Lista 10
Status
Done
1) Considere a seguinte equação característica:
z 4 − 1.9z 3 + 1.94z 2 − 0.82z + 0.1 = 0
Utilizando o critério de Jury, determine a estabilidade do sistema.
Solução
O primeiro passo é determinar as constantes da equação de quarta ordem, a0 , a1 , a2 , a3 e a4 , da esquerda
pra direita:
a0 = 1
a1 = −1.9
a2 = 1.94
a3 = −0.82
a4 = 0.1
Agora aplicamos as condições de estabilidade de Jury:
1.
∣a4 ∣ < a0 : como 0.1<1, a primeira condição está satisfeita;
2.
P (1) > 0: 14 − 1.9 ⋅ 13 + 1.94 ⋅ 12 − 0.82 ⋅ 1 + 0.1 > 0, logo 0.32 > 0 (satisfeita).
3.
P (−1) > 0: (−1)4 − 1.9 ⋅ (−1)3 + 1.94 ⋅ (−1)2 − 0.82 ⋅ 1 + 0.1 > 0, logo 0.76 > 0 (satisfeita).
4.
∣b3 ∣ > ∣b0 ∣
Vamos calcular o determinante b3 de acordo com a fórmula:
a
b3 = det [ 4
a0
a0
] = a24 − a20 = 0.12 − 1 = −0.99
a4
A seguir, calculamos o determinante b0 :
a
b0 = det [ 4
a0
Portanto, 0.99
5.
a3
] = a4 ⋅ a1 − a0 ⋅ a3 = 0.1 ⋅ (−1.9) − 1 ⋅ (−0.82) = 0.63
a1
> 0.63 (satisfeita).
∣c2 ∣ > ∣c0 ∣
Vamos calcular o determinante c2 de acordo com a fórmula:
b
c2 = det [ 3
b0
b0
] = b3 ² − b20 = (−0.99)2 − 0.632 = 0.5832
b3
Antes de calcular c0 , precisamos saber o valor de b1 e b0 :
b2 = a4 a3 − a1 a0 = 0.1 ⋅ (−0.82) − (−1.9) = 1.8180
b1 = a4 a2 − a2 a0 = 0.1 ⋅ 1.94 − 1.94 = −1.7460
A seguir, calculamos o determinante c0 :
Lista 10
1
c0 = b3 b1 − b2 b0 = −0.99 ⋅ (−1.7460) − 1.8180 ⋅ 0.63 = 0.5832
Portanto, c2
instável.
= c0 e a condição 5 não foi satisfeita. Como uma das condições não foi satisfeita, o sistema é
2) Considere o sistema de controle com realimentação unitária em tempo discreto (com período de amostragem
T = 0.2s) cuja função de transferência pulso em malha aberta está dada:
G(z) =
K(z − 0.8)(z + 0.7)
(z − 1)(z − 0.7)(z − 0.4)
Determine a faixa de valores do ganho K para estabilidade do sistema, utilizando a transformação bilinear e o
critério de Routh-Hurwitz. Calcule o valor do ganho crítico (K ) para a qual o sistema se torna criticamente
estável, bem como calcule as raízes da equação característica nessa condição do plano z .
Solução:
O primeiro passo para avaliar o ganho K é determinar a função de transferência em malha fechada.
K (z−0.8)(z+0.7)
G(z)
(z−1)(z−0.7)(z−0.4)
=
=
K (z−0.8)(z+0.7)
1 + G(z)
1 + (z−1)(z−0.7)(z−0.4)
K(z − 0.8)(z + 0.7)
=
(z − 1)(z − 0.7)(z − 0.4) + K(z − 0.8)(z + 0.7)
K(z 2 − 0.1z − 0.56)
z 3 − 2.1z 2 + 1.38z − 0.28 + K(z 2 − 0.1z − 0.56)
Dessa forma, a equação característica do sistema será:
z 3 + (K − 2.1)z 2 + (1.38 − 0.1K)z − 0.28 − 0.56K = 0
Agora podemos tomar a equação característica e calcular sua transformada bilinear.
(
3
2
w+1
w+1
w+1
) + (K − 2.1) (
) + (1.38 − 0.1K) (
) − 0.28 − 0.56K = 0
w−1
w−1
w−1
Multiplicando por (w
− 1)3 :
(w + 1)3 + (K − 2.1)(w + 1)2 (w − 1) + (1.38 − 0.1K)(w + 1)(w − 1)2 − (0.28 + 0.56K)(w − 1)3
O próximo passo será substituir os produtos notáveis na equação:
(w + 1)3 = w 3 + 3w 2 + 3w + 1
(w − 1)(w + 1)2 = w 3 + w 2 − w − 1
(w + 1)(w − 1)2 = w 3 − w 2 − w + 1
(w − 1)3 = w 3 − 3w 2 + 3w − 1
Multiplicando os produtos notáveis pelos coeficientes da equação característica vamos encontrar:
(w 3 + 3w 2 + 3w + 1) + (K − 2.1)(w 3 + w 2 − w − 1) + (1.38 − 0.1K)(w 3 − w 2 − w + 1)
−(0.28 + 0.56K)(w 3 − 3w 2 + 3w − 1)
Lista 10
2
Para encontrar a equação resultante, podemos somar todos os coeficientes da equação característica
multiplicados pelo coeficiente de cada termo dos produtos notáveis. Assim:
(1 + K − 2.1 + 1.38 − 0.1K − 0.28 − 0.56K)w 3
+(3 + K − 2.1 − (1.38 − 0.1K) − 3(−0.28 − 0.56K))w 2
+(3 − (K − 2.1) − (1.38 − 0.1K) + 3(−0.28 − 0.56K))w
+1 − (K − 2.1) + 1.38 − 0.1K − (−0.28 − 0.56K) = 0
0.34Kw 3 + (0.36 + 2.78K)w 2 + (2.88 − 2.58K)w + (4.76 − 0.54K) = 0
Dessa forma, os coeficientes da transformada bilinear serão:
a0 = 0.34K
a1 = 0.36 + 2.78K
a2 = 2.88 − 2.58K
a3 = 4.76 − 0.54K
Montando a tabela de Routh-Hurwitz com os dados, teremos:
w3
a0
a2
2
a1
a3
w
w1
a1 a2 −a0 a3
a1
w0
a3
De acordo com Routh-Hurwitz, todos os valores da primeira coluna devem ser maiores do que zero. Assim:
0.34K > 0 → K > 0
0.36 + 2.78K > 0 → K > −0.1295
a1 a2 − a0 a3 > 0
(0.36 + 2.78K)(2.88 − 2.58K) − (4.76 − 0.54K)0.34K > 0
−6.9888K 2 + 5.4592K + 1.0368 > 0
Se calcularmos as raízes dessa equação vamos obter:
K = {0.9391, −0.1580}
Como a parábola tem concavidade negativa, a faixa de valores de K que tornam a equação positiva será
−0.158 < K < 0.939. Essa região pode ser observada pelo gráfico abaixo:
Lista 10
3
4.76 − 0.54K > 0 → K < 8.8145
2.88 − 2.58K > 0 → K < 1.1163
A faixa de K que atende todas as condições, portanto, será 0
< K < 0.9391.
Pegando de volta a equação característica no plano z , vamos determinar as raízes para Kc :
z 3 + (K − 2.1)z 2 + (1.38 − 0.1K)z − 0.28 − 0.56K = 0
Substituindo K
= 0,
z 3 − 2.1z 2 + 1.38z − 0.28 = 0
As raízes neste caso serão 1, 0.4 e 0.7, logo o sistema é criticamente estável nesse ponto (como esperado,
por haver um polo em 1 na planta.
Substituindo K
= 0.9391,
z 3 − 1.1609z 2 + 1.2861z − 0.8059 = 0
E neste caso as raízes serão 0.1775 ± j0.9841 e 0.8059, logo, o sistema é criticamente estável nesse ponto
com ∣0.1775 ± j0.9841∣ = 1.
Neste caso, o valor crítico de K deve ser 0.9391, o maior valor de K possível antes da instabilidade. Isso
pode ser confirmado fazendo o root-locus do sistema, como mostra a figura abaixo:
Lista 10
4
Lista 10
5