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Práctica Calificada 2
Curso: MATEMÁTICA PARA ECONOMÍA Y FINANZAS 2
Código: 1MAT26.
Profesor: Andrés Beltrán.
Horario: 201, 202.
Semestre: 2023-2.
Pedro Leiva
30 de setiembre de 2023
1. Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
©
™
a) El conjunto S = u = (x, y, z) 2 IR 3 : x yz = 1 es un subespacio de IR 3 .
(1 punto)
©
™
4
b) Existe un valor de k 2 IR que permite que el subconjunto F = v1 , v2 , v3 de IR sea
linealmente dependiente, donde v1 = (1, 1, 1, 3), v2 = (3, 2, 0, k) y v3 = (0, 1, 1, k). (2 puntos)
c) Los vectores v1 = (k, 0, 1), v2 = (0, k, 1) y v3 = (k3 , k3 , k3 ) son linealmente independientes si
k 6= 2 y k 6= 0.
(2 puntos)
Solución:
a) (Falso)
Note que los vectores v = (1, 1, 1), u = (°1, °1, 1) 2 S. Sin embargo v + u = (0, 0, 2) › S, porque
0 £ 0 £ 2 = 0 6= 1.
Por lo tanto, S no es un subespacio vectorial de IR 3 .
b) (Falso)
Sean a, b, c 2 IR tales que
a(1, 1, 1, 3) + b(3, 2, 0, k) + c(0, 1, 1, k) = (0, 0, 0, 0)
(a + 3b, a + 2b + c, a + c, 3a + kb + kc) = (0, 0, 0, 0)
De esta manera obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales
8
>
a + 3b
= 0
>
>
< a + 2b + c = 0
>
a
+ c = 0
>
>
: 3a + kb + kc = 0
Escalonando la matriz aumentada del sistema
0
1
1 3 0 | 0
B1 2 1 | 0C
B
C F2 √(°1)F1 +F2
B
C °°°°°°°°°°!
@1 0 1 | 0A F3 √(°1)F1 +F3
3 k k | 0
0
1
3
0 |
B0 °1 1 |
B
B
@0 °3 1 |
0 k°9 k |
0
1 3
0
B0 °1
1
F3 √(°3)F2 +F3
B
°°°°°°°°°°°! B
@0 0
°2
F4 √( k°9)F2 +F4
0 0 2k ° 9
0
1 3
0 |
B0 °1 1 |
F4 √ 2k2°9 F3 +F4
B
°°°°°°°°°°°! B
@0 0 °2 |
0 0
0 |
1
1
0
0C
C
C
0A
0
|
|
|
|
1
0
0C
C
C
0A
0
1
0
0C
C
C
0A
0
Dado que r(A) = r(A |B) = 3 = n, concluimos que el sistema es compatible determinado, cuya
©
™
única solución es a = b = c = 0. Por lo tanto, el subconjunto F = v1 , v2 , v3 es linealmente
independiente, para todo valor de k 2 IR.
c) (Verdadero)
Los vectores v1 = (k, 0, 1), v2 = (0, k, 1) y v3 = (k3 , k3 , k3 ) son linealmente independientes si y
solo si
Ø
Ø
Ø k 0 k3 Ø
Ø
Ø
det([v1 |v2 |v3 ]) = ØØ0 k k3 ØØ = k4 (k ° 2) 6= 0 () k 6= 2 y k 6= 0.
Ø1 1 k3 Ø
2. Sea S el subespacio vectorial de IR 3 generado por los vectores v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 2, 0) y v3 =
(0, 2, °1).
a) Determine la ecuación que define a S.
(2 puntos)
b) Encuentre una base para el subespacio S y determine su dimensión.
(2 puntos)
Solución:
a) Sea v = (x1 , x2 , x3 ) 2 S entonces existen c 1 , c 2 , c 3 2 IR tal que
(x1 , x2 , x3 ) = c 1 (1, 0, 1) + c 2 (1, 2, 0) + c 3 (0, 2, °1)
De esta manera obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales
8
= x1
< c1 + c2
2c 2 + 2c 3 = x2
:
c1
° c 3 = x3
Escalonando la matriz aumentada del sistema
0
1
0
1 1 0 | x1
1 1
0
F3 √(°1)F1 +F3
@0 2 2 | x2 A °°°°°°°°°°! @0 2
2
1 0 °1 | x3
0 °1 °1
0
1 1
0
F2 $ F3
@0 °1 °1
°°°°°!
0 2
2
0
1 1
0
F 3 √2 F 2 + F 3
@0 °1 °1
°°°°°°°°!
0 0
0
Para que el sistema sea compatible, se debe cumplir
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
x1
x2 A
x3 ° x1
1
x1
x3 ° x1 A
x2
1
x1
A
x3 ° x1
x2 + 2x3 ° 2x1
x2 + 2x3 ° 2x1 = 0.
©
™
Por lo tanto, S = (x1 , x2 , x3 ) 2 IR 3 : x2 + 2x3 ° 2x1 = 0 .
b) Hallando una base para S:
• Sea v = (x1 , x2 , x3 ) 2 S entonces
x2 + 2x3 ° 2x1 = 0
()
x2 = 2x1 ° 2x3 .
Por consiguiente,
v = (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , 2x1 ° 2x3 , x3 ) = (x1 , 2x1 , 0) + (0, °2x3 , x3 ) = x1 (1, 2, 0) + x3 (0, °2, 1)
©
™
De esta manera, B = (1, 2, 0); (0, °2, 1) genera el subespacio S.
2
©
™
• Ahora probemos que B = (1, 2, 0); (0, °2, 1) es linealmente independiente. Sean a, b 2 IR
tal que
a(1, 2, 0) + b(0, °2, 1) = (0, 0, 0)
(a, 2a ° 2b, b) = (0, 0, 0)
entonces
a = 0 y b = 0.
©
™
Por lo tanto, B = (1, 2, 0); (0, °2, 1) es linealmente independiente.
©
™
En conclusión, B = (1, 2, 0); (0, °2, 1) es una base para S.
Hallando la dimensión de S:
Recordemos que la dimensión de un espacio vectorial se define como la cantidad de elementos
de su base. Por lo tanto, dim(S) = 2.
3. Sea V el subespacio vectorial de IR 4 generado por el conjunto Ø = {v1 , v2 , v3 , v4 }, donde v1 =
(°1, 1, °1, 1), v2 = (1, k, 3, 4), v3 = (1, °1, k, 1) y v4 = (0, 0, 1, k). Halle la dimensión de V según los
valores del parámetro real k.
(4 puntos)
Solución:
Caso 1:
dim(V ) = 4 si y solo si los vectores v1 = (°1, 1, °1, 1), v2 = (1, k, 3, 4), v3 = (1, °1, k, 1) y v4 = (0, 0, 1, k)
son linealmente independientes, es decir,
Ø
Ø
Ø°1 1 1 0Ø
Ø
Ø
Ø 1 k °1 0Ø
Ø
Ø
det([v1 |v2 |v3 |v4 ]) = Ø
6 2.
Ø = °(k + 1)2 (k ° 2) 6= 0 () k 6= °1 y k =
Ø°1 3 k 1Ø
Ø
Ø
Ø 1 4 1 kØ
Caso 2: k = °1
Sea v = (x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 V entonces existen a, b, c, d 2 IR tales que
(x1 , x2 , x3 , x4 ) =
a(°1, 1, °1, 1) + b(1, °1, 3, 4) + c(1, °1, °1, 1) + d(0, 0, 1, °1)
(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (°a + b + c, a ° b ° c, °a + 3b ° c + d, a + 4b + c ° d)
Escalonando la matriz aumentada del sistema
0
1
°1 1
1
0 | x1
B 1 °1 °1 0 | x C
F2 √ F1 + F2
B
2C
B
C °°°°°°°°°°!
@°1 3 °1 1 | x3 A F3 √(°1)F1 +F3
1
4
1 °1 | x4
F2 $ F4
°°°°°!
0
°1
B0
B
B
@0
0
0
°1
B0
B
B
@0
0
1 1
0
0 0
0
2 °2 1
5 2 °1
1 1
0
5 2 °1
2 °2 1
0 0
0
|
|
|
|
|
|
|
|
Para que el sistema sea compatible, se debe cumplir x1 + x2 = 0. Por lo tanto,
©
™
V = (x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 IR 4 : x1 + x2 = 0
y dim(V ) = 3.
1
x1
x1 + x2 C
C
C
x3 ° x1 A
x1 + x4
1
x1
x1 + x4 C
C
C
x3 ° x1 A
x1 + x2
Caso 3: k = 2
Sea v = (x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 V entonces existen a, b, c, d 2 IR tales que
(x1 , x2 , x3 , x4 ) =
a(°1, 1, °1, 1) + b(1, 2, 3, 4) + c(1, °1, 2, 1) + d(0, 0, 1, 2)
(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (°a + b + c, a + 2b ° c, °a + 3b + 2c + d, a + 4b + c + 2d)
3
Escalonando la matriz aumentada del sistema
0
1
°1 1 1 0 | x1
B 1 2 °1 0 | x C
F2 √ F1 + F2
B
2C
B
C °°°°°°°°°°!
@°1 3 2 1 | x3 A F3 √(°1)F1 +F3
1 4 1 2 | x4
0
°1
B0
B
B
@0
0
0
°1
B0
F3 √(° 23 )F2 +F3
B
°°°°°°°°°°°! B
@0
F4 √(° 53 )F2 +F4
0
0
°1
B0
F4 √(°2)F3 +F4
B
°°°°°°°°°°! B
@0
0
1
3
2
5
1
0
1
2
0
0
1
2
1
3
0
0
1
0
1
2
0
0
1
2
1
3
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
|
|
|
|
1
x1
x1 + x2 C
C
C
x3 ° x1 A
x1 + x4
|
|
|
|
1
x1
C
x1 + x2
C
C
2
5
x3 ° 3 x2 ° 3 x1 A
x4 ° 2x3 ° 13 x2 + 83 x1
|
|
|
|
1
x1
C
x1 + x2
C
C
x3 ° 23 x2 ° 53 x1 A
x4 ° 53 x2 ° 23 x1
Para que el sistema sea compatible, se debe cumplir x4 ° 2x3 ° 31 x2 + 83 x1 = 0. Por lo tanto,
Ω
æ
1
8
4
V = (x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 IR : x4 ° 2x3 ° x2 + x1 = 0
y dim(V ) = 3.
3
3
4. ¿Para qué valor de k 2 IR, el vector u = (5, k, 11) pertenece al subespacio S generado por los vectores
v1 = (°1, 3, °1) y v2 = (1, °2, 4)?
(3 puntos)
Solución:
El vector u = (5, k, 11) pertenece al subespacio S generado por los vectores v1 = (°1, 3, °1) y v2 =
(1, °2, 4) si y solo si existen escalares a, b 2 IR tal que
a(°1, 3, °1) + b(1, °2, 4) = (5, k, 11)
Escalonando la matriz aumentada del sistema
0
1
0
°1 1 | 5
°1
√3 F 1 + F 2
@ 3 °2 | k A °°F°2°
°°°°°°! @ 0
F3 √(°1)F1 +F3
°1 4 | 11
0
0
°1
F3 √(°3)F2 +F3
°°°°°°°°°°! @ 0
0
1
1 |
5
1 | 15 + kA
3 |
6
1
1 |
5
1 |
15 + k A
0 | °39 ° 3k
Para que el sistema sea compatible, se debe cumplir °39 ° 3k = 0. Por lo tanto, k = °13 .
©
™
5. Dado el conjunto S = u = (x, y, z) 2 IR 3 : 3x + y + z = 0, x ° y + 2z = 0 . Analice si S es un subespacio
vectorial, en caso afirmativo encuentre una base y determine la dimensión de S.
(4 puntos)
Solución:
Note que
8
<
9
0 1
µ
∂ x
µ ∂=
3
1
1
0
@ yA =
S = u = (x, y, z) 2 IR 3 :
:
1 °1 2
0 ;
z
µ
∂
3 1 1
es decir, S es el espacio nulo de la matriz A =
. Por lo tanto, S es un subespacio vectorial
1 °1 2
de IR 3 .
Hallando una base para S:
4
• Sea u = (x, y, z) 2 S entonces
x ° y + 2z = 0 ,
3x + y + z = 0
Escalonando la matriz aumentada del sistema
µ
∂
µ
∂
1 °1 2 | 0
1 °1 2 | 0
F2 √(°3)F1 +F2
°°°°°°°°°°!
3 1 1 | 0
0 4 °5 | 0
entonces
Por consiguiente,
x ° y + 2z
4y ° 5z
= 0 =)
= 0 =)
x =
y =
y ° 2z
5
4z
=)
x = ° 34 z
µ
∂
µ
∂
3 5
3 5
u = (x, y, z) = ° z, z, z = z ° , , 1
4 4
4 4
©° 3 5 ¢™
De esta manera, B = ° 4 , 4 , 1 genera el subespacio S.
°
¢
©°
¢™
• Dado que ° 34 , 54 , 1 6= (0, 0, 0) concluimos que B = ° 34 , 54 , 1 es linealmente independiente.
©°
¢™
En conclusión, B = ° 34 , 54 , 1 es una base para S.
Hallando la dimensión de S:
Recordemos que la dimensión de un espacio vectorial se define como la cantidad de elementos de
su base. Por lo tanto, dim(S) = 1.
5