b
b 4ac
2a
og
2
a
a
Regneregler
Definisjoner
Potensregning
2
2
| x|
a 2 b2
a·b
a2
1
am
an
am
a ·a
m
a
n
a
a· b
a m·n
am n
n
n
a
b
a
b
m
a
b
bn
an
n
a ·b
a
n
n
a
n
n
(a·b)
m
an
1
an
n
a
r2
1
b 4ac
2a
a0 1
m n
2
2ab b 2
2ab b
( x a)2 ( y b)2
a
b
2
a( x x1)( x x2 )
x2
x når x 0
x når x 0
(a b)(a b)
( a b)
( a b)
2
Sirkel med radius r og sentrum i punktet (a, b)
Sirkellikning
Absoluttverdi
Kvadratsetningene
Faktorisering av andregradsuttrykk: ax2 bx c
x1
2
ax2 bx c 0 hvis b2 4ac 0 er løsningene
Andregradslikning
Formelsamling i matematikk
n
a
n m
4
lim
v
Hvis f ( x)
f ( x Δx)
Δx
f (a
Δy
y
Ex
Δx
når
x
0:
f (a)
u v
u
f ( x) eu ( x)·u ( x)
f ( x) e
f ( x) e x
u ( x)
f ( x) ln a·a x
x
f ( x) e
f ( x) a x
x er liten
x er liten
x
f ( x)
f ( x)
f (a) x når
f ( x0 )( x x0 )
v
( f ( x) 0 )
1
x
ln x
(ln u( x))
Derivasjon
Kjerneregel
1
·u ( x)
u ( x)
p·ln x
ln x p
ln(e x )
x eln x
y ln x
ey x
Den naturlige logaritmen til x er den eksponenten vi må opphøye e i for å få x.
x
ln
ln x ln y
Regneregler
ln( x y) ln x ln y
y
Definisjon av den naturlige logaritmen, ln x , til x 0 :
Logaritmefunksjoner
Kjerneregel
Grunntall e 2,71828
Grunntall a
x)
f ( x0 )
f ( x) mhp. x er Ex f ( x)
Eksponentialfunksjoner
Vi har
Elastisiteten Ex f ( x) til y
Elastisitet
Tilvekstformelen
y
f ( x)
u og v er funksjoner, k en konstant
for alle n
lim
Δx 0
u
u ·v u·v
v
v2
g u ( x) så er f ( x) g u( x) ·u ( x)
1
u ·v u·v
u
u v
nx n
k ·u
u·v
Δy
Δx 0 Δx
k ·u
xn
f ( x)
Likningen for tangenten til grafen til f i punktet x0 , f ( x0 ) er gitt ved
Tangentlikning
Kjerneregelen
Generelle derivasjonsregler
Potensregelen
Definisjon
Derivasjon
5
i 1
ak
i 1
ak
3
K 0e
mn
S
a
1 k
kn 1
a
k 1
når renter beregnes kontinuerlig
når renter beregnes m ganger i perioden
når renter beregnes en gang i perioden
K 1 r
1 r
r
1
K
r
n
fast innskuddsbeløp
perioderente
antall perioder
K
n
r 1 r
1 r
1
n
K
r
n
fast betalt beløp
perioderente
antall perioder
K
K0
1 r
n
r 1 r
1
n
K
r
n
fast terminbeløp
perioderente
antall perioder
Annuitetslån. Fast terminbeløp ved utgangen av hver periode, første betaling en periode etter
låneopptak.
K 0 lånebeløp
K0
6
Nåverdi av annuitet. Fast betaling ved utgangen av hver periode, første betaling ved utgangen
av første periode.
K 0 nåverdi
An
n
Oppsparingsannuitet. Fast innskudd ved begynnelsen av hver periode. Verdi en periode etter
siste innskudd.
An sluttverdi
Nåverdi av beløpet K n etter n perioder med perioderente r
Kn
K0
n
1 r
Kn
Kn
rn
r
K0 1
m
n
K0 1 r
Kn
n 1
så vil Sn
ak
Sluttverdi av beløpet K 0 etter n perioder med perioderente r
Finansmatematikk
2
1 og n
a ak ak
Uendelig geometrisk rekke: Når k
Sn
n
Summen av de n første leddene i en geometrisk rekke er
Geometrisk rekke
F ( x) C
f ( x)dx
f ( x)dx
f ( x)dx
a
c
b
a
c
b
f ( x)dx
der F ( x)
f ( x)dx b· g ( x)dx
F (b) F (a)
f ( x)dx
f ( x)dx
[F ( x)]
b
a
0
, | x| 0
1
f ( x)
AC B2
AC B
2
AC B2
AC B
0:
0:
0 og
0 og
A 0:
A 0:
ingen avgjørelse
( x0 , y0 ) er sadelpunkt
( x0 , y0 ) er lokalt minimum
( x0 , y0 ) er lokalt maksimum
f yy ( x0 , y0 )
f y x, y
g y x, y
0
g ( x, y ) c
Regn ut funksjonsverdien f ( x, y) i alle løsningspunktene og sammenlikn verdier.
Ly x, y
Finn maksimum(minimum) for f ( x, y) når g ( x, y) c
1)
Lagrangefunksjonen: F ( x, y) f ( x, y) ( g ( x, y) c)
2)
Løs følgende likninger m.h.p. x, y og :
Lx x, y
f x x, y
g x x, y 0
Lagranges metode
Stigningstall til tangent til nivåkurve. Likningen F ( x, y) C definerer y implisitt som
funksjon av x.
Fx ( x, y )
dy
Hvis F ( x, y) C så er
(C er en konstant)
dx
Fy ( x, y )
Implisitt derivasjon
Hvis
2
Klassifisering av stasjonært punkt ( x0 , y0 ) :
Regn ut A f xx ( x0 , y0 ) B f xy ( x0 , y0 ) C
3)
f ( x)
f ( x, y) er en funksjon av de to variablene x og y. Definisjonsmengden til f ligger i planet
a
a
b
a
b
b
x n dx
n
der F ( x)
1 n 1
·x
C ,
n 1
1
x 1dx
dx ln | x | C
x
1 kx
ekx dx
e
C , k
k
(a· f ( x) b·g ( x))dx a·
f ( x)dx
R 2 , mens grafen er en flate i rommet R3 .
Punktet ( x0 , y0 ) er et stasjonært punkt for f dersom
f x ( x0 , y0 ) 0 og f y ( x0 , y0 ) 0
z
Funksjoner av flere variable
Bestemt integral
Regneregler
Ubestemt integral
Integralregning
7