ESCOM-IPN
Examen de Álgebra Lineal
Álgebra Lineal
Prof. Jesús Ortuño Araujo.
Nombre:
Grupo:
Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y
problemas.
1. Sean A, B y P tres matrices invertibles tales que B = P −1 AP . Demostrar que
adj(B) = |A| B −1 .
2. Determinar si el conjunto de todas las soluciones a la ecuación diferencial lineal
homogénea de orden dos con coeficientes constantes ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = 0 es un
subespacio de C 2 (−∞, ∞).
3. Determine si el conjunto
S = 7 − x + 4x2 − 2x3 , 2 − 9x + 5x2 − x3 , 1 + 5x − x2 − x3 , −3 − 2x + 5x2 − 7x3
es una base de P3 .
4. Encuentre (a) una base para el espacio columna de A, (b) una base para el espacio
renglón de A, (c) rango(A), una base para el espacio nulo de A y (d) nulidad(A) si

5
3 −3
5
8 .
A= 4
−3 −2 1

5. Sean B1 = {(3, 4, −1), (1, 2, 0), (−2, −3, 1)} y B2 = {(3, 2, −1), (−1, 1, −2), (1, 2, −2)}
dos bases de R3 . Decodifique el mensaje vı́a las matrices de coordenadas de los vectores
con respecto a la base 1, 
si las matrices
de
respecto a la base

 los vectores

 de coordenadas
−8
−27
36
B2 son [~u1 ]B2 =  62  , [~u2 ]B2 =  −38 , [~u3 ]B2 =  −10 ,


 11

 53

−94

−261
−161
−58
−155
[~u4 ]B2 =  −210 ,[~u5 ]B2 =  −80 ,[~u6 ]B2 =  −223 , [~u7 ]B2 =  −358 .
503
306
111
290
Evaluación
1
ESCOM-IPN
Examen de Álgebra Lineal
Álgebra Lineal
Prof. Jesús Ortuño Araujo.
Grupo:
Nombre:
Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y
problemas.
1. Sean A, B y P tres matrices invertibles tales que A = P BP −1 . Demostrar que
adj(A) = |B| A−1 .
2. Determinar si el conjunto de las funciones continuas en el intervalo [a, b] que satisfacen
Z b
f (x)dx = 0
a
es un subespacio de C[a, b].
3. Determine si el conjunto
S = −5 + 4x − 3x2 + 6x3 , 3 − 3x + 2x2 − 5x3 , 7 − x + 2x2 + x3 , 6 − x + x2 − x3
es una base de P3 .
4. Encuentre (a) una base para el espacio columna de A, (b) una base para el espacio
renglón de A, (c) rango(A), una base para el espacio nulo de A y (d) nulidad(A) si

−3 6
3
A =  5 −7 7  .
−4 6 −4

5. Sean B1 = {(3, 4, −1), (1, 2, 0), (−2, −3, 1)} y B2 = {(3, 2, −1), (−1, 1, −2), (1, 2, −2)}
dos bases de R3 . Decodifique el mensaje vı́a las matrices de coordenadas de los vectores
con respecto a la base 2, silas matrices
delos vectores
respecto a la base


 de coordenadas
−55
40
−60
B1 son [~u1 ]B1 =  −45  , [~u2 ]B1 =  −30 , [~u3 ]B1 =  −10 ,
 −88

 23

−134

−84
12
−76





56 .
−33
−15
,[~u6 ]B1 =
,[~u5 ]B1 =
[~u4 ]B1 =
−56
−20
−123
Evaluación
1
Primer Examen Departamental de Algebra Lineal
T1 (otoño 2023)
Nombre ___________________________________________________
Número de Boleta _______________ Fecha _________________
TEMA A EVALUAR: OPERACIONES ENTRE MATRICES. VALOR: 0.3 PTS.
1
1.- Realice las operaciones indicadas con 𝐴 = ( 2
−1
3
−2 0
5) y 𝐵 = ( 1 4): −7𝐴 + 3𝐵
−7 5
2
TEMA A EVALUAR: INVERSA DE UNA MATRIZ. VALOR: 1.0 PTS.
2 −1
2.- Sea A= (4 0
5 −2
3
6). Calcule 𝐴−1 si existe. (Utilice el método de matriz aumentada).
3
TEMA A EVALUAR: MATRICES ELEMENTALES. VALOR: 0.3 PTS.
3.- Sea E una matriz que representa la operación elemental 𝑅1 → 𝑅1 − 3𝑅2. Verifique que det 𝐸 = 1.
TEMA A EVALUAR: INVERSA DE UNA MATRIZ A TRAVES DE SU ADJUNTA Y OPERACIONES ENTRE
MATRICES. VALOR: 1.0 PTS.
1 1 1
4.- Sea A= (0 2 3 ). Calcule 𝐴−1 si existe, a través de su adjunta. Para calcular el determinante sólo podrás usar cofactores
5 5 1
o propiedades de determinantes (cualquier otra forma de calcular el determinante no será aceptada e invalidará el ejercicio).
Compruebe que es su inversa.
TEMA A EVALUAR: REGLA DE CRAMER. VALOR: 0.4 PTS.
5.- Resuelva el sistema
2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 7 utilizando la Regla de Cramer.
3𝑥1 + 8𝑥2 − 𝑥3 = 2
−5𝑥1 − 12𝑥2 + 6𝑥3 = 11
1
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO
PRIMER EXAMEN DEPARTAMENTAL DE ALGEBRA LINEAL
Nombre:_____________________________________________
Fecha:
Instrucciones:
Conteste clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento. Escribe el
resultado con tinta. No se permite el uso de formulario ni calculadora. Valor de cada
uno de los problemas 2 puntos
1.
Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
kx + y + z - 1 = 0
x + ky + z - 1 = 0
x + y + kz - 1 = 0
Que valores deben tomar el parámetro k para que el sistema:
a) Tenga solución única
b) Tenga un conjunto infinito de soluciones
c) No tenga solución
2. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales y muestre con el resultado la ley de los
cosenos, donde a, b, c≠0, son números reales.
c cos a + a cos g = b
b cos a + a cos b = c
c cos b + b cos g = a
3. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, utilizando únicamente las propiedades.
æ a12
ç
B = ç a 22
ça2
è 3
a1 1ö
÷
a 2 1÷
a3 1÷ø
4. Determine la inversa de la matriz D.
æç -1 1 1 -1 ö÷
-1 0 1 0 ÷
D := ç
ç 0 1 -1 1 ÷
ç 0 0 1 -1 ÷
è
ø
5. Considere la siguiente matriz A, para que valores del parámetro k, la matriz es invertible.
1 ö
æ k + 3 -1
ç
A :=
5 k-3 1 ÷
ç
÷
-6 k + 4 ø
è 6
ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO
PRIMER EXAMEN DE ALGEBRA LINEAL
NOMBRE:__________________________________________ GRUPO:___________
Instrucciones:
Contesta clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento. Escribe el
resultado con tinta. No se permite el uso de formulario ni calculadora. Valor de cada uno
de los problemas 2 puntos.
1. La suma de las tres cifras de un número es 6. Si el número se divide por la suma de la cifra
de las centenas y la cifra de las decenas, el cociente es 41, y si al número se le añade 198,
las cifras se invierten. Encontrar el número.
a) Plantea el sistema de ecuaciones
b) Escribe el sistema en forma matricial
c) Encuentra la solución utilizando la inversa de la matriz.
2. Determina los valores de a, b y c de manera que el sistema.
2 x1  x 2  3x3  a
3x1  x 2  5 x3  b
 5 x1  5 x 2  21x3  c
a) Tenga solución única
b) Tenga un conjunto infinito de soluciones
c) No tenga solución
3. ¿Para qué valores del parámetro k la matriz A es no singular?
1 
 k  3 1

A 
5 k3 1 


6 k  4 
 6
4. Demuestra que en general no se cumple que |A+B|=|A|+|B| g
5. Encuentra el determinante de la matriz B
4
 2 1 0

 3 1 1 2
B  1 2  2 5

4 1
0 0
3 2
1 1

Prof. Judith Margarita Tirado Lule
1

0
5

6
1 
Segundo Examen Departamental de Algebra Lineal
T1 (otoño 2023)
Nombre ___________________________________________________
Número de Estudiante _______________ Fecha _________________
TEMA A EVALUAR: SUBESPACIOS VECTORIALES. VALOR: 2.5 PTS.
Determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio de V
V = R3 ;
x
H = {(y) : x + 2y − z = 0}
z
TEMA A EVALUAR: INDEPENDENCIA LINEAL. ESPACIO GENERADO. BASES Y DIMENSIÓN.
2
−3
1
En R3 : {(1) , (3) , ( 2 ) }
1
3
3
a)
Determine si el conjunto de vectores es linealmente independiente o linealmente dependiente (use sólo
definición). (valor: 1.5 pts)
b) Determine si el conjunto de vectores genera el espacio vectorial dado (use sólo definición). (valor: 1.5pts)
c)
Con los resultados obtenidos en los incisos a) y b) determine si el conjunto de vectores es una base para el
espacio a que se refiere. Justifique su respuesta. (valor: 1.0 pts)
d) En caso de que el conjunto de vectores sea una base ¿Cuánto vale la dimensión del espacio a que se refiere?
Justifique su respuesta. (valor: 0.5pts)
TEMA A EVALUAR: CAMBIOS DE BASE. VALOR: 3.0 PT.
𝑥
Escriba (𝑦) 𝜖 𝑅3 en términos de la base dada:
𝑧
1
0
1
{(0) , (0) , (1) }
0
1
1
1
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO
SEGUNDO EXAMEN DEPARTAMENTAL DE ALGEBRA LINEAL
Nombre:_____________________________________________
Fecha:
Instrucciones:
Contesta clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento. Escribe el
resultado con tinta. No se permite el uso de formulario ni calculadora. Valor de cada
uno de los problemas 2.5 puntos
PROBLEMA 1 a) Encuentra una base ortonormal para el espacio solución del sistema
de ecuaciones lineales homogéneo. b) Encuentra la nulidad y el rango de la matriz de
coeficientes:
x1 + x 2 + 2 x 4 = 0
- 2 x1 - 2 x 2 + x3 - 5 x 4 = 0
x1 + x 2 - x3 + 3 x 4 = 0
4 x1 + 4 x 2 - x3 + 9 x 4 = 0
PROBLEMA 2
Si los vectores {v1 , v2 , v3 , v4 } pertenecen a R 3 , donde v1 = (1,-1,1) ,
v 2 = (- 2,3,-1) , v3 = ( -3,5, -1) , v4 = (1, 2, -4 ) , construye una base ortonormal de R 3 a
partir de ellos..
PROBLEMA 3 Sean S = {v1 , v2 , v3 } y T = {w1 , w2 , w3 } dos bases del espacio vectorial
R3, donde w1 = (0, 1, 1), w2 = (1, 0, 0) y w3 = (1, 1, 0). Si la matriz de cambio de la base
T a la base S esta dada por:
æ
ç 0
ç
1
PT ® S = ç
ç 2
ç 1
çè 2
ö
1 0÷
÷
1
0÷
÷ Cuáles son los vectores de la base S
2
÷
1
1÷
2
ø
PROBLEMA 4 Considera las siguientes bases del espacio vectorial R 3 ,
B = {(0,-2,3), (0,1,1), (1,1,0)} y C = {(0,-1,1), (0,3,0), (1,-1,1)}. Sean [u ]c = (2,1,3) y
[v]B = (-1,4,1) , dos vectores escritos en términos de las bases B y C respectivamente.
a) Determinar la matriz de transición de la base C a la base B.
b) Determinar la matriz de transición de la base B a la base C.
c) Encuentra [u ]B .
d) Encuentra [v ]C .
ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO
SEGUNDO EXAMEN DE ALGEBRA LINEAL
Nombre: _______________________________________________________ 2CV2
Instrucciones:
Contesta clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento. Escribe el resultado
con tinta. No se permite el uso de formulario. Valor de cada uno de los problemas 2 puntos
PROBLEMA 1
1.- Si V1 y V2 son subespacios de  n , demuestra que V1∩V2 es un subespacio vectorial de  n
PROBLEMA 2
Considera el siguiente sistema homogéneo:
x1  x 2  2 x 4  0
 2 x1  2 x 2  x3  5 x 4  0
x1  x 2  x3  3x 4  0
4 x1  4 x 2  x3  9 x 4  0
a) Encuentra una base ortonormal para el espacio solución del sistema de ecuaciones lineales
homogéneo.
b) Encuentra la nulidad y el rango de la matriz de coeficientes:
PROBLEMA 3
Si los vectores
v1, v2 , v3 , v4 pertenecen a 3 , donde v1  1,1,1 , v2   2,3,1 ,
v3   3,5, 1 , v4  1, 2, 4 , construye una base ortonormal de 3 a partir de ellos.
PROBLEMA 4
Sean S = v1 , v2 , v3 y T = w1 , w2 , w3 dos bases del espacio vectorial 3 , donde w1 = (5,3,0),
w2 = (9,5,3) y w3 = (3,1,3). Si la matriz de cambio de la base T a la base S está dada por:
1 2 0


PT S   1 0 0 
0 1 1


¿Cuáles son los vectores de la base S?
PROBLEMA 5
Considera las siguientes bases del espacio vectorial 3 , B  0,2,3, 0,1,1, 1,1,0 y
 2
  1
 
C  0,1,1, 0,3,0, 1,1,1. Sean u c   1  y v   4  , dos vectores escritos en términos de
B
 3
1
 
 
las bases B y C respectivamente.
a) Determinar la matriz de transición de la base C a la base B.
b) Determinar la matriz de transición de la base B a la base C.
Utilizando cambio de base, encuentra
c) u B .
d)
vC .
e) ¿Quiénes son u y v?
Tercer Examen Departamental de Algebra Lineal
T2 (otoño 2023)
Nombre ___________________________________________________
Número de Boleta _______________ Fecha _________________
TEMA A EVALUAR: TRANSFORMACIONES LINEALES. VALOR: 3.0 PTS.
Determine si la transformación dada de 𝑅3 → 𝑅2 es lineal.
𝑥
2𝑥 + 𝑦
𝑇: 𝑅3 → 𝑅2 ; 𝑇 (𝑦) = (
)
3𝑦 − 4𝑧
𝑧
TEMA A EVALUAR: PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT. VALOR: 5.0 PTS.
1
0
0
Construya una base ortonormal en 𝑅3 comenzando con la base {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } = {(1) , (1) , (0)}.
1
1
1
TEMA A EVALUAR: NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. VALOR: 2.0 PTS.
Encuentre el núcleo, imagen, rango y nulidad de la transformación lineal dada. Una vez que determine el rango y la
nulidad, justifique su respuesta con palabras sobre sus resultados.
𝑥
𝑇: 𝑅2 → 𝑅 ; 𝑇 (𝑦) = 𝑥 + 𝑦
1
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO
TERCER EXAMEN DEPARTAMENTAL DE ALGEBRA LINEAL
Nombre:_____________________________________________
Fecha:
Instrucciones:
Contesta clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento. Escribe el
resultado con tinta. No se permite el uso de formulario.
1. Encuentra la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz
- 2 0 3 


A =  0 1 0  y verifica que Q -1 AQ = D , donde D es una matriz diagonal
 3 0 - 2


cuyas componentes diagonales son los valores propios de A
Para la matriz A anterior utiliza la diagonalización para calcular A4
Valor 4 Puntos
2. Considera la siguiente transformación lineal T : P3 → M 22 definida como:
 a + c + 2d
T : (a + bx + cx 2 + dx 3 ) = 
 2a + b + c + 3d
2a + b + c + 4d 

a + b + 2d 
a) Es un isomorfismo o no, demuestre.
b) Encontrar la representación matricial de la transformación, respecto a las base
canonícas de P3 y de M22.
Valor 3 Puntos
3.- Considere la siguiente transformación lineal T : P1 → P2 definida como:
T ( p( x)) = x. p( x) + p(0)
a) Determine el kernel y la imagen de la transformación, y mencione que dimensión tiene
cada uno de ellos; así como si es isomorfismo o no.
b) Encuentre la representación matricial de la transformación respecto a las siguientes




bases: B1 = x + 1, x − 1 y 2
.
c) Verificar la relación [T (u)]B2 = MT [u]B1 para el vector u=3x-2
B = x 2 + 1, x − 1, x + 1
Valor 3 Puntos
Álgebra lineal, Examen extraordinario
Nombre
Instrucciones: Lea cuidadosamente cada problema. Conteste según se
indique de manera clara, ordenada y mostrando el procedimiento.
1. Usando el método de Gauss-Jordan calcule la inversa de la matriz


−1/2 −1 1/2
2/3 1/6
A =  1/6
−1/6 −2/3 5/6
2. Considere el siguiente sistema de ecuaciones
−4x + y = b1
−3x + 2y + z = b2
3x − y + z = b3
(a) Escriba el sistema en su representación matricial.
(b) Encuentra las soluciones (x, y, z) del sistema cuando (b1 , b2 , b3 ) =
(2, 6, 12).
Nota: Puede hacerlo por cualquier método: Gauss-Jordan, Regla de
Cramer o a través de la inversa de la matriz de coeficientes. También
puede dar por hecho el problema 1.
3. Sea V = R3 y W el subconjunto de V dado por
 

 x

W = y  ∈ R3 | x + 3y − z = 0


z
.
(a) Demuestre que W es un subespacio vectorial de V .
(b) Encuentre una base ortonormal para W .
4. Considere la matriz

−6
A= 0
−2
0
−4
0

−2
0
−6
(a) Determine el polinomio caracterı́stico de A.
(b) Encuentre los valores y vectores propios de A.
(c) Calcule el espacio caracterı́stico asociado a cada valor propio λ de A.
(d) Diagonalice la matriz A, encontrando una matriz Q y una matriz
diagonal D tal que D = Qt AQ
(e) Calcule A6
 


x
x+y


y
 

5. Sea T : R4 → R3 la transformación lineal dada por T 
 z  = 2x − z .
y−w
w
       
     
1
1
1
1
1
1
1
0 1  1   1 
 ,   ,   ,  } y B2 = {0 , 1 ,  1 }
Sean B1 = {
0 0 −1 −1
0
0
−1
0
0
0
1
bases de R4 y R3 , respectivamente.
(a) Encuentre la matriz asociada a T respecto a las bases dadas.
 
0
2
4

(b) Sea v ∈ R tal que (v)B1 = 
 1 , encuentre (T v)B2 .
−1
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Cómputo
Álgebra Lineal
Profesora. Flores Meraz Yesica Sonia
Nombre:
Extraordinario
Extraordinario
1. Considerar el sistema de ecuaciones
x+y+z = 0
2x + λy + z = 2
x + y + λz = λ − 1
• Determinar el valor de λ para que el sistema sea incompatible.
• Resolver el sistema para λ = 1.
2 −1
1 1
2 0
2. En M2×2 , escriba la matriz
en términos de la base
,
,
4 6
−1 0
3 1
0 1
0 −2
,
−1 0
0 4
2
1
2
2
3. En R , sea (x)B1 =
, donde B1 =
,
. Escriba x en términos
1
3
−1 0
5
de la base B2 =
,
.
3
−1
a
b
4. Determinar una condición sobre los números a y b tales que
,
y
b
−a
a
−b
,
formen una base ortonormal en R2 .
b
a
5. Determinar si T es una transformación lineal, en caso afirmativo, obtener su
representación matricial, la imagen y el núcleo de la transformación.
 
x
2x + y + z


T y =
y − 3z
z
(1)
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Cómputo
Álgebra Lineal
Profesora. Flores Meraz Yesica Sonia
Nombre:
Segundo parcial parcial
Espacios Vectoriales
1. Sea V = {(x, y, z) ∈ ℜ3 |ax + by + cz = 0}. Determinar si el conjunto V es un
subespacio de ℜ3 , la operación suma y multiplicación por un escalar es la usual
en ℜ3 .
2. ¿El conjunto {(1, 2, 3), (−1, 2, 3), (5, 2, 3)} es un conjunto generador de ℜ3 ? Justificar su respuesta. En caso de que su respuesta sea no, podrı́a dar un conjunto
generador de ℜ3 .
3. Encontrar una base para el espacio de solución del siguiente sistema homogéneo.
2x + 3y − 4z = 0
x−y+z =0
2x + 8y − 10z = 0
(1)
(2)
(3)
4. Determinar el rango y nulidad de la matriz A.


0 4 2 0
A = 0 0 1 6
1 0 −1 2
(4)
5. Expresar el polinomio 2x3 − 3x2 + 5x − 6 en términos de la base B2 = {1, 1 +
x, x + x2 , x2 + x3 }.
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Cómputo
Álgebra Lineal
Profesora. Flores Meraz Yesica Sonia
Nombre:
Tercer parcial
Bases ortonormales y Transformaciones lineales
1. Construir una base ortonormal para el conjunto {(x, y, z)|3x − 2y + 6z = 0}.
2. Mostrar que la siguiente matriz es ortogonal, considerar que λ es cualquier real.
A=
sen(λ) cos(λ)
cos(λ) −sen(λ)
(1)
3. Obtener la proyH (⃗v ). Donde H = {(x, y, z, w)|x = y; w = 3y}, considerar que
⃗v = (−1, 2, 3, 1)
4. Determinar si T es una transformación lineal, en caso de que la respuesta sea
afirmativa, determinar el núcleo, imagen, rango y nulidad de la transformación
lineal.
T ((a, b)) = a + bx + (a + b)x2 + (a − b)x3
(2)
5. Repetir el ejercicio anterior, utilizando la representación matricial de la transfomación lineal, donde
T ((x, y, z, w)) = (ax + by, cz + dw)
(3)
ESCOM-IPN
Examen de Álgebra Lineal
Álgebra Lineal
Prof. Jesús Ortuño Araujo.
Grupo:
Nombre:
Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y
problemas.
1. (a) Simplificar la expresión
(A−1 B + B −1 A)(B −1 A + A−1 B)
(b) Comprobar el resultado para
A=
−5 −8
−2 −3
y
B=
9 −7
4 −3
2. Si B = C −1 AC, pruebe por inducción matemática que B n = C −1 An C, para n ∈ N.
3. Demuestre que no existen matrices A, B ∈ Mn×n tales que AB − BA = I.
x y
4. Demostrar que el conjunto de matrices S = B ∈ M2×2 (R) B =
que cony z
a b
fija, satisfacen la ecuación del plano
mutan con la matriz A =
b c
P = (x, y, z) ∈ R3 | bx + (c − a)y − bz = 0}
5. Decodificar el mensaje enviado vı́a la matriz

3 −1 4
1
8 
A= 2
−2 −2 −11

y las matrices columna ~b3×1


49
 96  ,
−133


85
 20  ,
2

109
 178 
−238

Evaluación

87
 173  ,
−238


−69
 −46  .
46

1

52
 140  ,
−200


6
 41 
−63

ESCOM-IPN
Examen de Álgebra Lineal
Álgebra Lineal
Prof. Jesús Ortuño Araujo.
Grupo:
Nombre:
Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y
problemas.
1. Determine (si es posible) las condiciones para a, b y c tales que el sistema de ecuaciones
lineales (a) no tenga solución, (b) tenga exactamente una solución y (c) tenga infinitas
soluciones.
2x + y + 3z = a
5x − 5y + 6z = b
4x − 3y + 5z = c
2. (a) Simplificar la expresión
(A−1 B −1 − B −1 A−1 )(AB + BA)
(b) Comprobar el resultado para
A=
5 −11
4 −9
B=
−6 −5
−7 −6
y
3. Utilice matrices elementales para encontar la inversa de




1 0 0
1 0 0
1 a 0
A =  0 1 0   b 1 0   0 1 0  , c 6= 0.
0 0 c
0 0 1
0 0 1
4. Una matriz cuadrada A se denomina antisimétrica si AT = −A. Demostrar lo siguiente:
a) Si A es una matriz antisimétrica invertible, entonces A−1 es antisimétrica.
b) Si A y B son antisimétricas, entonces también lo son AT , A + B, A − B y kA para
cualquier escalar k.
c) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica
y una matriz antisimétrica.
Sugerencia Considerar la identidad A = 21 (A + AT ) + 12 (A − AT ).
Evaluación
1
ESCOM-IPN
Examen de Álgebra Lineal
5. Decodifique el mensaje enviado vı́a la matriz

3 −4 1
A =  −4 −1 −7 
6
1 10

y las matrices columna





−58
28
−82
 −174  ,
 115  ,
 24  ,
240
−159
−43






14
−102
−62
 114  .
 −38  ,
 −158  ,
−159
43
217

Evaluación
2

−44
 −42  ,
55


−104
 −26  ,
26

ESCOM-IPN
Examen de Álgebra Lineal
Álgebra Lineal
Prof. Jesús Ortuño Araujo.
Nombre:
Grupo:
Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y
problemas.
1. Obtener una base ortonormal a partir de la base β1 = {(1, 1, 0), (3, 1, −1), (2, 1, −1)}.
2. Para la transformación lineal

a
−
2b
+
4c
T a + bx + cx2 =  3a − b − 2c 
2a + 3b − c

y las bases β1 = {1 − 3x + x2 , 2 + x − x2 , 3 − 2x + 4x2 }, β2 = {(1, −1, 1), (3, 1, −2), (−2, 1, −3)}.
(a) Determine [T ]β1 β2 la matriz de la transformación lineal respecto a dichas bases.(b)
Compuebe el resultado con el vector r(x) = 4 − x + 5x2 . (c) ¿Es T un isomorfismo?
3. Para la siguiente transformación lineal

 

5x1 + 2x2 − x3
x1
T  x2  =  2x1 + x2 + x3 
−x1 − x2 − 4x3
x3
Calcular Im(T ), Ker(T ) ası́ como sus respectivas bases y dimensiones ρ(T ) y ν(T ).
4. Hallar una matriz P que diagonalice a la matriz

5 −2 0
A =  −8 −1 0  .
4 −3 −2

5. Hallar una matriz P que diagonalice ortogonalmente a la matriz


1 2 2
A =  2 1 2 .
2 2 1
Evaluación
1
ESCOM-IPN
Examen de Álgebra Lineal
Álgebra Lineal
Prof. Jesús Ortuño Araujo.
Nombre:
Grupo:
Calif:
Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y
problemas.
1. Obtener una base ortonormal a partir de la base β1 = {(1, 0, −1), (3, 1, −2), (1, −1, 2)}.
2. Para la transformación lineal

2a
−
b
+
3c
T a + bx + cx2 =  a − 5b + c 
3a − b − 4c

y las bases β1 = {1 − x2 , 2 + 3x − x2 , 1 + x + x2 }, β2 = {(2, −1, 1), (1, −3, −1), (1, 1, −2)}.
(a) Determine [T ]β1 β2 la matriz de la transformación lineal respecto a dichas bases.(b)
Compuebe el resultado con el vector r(x) = −1 + 5x − 2x2 . (c) ¿Es T un isomorfismo?
3. Para la siguiente transformación lineal

 

2x1 + x2 + 3x3
x1
T  x2  =  x1 + x2 − 2x3 
−4x1 − 3x2 + x3
x3
Calcular Im(T ), Ker(T ) ası́ como sus respectivas bases y dimensiones ρ(T ) y ν(T ).
4. Hallar una matriz P que diagonalice a la matriz

2 −3 0
0 .
A =  −4 1
5 −2 −5

5. Hallar una matriz P que diagonalice ortogonalmente a la matriz


2 3 0
A =  3 2 4 .
0 4 2
Evaluación
1
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Cómputo
Álgebra Lineal
Profesora. Flores Meraz Yesica Sonia
Nombre:
Primer parcial
Sistemas de ecuaciones lineales
1. La altura de un objeto, en un instante t, que se mueve en lı́nea recta (vertical),
con aceleración constante a, está dada por la ecuación de posición s = 12 at2 +
v0 t + s0 . La altura s está medida en f t, la aceleración a en f t/s2 , t en s, v0 es
la velocidad inicial en t = 0 y s0 es la altura inicial. Determine los valores a, v0
y s0 , si s = 52 en t = 1, s = 52 en t = 2 y s = 20 en t = 3. Resolver el sistema
ocupando Gauss-Jordan.
2. El sistema de ecuaciones obtenido en la pregunta anterior, tiene una forma
matricial AX = B, donde A es una matriz 3 × 3. Escribir A−1 y A como un
producto de matrices elementales.
3. Sea


λ−1
1
−1
λ−2 1 
A= 0
λ
0
2
(1)
• Determinar los valores de λ para los que A es invertible.
• Considerando λ como el número de letras de tu primer nombre. Obtener
adj(A) y A−1 .
4. Sea C la matriz inversa de B. Mostrar que C es única.
5. En un cajero automático se introducen billetes de 10, 20 y 50 dólares. El
número total de billetes es 130 y el total de dinero es 3000 dólares. Se sabe que
el número de billetes de 10 dólares es k veces los billetes de 50 dólares.
• Calcula el número de billetes de cada tipo, suponiendo que k = 2.
• Para k = 3, ¿qué ocurre con la situación del cajero planteada?
ESCUELA SUPERIOR DE COMPUTO - I P N
3er Examen Departamental de Álgebra Lineal
11 de enero de 2024
Alumno:
........................................................................
Calificación:.........
Instrucciones:
Lea detenidamente todos los problemas y resuelva, justificando adecuadamente.
No se permiten calculadoras, notas o libros; el uso de celulares esta estrictamente prohibido.
Una vez iniciado el examen no puede salir del salón antes de entregar el examen.
Problemas
1. Determine si el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales,
junto con las operaciones dadas, es un espacio vectorial. Si no lo es, enumere las propiedades que no se cumplen.
(x1 , y1 , z1 ) ⊕ (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
c
(x, y, z) = (x, 1, z)

1
 1

2. Determine una base para el espacio solución de Ax = 0, donde 
2
1
0
2
1
1
1
3
3
2
3. Sean S = (1, 2), (0, 1) y T = (1, 1), (2, 3) bases para R2 . Sean v = (1, 5) y
w = (5, 4).
a) Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la
base T.
b) Cul es la matriz de transición PS←T de la base T a la base S?
c) Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a S
utilizando PS←T .
4. Determine una matriz diagonal semejante a la matriz dada.


0 −2 1
 1 3 −1 
0 0
1
5. Sea L : R2 → R3 definida como L(x, y) = (x, x + y, y)
a) Determine el núcleo (L).
b) L es uno a uno?
c) L es sobre?
1

0
1 

1 
1
ESCUELA SUPERIOR DE COMPUTO - I P N
2do Examen de Algebra Lineal
Alumno:
Calificación:
Instrucciones:
Lea detenidamente todos los problemas y resuelvalos justificando adecuadamente.
No se permite el uso de calculadoras, notas o libros; el uso de celulares
esta estrictamente prohibido.
Problemas
1. Demuestre el determinante de Vandermonde:
a2 a 1
b2 b 1 = (b − a)(c − a)(b − c)
c2 c 1
2. De ser posible encuentre la solución del sistema lineal mediante la matriz
inversa usando la adjunta de la matriz de coeficientes
3x − 3y + 3z = 9
2x − y + 4z = 7
3x − 5y − z = 7
3. Determine el rango de la matriz A


1
2
2
4
A =  −1 −1 −4 −2 
3
4
11
8
4. Proporcione una base para el espacio generado por: f (x) = 2x + 3, g(x) =
x − 1 y H(x) = −x − 4.
5. Exprese al vector u(x) = 31 x − 1 en la base obtenida en el problema
anterior, en la base canonica y obtenga la matriz cambio de base.
Álgebra Lineal
PP 1
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
A17
A18
A19
A20
A21
A22
A23
A24
A25
A26
A27
A28
A29
A30
A31
A32
A33
A34
A35
A36
A37
A38
A39
ABAD ROSARIO RUBI ESMERALDA
ANGELES LIBRADO MONCERRAT
CABRERA MARTINEZ JIMENA
CRUZ ALVAREZ GERALDINE
DIAZ HERRERA MARIA FERNANDA
FLORES FUENTES ITZEL
FLORES VAZQUEZ YIYETZI FABIOLA
GARCES VALENCIA BRISA ISABEL
GARCIA ABREU JESUS
GOMEZ VAZQUEZ FRIDA VICTORIA
GUZMAN MARTINEZ PAOLA
HERNANDEZ GONZALEZ MARCO ANTONIO
HINOSTROZA LOERA LEONARDO
LICEAGA CARDOSO ANGEL DAVID
LOPEZ MENDEZ EMILIANO
LOPEZ SANCHEZ SEBASTIAN
LUGO ACOSTA PAULINA
MERIDA SANDOVAL ALANA DANIELA
MERLIN MATEOS DIEGO EDUARDO
MOLINA MONTAÑO FIDEL URIEL
MONRROY PEREZ JESUS ALEJANDRO
MONTEROS LOPEZ JOSE MANUEL
NERI RODRIGUEZ YATZIRI ALESSANDRA
NOVELO CHAPARRO REGINA
PALMA PACHECO ALAN DANIEL
PEREZ HURTADO LUIS ROGELIO
RAMIREZ GALINDO EVELYN IRAIS
RAMIREZ REYES KEYLA AZUCENA
RAMIREZ VERDE ENRIQUE
RENTERIA ARROYO SERGIO IVAN
RIOS GONZALEZ FERNANDA IVONNE
ROJAS RAMIREZ JESUS ABRAHAM
ROMERO ESTRADA DANIEL
SANDOVAL ALVAREZ GABRIEL LEVI
SOLIS LUNA LUIS CARLOS
TORRES BRAVO DIEGO
MORA HERNÁNDEZ JESSICA AILYN
ZAVALA CAMARENA JESÚS ALDAIR
JAIME VELASCO VÍCTOR HUGO
3
1
5
#
1
1
9
1
1
1
Programa
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
7
1
7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
E1
8
6
8
8
7.5
4
8
8
8
7
8
6
7.5
3
8
6
6
8
2
7
7
6
8
7
8
3
7.5
7
6
6
8
7
8
5
7
5
6
2
C. F. 1
9
7
10
9
8.5
5
9
9
9
9
10
7
8.5
5
9
7
7
10
3
8
6
7
10
8
9
4
9.5
8
7
7
9
8
9
0
6
8
5
7
2
Álgebra lineal, 1er. Examen Parcial
Nombre
1. En los siguientes enunciados escriba F si el enunciado es falso y V si es
verdadero.
(a) En un sistema de ecuaciones lineales, si el determinante de la matriz
de coeficientes es cero, quiere decir que el sistema tiene solución única.
(b) La operación de multiplicar un renglón por un número diferente de
cero no es una operación elemental.
(c) El producto de dos matrices invertibles da como resultado una matriz
invertible.
(d) A un sistema de ecuaciones lineales que no tiene solución se le llama
sistema inconsistente.
(e) Un sistema homogéneo puede no tener ninguna solución.
(f) Si en un sistema lineal homogéneo hay más incógnitas que ecuaciones,
el sistema tiene un número infinito de soluciones.
(g) Toda matriz cuadrada se puede escribir como suma de una matriz
simétrica y una antisimétrica.
(h) El producto punto es asociativo.
2. Usando el método de Gauss-Jordan calcule la inversa de la matriz


0
13
−4
A = −1/3 −11/3 1 
1/3
2/3
0
3. Considere el siguiente sistema de ecuaciones
1
1
− y + z = b1
3
3
11
2
13x − y + z = b2
3
3
−4x + y = b3
Encuentre todas las soluciones para
(a) (b1 , b2 , b3 ) = (3, −3, 3)
(b) (b1 , b2 , b3 ) = (0, −3, 1)
(c) (b1 , b2 , b3 ) = (0, 0, 0)
Puede hacerlo por cualquier método: Gauss-Jordan, Regla de Cramer
o a través de la inversa de la matriz de coeficientes. También puede
dar por hecho el problema 1.
4. Sea A = E1 E2 E3 E4 , la matriz de tamaño 3 × 3 donde E1 = 1/2R2 ,
E2 = R2 − 4R1, E3 = P13 y E4 = R1 + 2R2 . Determine A−1 como
producto de matrices elementales.
5. Determinar para qué valores de k el sistema tiene solución
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
6. Sean A y B las siguientes matrices. Calcule AB y escriba cada una de las
columnas de AB como combinación lineal de las columnas de A.


1 6
7 1 4
A=
y B =  0 4
2 −3 5
−2 3
Álgebra lineal, 2o Examen Parcial
Nombre
Grupo
Instrucciones: Lea cuidadosamente cada problema. Conteste según se
indique de manera clara, ordenada y mostrando el procedimiento. Queda
prohibido el uso de información impresa, fotocopiada o manuscrita, ası́ como
también el uso de calculadora graficadora o celular.
1. Sea V = R3 . Determine si el subconjunto dado es un subespacio vectorial. De serlo, encuentre una base para dicho subespacio y determine su
dimensión.
 

 x

(a) W1 = y  ∈ R3 | x + 2y − z = 0


z
 

 x

(b) W2 = y  ∈ R3 | x = 1 − 3t, y = 2 − 4t, z = 5t


z
2. Determine si el conjunto de matrices genera el espacio vectorial V =
M22 (R):
1
0
0
1
,
1
0
0
0
,
−1
1
−1
0
,
0
1
1/2
0
,
0
2
1
0
(a) Explique si el conjunto anterior forma una base para M22 (R). Si su
respuesta es no, indique cuáles de ellos constituyen una base para V .
1
1
1
1
−2
1
3. Sean B1 =
,
, B2 =
,
y B3 =
,
.
−1
1
1
0
1
2
Demuestre lo siguiente.
(a) B1 , B2 y B3 forman bases para R2 . Justifique su respuesta.
(b) Encuentre las matrices A, B, C y D de cambio de base de B1 a B2 ,
de B2 a B3 , de B1 a B3 y de B3 a B1 .
6
(c) Sea x ∈ R2 tal que (x)B2 =
. Determine (x)B1 y (x)B3
−4
4. Sea A la matriz:

−15 3
 1
−1
A=
 −5
1
−11 3

−15
5 

−5 
−15
(a) Determine el subespacio imagen de A: Im(A).
(b) Determine el subespacio nulo de A: NA .
(c) Determine la nulidad ν(A) y el rango ρ(A) de la matriz A.
 
3
(d) ¿El vector 0 pertenece al espacio nulo NA de A? (Justifique su
5
respuesta)
 
−6
1

(e) ¿El vector 
 0  pertenece a la Im(A) ? (Justifique su respuesta)
−1

1 −2 4
−2 1
0
5. Sea A = 
−1 2 −4
3
0
1
son verdaderos o falsos.

3
6
. Determine si los siguientes enunciados
−3
10
(a) Los vectores columna son linealmente independientes.
(b) Los vectores filas generan a R4 .
(c) La dimensión del espacio generado por los vectores columna es menor
que 4.
(d) A puede ser una matriz de cambio de base.
(e) El espacio nulo de A es el espacio trivial {0}.
Álgebra lineal, 3er Examen Parcial
Nombre
Grupo
Instrucciones: Lea cuidadosamente cada problema. Conteste según se
indique de manera clara, ordenada y mostrando el procedimiento.
1. Considere la matriz

−3
A= 0
−1

0 −1
−2 0 
0 −3
(a) Determine el polinomio caracterı́stico de A.
(b) Encuentro los valores y vectores propios de A.
(c) Calcule el espacio caracterı́stico asociado a cada valor propio λ de A.
(d) Diagonalice la matriz A, encontrando una matriz Q y una matriz
diagonal D tal que D = Qt AQ
(e) Calcule A5
2. Determine si las siguientes transformaciones son lineales
 
x
x
3
2


(a) T : R → R ; T y =
y+z
z
x
2
(b) T : R → R; T
= xy
y
 


x
x+y


y 

3. Sea T : R4 → R3 la transformación lineal dada por T 
 z  = 2x − z .
y−w
w
       
     
1
1
1
1
1
1
1
0 1  1   1 
 ,   ,   ,  } y B2 = {0 , 1 ,  1 }
Sean B1 = {
0 0 −1 −1
0
0
−1
0
0
0
1
bases de R4 y R3 , respectivamente.
(a) Encuentre la matriz asociada a T respecto a las bases dadas.


0
2

(b) Sea v ∈ R4 tal que (v)B1 = 
 1 , encuentre (T v)B2 .
−1
Primer examen parcial de Álgebra lineal.
5 de octubre de 2023
Profesora: Leticia Cañedo Suárez.
Nombre del estudiante:________________________________________
Instrucciones: Resuelva clara, limpia y ordenadamente todos los problemas, cada uno tiene un
valor de 2.5 puntos. Resuelve en orden, escribe el resultado con pluma y subráyalo con rojo o con
marca texto.
1._ Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss-Jordan.
x+y+z=7
2x+3y+z=18
-x+y-3z=1
2._ Utiliza la matriz inversa para resolver el siguiente problema._ Si M    3
 -1

 2 - 1 Encuentra la matriz Y

N  
- 2 - 3 
5 ,
 8
 K  
2 
 0
tal que NYM  K  O2 donde O2 es la matriz nula de
dimensión 2x2.
3._ Sean las matrices no cuadradas A=(aij), B=(bij), C=(cij) y D=(dij) tales que D=A(B+C):
a) ¿Escribe las dimensiones de las matrices A, B, C y D?
b) Escribe usando sumatorias el elemento dst de la matriz D y
c) Las condiciones necesarias para s y t.
4._ Utiliza únicamente las propiedades (indicando cada propiedad utilizada) para resolver el
siguiente problema.
Si
a
d
g
b
e
h
c
f
i
2a  6b
2c
3e  f
g  3h
i
  Cuánto vale el determinante  d
16  ,

24 
Examen 2 de Álgebra lineal: ESPACIOS VECTORIALES
Profesora Leticia Cañedo Suárez.
29 de noviembre de 2023
Nombre del alumno: ___________________
Importante: No olvides escribir clara, limpia y ordenadamente. No omitas ningún razonamiento.
Resuelve todos los problemas y subraya con color o marca texto el resultado.
1._ Sea S  v1 , v 2 ,, v n  ¿Es gen(S ) un s.e.v? Demuestra o presenta un contraejemplo según
sea el caso. (Valor: 1punto)
x  3y  z  0
2._ Para el sistema de ecuaciones  2 x  2 y  3 z  0
4 x  8 y  5z  0
a) Determina una base para el espacio nulo. (Valor: 2 punto)
b) ¿Qué es, geométricamente, el espacio nulo? (Valor: 1punto)
c) Encuentra el rango y la nulidad. (Valor: 1punto)
3._ Sean S  (2,0,1), (1,2,0), (1,1,1) y T  (6,3,3), (4,1,3), (5,5,2) dos bases para  3 .
a) Encuentra la matriz de transición de la base T a la base S . (Valor: 1punto)
b) Encuentra el vector de coordenadas de v  (4,9,5) respecto a S utilizando la matriz de
transición. (Valor: 2 punto)
4._ Sean A y B dos conjuntos de vectores en el espacio vectorial V, tales que A  B . Escribe F
para falso, V para verdadero y N para no necesariamente, según corresponda.
(Valor: 0.5 punto c/u)
a) El gen(A) y el gen (B) son e.v de dimensión igual a la dimensión de V.
b) Si los vectores en A son l.i, entonces los vectores de B también son l.i
c)
Si los vectores en A son l.d no hay manera de que los vectores de B sean l.i
d) Todo vector en V se escribe como una c.l única de los vectores de A.
Tercer examen parcial de Álgebra lineal.
15 de enero de 2024
Profesora: Leticia Cañedo Suárez.
Nombre del estudiante: ________________________________________
Instrucciones: Resuelve clara, limpia y ordenadamente todos los problemas. Resuelve en orden,
escribe el resultado con pluma y subráyalo con rojo o con marca texto.
1._ Diagonaliza ortogonalmente la matriz
 1 1 1 


A   1 2 4
 1 4 2


2._ Sea 𝐿: ℝ3 → ℝ3 tal que
 x  1 0 1  x 
  
 
L y   1 1 2  y 
 z   2 1 3  z 
  
 
Encuentra:
a) El ker(L), una base para el kernel y la dimensión del kernel.
b) La Im(L), una base y la dimensión de la imagen.
3._ Sea 𝐿: ℝ3 → ℝ2 tal que 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧), encuentra la matriz que representa a la t.l
respecto a las bases 𝑆 = {(1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)} y 𝑇 = {(1, 2), (−1,1)}.
ESCUELA SUPERIOR DE COMPUTO - I P N
1er Examen Departamental de Álgebra Lineal
12 de octubre de 2023
Alumno:
........................................................................
Calificación:.........
Instrucciones:
Lea detenidamente todos los problemas y resuelva, justificando adecuadamente.
No se permiten calculadoras, notas o libros; el uso de celulares esta estrictamente prohibido.
Una vez iniciado el examen no puede salir del salón antes de entregar el examen.
Problemas
1. Utilice el método de Gauss-Jordan para resolver (si es posible) el siguiente
sistema lineal
3x − 3y + 3z = 9
2x − y + 4z = 7
3x − 5y − z = 7
2. Escriba al AZAR, una matriz de 3X3. Encuentre su forma escalonada
reducida por renglones. La forma escalonada reducida es probablemente
la matriz identidad I3 !!! Explique esto.
3. Dado el sistema lineal
x + 2y = 3
3x + 4y = 1
a) Escriba el sistema lineal en forma matricial.
b) Encuentre la inversa de la matriz de coeficientes (G-J) y resuelva el
sistema lineal.
4. Utilizando la definición formal, encuentre el determinante de la TRANSPUESTA de la matriz de coeficientes dada en el problema 1.
5. Sea A una matriz de nXn y c un número real distinto de cero, verifique
lo siguiente.
a) Si una matriz B se obtiene de la matriz A multiplicando los elementos
de un renglón por c, entonces |B| = c|A|.
b) Si una matriz B se obtiene de la matriz A intercambiando dos renglones entonces, |B| = −|A|.
c) Si una matriz B se obtiene de la matriz A sumando c veces un renglón
a otro entones, |B| = |A|.
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