
they = -1C, sen x + C, cos x).
Observe-se que o valor entre parênteses corresponde ao próprio y dado, o que permite escrever:
+y=0
3) y = Cx2
Solução
Care
ha = 2 Cx : von = 2x
ho 2
4) y = 0,12 + Ca
Solução
| 4 = 2 C, v. en 26,
Levando em (a) o valor obtido em (b), tem-se:
created
inte
5) y = a cos (.+ b) onde a e b são constantes.
Solução
Derivando:
= - a sen(x + b)
a
a cos(x + b).
Como o segundo membro é – y, escreve-se:
8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
e + s =0
6) y = C, 03:8 + C22-28.
Solução
Multiplicando ambos os membros por tit, tem-se:
e28 y = C, PS* + C2
es
Les
Derivando:
ezt + 2e28 y = $C, est
Observe-se que, em assim procedendo, já se elimina a constante C, Resta eliminar C, o que
será feito mediante a multiplicação de ambos os membros da igualdade (2) por e-5x,
Assim:
2-( + 2y) sc,
Derivando:
*** (en + 2 ) – 3e-u ( + 25) = 0.
X
=
0.
Agrupando:
pasienter med B - 6Y) = 0 procenter - 6) = 0.
*
3
0
O que permite escrever, já que em 3* # 0.
6y=0
7) Lg 5 = 1 + ay.
Solução
Lg.r - Egy = 1 + ay
a = Lgx – 183 -1
Derivando:
+=
a
-
CAP. 1 - EQUAÇOES DIFERENCIAIS / 7
Substituindo e pelo seu valor obtido de (1), tem se:
di . Lgx = 185 -1.
dx
Lgx – Lg y - 1
Eliminando os denominadores:
y-X
xiLgx – L&V - . y-moment = xLg xem - x Egy
olyan mo
(16 3 – L$ 1!
sexo
V sV
- Lgyi
81. Obter a equação diferencial da familia de circulos de raio 10, cujos centros estejam
sobre o eixo y.
Solução
te? + (1 - k}? = 102
(1)
:
onde k é a ordenada do centro.
(y - k)2 = 100 – 42
Diferenciando (1):
2x dx + 213 ~ kldr = 0.
Transpondo e elevando ao quadrado:
42 dx2 - 11' – kilady2 = 0.
.
.
-
8 / EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Substituindo (y – kpelo seu valor em (2). tem se:
x dx? – (100 – ?) dr2 = 0
( ) - 100
Exercícios Propostos
Formar as equações diferenciais das seguintes familias de curvas:
Resp.: xdx + ydy' = 0
1) p2 + yo2 = 62/ 21 )' = Cet
Resp.: - ;=0
31 ..= ctxi - rio
Resp.: 37.2 -*? = 2xy
41 y = C, cos 2x + C, sen 2x
5) y = IC, + C, X) et + Cy.
Resp. Set + 4y = 0 Resp. e - ze = 0 Resp. Set - 2 = 0
they
6) j = C, 22* +
e-*