Testeksamen 10. mai 2023
Lager –og produksjonsplanlegging, 2023
Vanskelighetsgrad
Andel oppgaver
j
40.0%
Jeg er fornøyd med å stå,
E eller D.
jj
40.0%
Jeg er fornøyd med å være
«midt på treet», dvs. C.
jjj
20.0%
Jeg tar sikte på en toppkarakter,
A eller B.
j+jj+jjj
Beskrivelse
100.0%
8 Karakterskala:
100% – 90% → A
80% – 89% → B
60% – 79% → C
50% – 59% → D
40% – 49% → E
0% – 39% → F (stryk)
 Tid 5t:
Tiden som står på hver deloppgave er kun forventet
tidforbruk. Det er altså kun et estimat, og kan variere fra
person til person. Det går helt fint å bruke litt mer eller litt
mindre tid enn dette estimatet.
Fusk:
Det er ikke lov å samarbeide med andre når man har
hjemmeksamen.
Coca Cola er verdens mest solgte leskedrikk, kanskje drikke som sådan.
Figur 1: Coca-Cola
Coca-Cola Europacific Partners Norge AS (CCEPN) har ansvar for produksjon, salg
og distribusjon av Coca-Cola-produkter i Norge. Hovedfabrikken ligger på Robsrud i
Lørenskog.
Figur 2: Coca-Cola fabrikken på Robsrud i Lørenskog.
I 2023 har fabrikken 550 ansatte og produserer over 166 millioner liter drikke hvert år.
Dette utgjør 83% av den totale produksjonen i Norge. Ca 34 millioner liter drikke er
outsourcet til eksterne aktører. Totalt produserer CCEPN over 200 millioner liter
drikke hvert år.
CCEPN har totalt 8 overordnede produktfamilier:
• Coca-Cola
• Fanta
• Sprite
• Urge
• Bonaqua (tappes av Telemark Kildevann)
• Powerade
Testeksamen 10. mai 2023
Side 2 av 19
• Chaqwa
• Fuzetea
Figur 3: Merkevarene hos CCEPN.
Bonaqua produseres eksternt av Telemark Kildevann, så i realiteten produseres det 7
produktfamilier ved fabrikken på Robsrud.
I tillegg til selve merkevarene, opereres det med underfamilier både mhp. smak, med
og uten kullsyre, med og uten sukker og størrelse og flasketype. Totalt produseres det
flere hundre forskjellige ferdigvarer.
Litt fakta om fabrikken:
• Det er 24 timers drift – 5 dager i uken
• I gjennomsnitt sendes 120 000 kasser daglig ut fra Robsrud.
• I gjennomsnitt sendes 3 000 paller daglig ut fra Robsrud.
• I gjennomsnitt passerer 150 containere/distribusjonsbiler gjennom Robsrud pr.
dag.
• Ferdiglageret på Robsrud rommer totalt 24 000 paller.
• Mer enn 90% av alt som sendes ut fra Robsrud er allerede solgt.
For tiden jobber CCEPN hovedsaklig med to prosjekter:
• Etableringen av et nytt varehus
• Masterplanleggingen av Urge 0.5 liter flaske.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 3 av 19
Oppgave1 Prognostisering
Vi skal hjelpe CCEPN med planleggingen av et nytt varehus. Varehuset skal tjene 3
crossdockingstasjoner. For å kunne vurdere hvor dette varehuset skal ligge, trenger vi å
kjenne den årlige etterspørselen etter brus ved disse dockingstasjonene.
10.0%
j
j j 15.0%
j j j 0%
8
25.0%
Â
1t 15’
Vi skal bruke årlige historiske data for å lage prognoser for de tre dockingstasjonene:
År
Dockingstasjon 1
Dockingstasjon 2
Dockingstasjon 3
2018
34
45
24
2019
28
38
18
2020
30
42
20
2021
32
38
22
2022
30
40
19
Alle tall er i antall millioner liter brus.
a) Bruk Random Walk for å lage en prognose for antall liter brus ved dockingstasjon 1 i
2023.
j
8
Â
2.5%
7.5’
j
8
Â
2.5%
7.5’
j
8
Â
5%
15.0’
Random Walk lar prognosen bli siste observasjon:
F2023 = X2022 = 30
(1.1)
b) Bruk glidende gjennomsnitt med vindu 3 for å lage en prognose for antall liter brus
ved dockingstasjon 2 i 2023.
Glidende gjennomsnitt med vindu 3 er gitt ved gjennomsnittet av de 3 siste
observasjonene:
F2023 =
1
1
(X2020 + X2021 + X2022 ) = (42 + 38 + 40) = 40
3
3
(1.2)
c) Bruk eksponentiell glatting med glattingsparameter 0.9 for å lage en prognose for
antall liter brus ved dockingstasjon 3 i 2023.
Vi husker den skrittvise rekurrenslikningen for å beregne nivåene:
F2 = X1
Testeksamen 10. mai 2023
Side 4 av 19
Ft+1 = θ Ft + (1 − θ )Xt ,
t = 2, 3, . . . , N
I vårt tilfelle har vi N = 5 observasjoner:
F2019 = X2018 = 24
F2020 = θ F2019 + (1 − θ )X2019 = 0.9 · 24 + 0.1 · 18 = 23.4
F2021 = θ F2020 + (1 − θ )X2020 = 0.9 · 23.6 + 0.1 · 20 = 23.06
F2022 = θ F2021 + (1 − θ )X2021 = 0.9 · 24 + 0.1 · 22 = 22.954
F2023 = θ F2022 + (1 − θ )X2022 = 0.9 · 23.44 + 0.1 · 19 = 22.558
Bruk av andre formler er også godtatt:
Ft+1 = Xt − θ Et ,
t = 2, 3, . . . , N
Ft+1 = Xt − θ (Xt − Ft ),
t = 2, 3, . . . , N
d) Det er viktig at prognosemetoden ved dockingstasjon 3 er responsiv til endringer i
markedet. Er valget av glattingsparameter et godt valg? Begrunn svaret kort.
jj
5%
8
 15.0’
En responsiv metode er en metode som responderer til endringer i markedet. Dette
innebærer at metoden ikke glatter ut variasjonene i observasjonene for mye. En
glattingsparameter på 0.9 glatter ut variasjonene kraftig, noe som betyr at valget av
glattingsparameter ikke stemmer godt overens med kravet.
e) Beregn MFE og RMSE for prognosemetoden brukt ved dockingstasjon 3. Gi en
tolkning av disse tallene.
T
1
MFE =
Et
N t=T∑
−N+1
Testeksamen 10. mai 2023
Side 5 av 19
jj
8 10%
 30.0’
Vi skal regne ut MFE for metoden vi brukte over. Vi har N = 4 observasjoner vi kan
regne ut feilen på :
MFE =
1 2022
∑ Et
4 t=2019
1
= (E2019 + E2010 + E2021 + E2022 )
4
1
= ((−6) + (−3.4) + (−1.06) + (−3.954))
4
= −3.603
Her er MFE ganske negativ, dvs. vi lager en prognose som overestimerer i gjennomsnitt
3.603 millioner brus hvert år. Dette kan komme av at vi har en synkende trend, men det
kan også komme av for høy glattingsparameter siden 2018 var et veldig godt år.
MSE =
T
1
Et2
∑
N t=T −N+1
Vi regner først MSE for metoden vi brukte over. Vi har fortsatt N = 4 observasjoner vi
kan regne ut feilen på :
MSE =
1 2022
∑ Et
4 t=2019
1 2
2
2
2
= (E2019
+ E2010
+ E2021
+ E2022
)
4
1
= (36 + 11.56 + 1.1236 + 16.634)
4
= 16.079
Testeksamen 10. mai 2023
Side 6 av 19
I statistikk er MSE et estimat på variansen til prognosen, men vi vil finne RMSE som
er et estimat på standardavviket:
√
MSE
√
= 16.079 = 4.0
RMSE =
Prognosemetoden gir oss et standardavvik på 4 millioner liter brus.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 7 av 19
Oppgave2 Fasilitetsdesign
Vi skal i denne oppgaven bestemme hvor det nye varehuset skal ligge. Vi har to mulige
lokasjoner som ligger sentralt mellom fabrikken på Robsrud og de tre
dockingstasjonene. Ledelsen har bestemt at varehuset skal etableres, siden det er et
steg i den videre strategiske satsingen i området.
Selv om mye av transporten vil gå gjennom det nye varehuset til dockingstasjonene, er
det fullt mulig at brus også transporteres direkte fra fabrikken til dockingstasjonene
(som det gjøres i dag).
D1 = 30
D2 = 40
D3 = 20
j=1
j=2
j=3
crossdock
X1
2 ,c
12
i=1
i=2
mulig varehus lokasjon
X01 , c01
, Z 01
d 01
Robsrud
i=0
Figur 4: Det nye distribusjonsnettverket.
Etterspørselen ved crossdockingstasjonene er gitt ved
Crossdockingstasjon
Årlig etterpørsel (i mill. liter) D j
j=1
30
j=2
40
j=3
20
Investeringskostnadene ved hver mulig lokasjon er gitt ved
Lokasjon
Investeringskostnad (i mill. kroner) Ii
Testeksamen 10. mai 2023
i=1
800
i=2
700
Side 8 av 19
5.0%
j
j j 10.0%
j j j 10.0%
8
25.0%
Â
1t 15’
Transportkostnadene mellom varehusene og dockingstasjonene er gitt ved1
Transportkostnad (i kr. per liter) ci j
Lokasjon 0 (Robsrud)
Lokasjon 1
Lokasjon 2
j=1
0.68
0.3
0.4
j=2
0.55
0.25
0.2
j=3
0.71
0.38
0.25
Transportkostnadene mellom Robsrud og lokasjonene er gitt ved
Transportkostnad (i kr. per liter) d0 j
Lokasjon 0 (Robsrud)
Lokasjon 1
0.4
Lokasjon 2
0.45
CCEPN ønsker nå å beskrive en modell som bestemmer hvor det nye varehuset skal
ligge slik at den totale kostnaden over en periode på 5 år minimeres. Du kan anta at
den årlige etterspørselen holder seg konstant disse 5 årene.
a) Definer data i modellen.
j
8
Â
5%
15.0’
Data er størrelser som vi ikke kan påvirke ila. planleggingshorisonten (beslutninger
som allerede er tatt):
j = 1, 2, 3 (crossdock nr 1, 2 og 3 hhv.)
i = 0, 1, 2 (lokasjon nr 0, 1 og 2 hhv. hvor 0 er fabrikken på Robsrud)
D j = etterspørsel ved crossdock nr. j, j = 1, 2, 3
Ii = investeringskostnad ved lokasjon. i, i = 1, 2
ci j = transportkostnad per liter fra lokasjon i til crossdock j, j = 1, 2, 3 og i = 0, 1, 2
d0i = transportkostnad per liter fra Robsrud til lokasjon i, i = 1, 2
b) Definer variablene i modellen.
jj
5%
8
 15.0’
1 Legg
merke til at vi kaller fabrikken på Robsrud for Lokasjon 0. Dette er gjør notasjonen og
beskrivelsen av den matematiske modellen blir enklere. Du har ikke nødt til å gjøre det på denne måten.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 9 av 19
Variabler er beslutninger som vi skal ta:
Xi j = antall liter transportert fra lokasjon i til crossdock j, j = 1, 2, 3 og i = 0, 1, 2
Z0i = antall liter transportert fra Robsrud til lokasjon i, i = 1, 2
1 , hvis lokasjon i benyttes
Yi =
i = 1, 2
0 , hvis ikke
c) Definer målfunksjonen i modellen.
jj
5%
8
 15.0’
Målfunksjonen er gitt ved summen av investeringskostnadene, transportkostnadene
mellom varehusene og transportkostnadene mellom varehusene og
crossdockingstasjonene:
2
2
2
C = ∑ IiYi + ∑ d0i Z0i + ∑
i=1
i=1
3
(2.3)
∑ ci j Xi j
i=0 j=1
d) Definer føringene i modellen. 2
jjj
8 10%
 30.0’
Etterspørselen må være oppfylt:
2
5D j = ∑ Xi j
hvor j = 1, 2, 3
(2.4)
i=0
Nøyaktig ett varehus skal bygges:
Y1 +Y2 = 1
(2.5)
Hvis lokasjon ikke benyttes, ingen allokering til og fra denne lokasjonen:
Z0i ≤ MYi
hvor i = 1, 2
(2.6)
Xi j ≤ MYi
hvor i = 0, 1, 2 og j = 1, 2, 3
(2.7)
hvor M er et stort tall, det er nok å sette M lik summen av all etterspørsel:
M = 5 ∑3j=1 D j
Balanseligninger ved varehusene (summen av varer inn må være summe av varer ut):
3
Z0i =
∑ Xi j
hvor i = 1, 2
(2.8)
j=1
2 Dette
er regnet som en A-oppgave.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 10 av 19
Oppgave3 EOQ
Vi skal nå hjelpe CCEPN i fastsettelsen av seriestørrelse for Urge 0.5 liter plastflaske.
15.0%
j
5.0%
jj
j j j 5.0%
8
25.0%
Â
1t 15’
Figur 5: Merkevaren Urge
Vi skal først vurdere seriestørrelse under antagelsene ved EOQ. Siden volumet er så
stort, opererer vi med dager som tidsenhet. Estimert etterspørselsrate er 28800 Urge
flasker per dag. Lagerkostnaden er 0.2 kroner per flaske per dag, mens setupkostnaden
er 10 000 kroner per omstilling.
Hvis intent annet er skrevet, avrund alle svar til nærmeste heltall.
a) Beregn optimal ordrestørrelse ved EOQ.
j
8
Â
Optimal ordrestørrelse (EOQ) er gitt ved Wilsons formel:
r
2DS
∗
X =
h
hvor
D = konstant etterspørselsrate
S = bestillingskostnaden
h = lagerkostnaden
Kommentar: Alle data må ha samme tidsenhet (år, måneder, uker etc). I denne
oppgaven har vi fått oppgitt at tidsenheten er dager:
D = 28 800 flasker per dag
S = 10 000 bestillingskostnaden
Testeksamen 10. mai 2023
Side 11 av 19
2.5%
7.5’
h = 0.2 kroner per flaske per dag
Vi setter inn i formelen og får:
r
r
2DS
2 · 28800 · 10000
=
= 53 666 flasker
X∗ =
h
0.2
b) Hva er omløpstiden på lageret i antall dager? Avrund til en desimal.
j
8
Â
2.5%
7.5’
j
8
Â
2.5%
7.5’
j
8
Â
2.5%
7.5’
Vi skal regne ut omløpshastigheten O på lageret, dvs hvor lang tid det tar fra lageret er
fullt (EOQ) til lageret er tomt. Siden etterspørselen er konstant, kan vi dele EOQ med
etterspørselsraten:
O=
X ∗ 53666
=
= 1.9 dager
D
28800
Det tar med andre ord omtrent 0.9 uker fra lageret er fullt til lageret er tomt.
c) Hva er de daglige lager- og bestillingskostnadene?
Vi skal regne ut daglige lager- og bestillingskostnader. Denne kostnaden er gitt ved
summen av bestillingskostnaden og lagerkostnaden i løpet av et år. Vi regner først ut
månedlige kostnader, siden det er denne tidsenheten vi har:
D
X∗
C = S ∗ +h
X
2
= 10000 ·
28800
53666
+ 0.2 ·
53666
2
= 10 733
Man kan også regne ut dette enklere siden lagerkostnaden og bestillingskostnaden er
lik i optimum:
C = HX ∗ = 0.2 · 53666 = 10 733 kroner
d) Anta en produksjonshastighet på 15 000 flasker per time. Anta total leveranse. Beregn
bestillingspunktet R.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 12 av 19
For bestillingspunktet antar vi 4 uker i måneden. Etterspørselen er 420 i måneden, og
siden ledetiden er 1 uke. Bestillingspunktet R er:
R = DL
hvor:
D = Ettersprsel (420)
L = Ledetid (1 uke = 0.25 mnd)
R = Bestillingspunkt
Vi må først beregne hvor stor ledetiden er:
L=
53666
3.6 timer
X∗
=
= 3.6 timer =
= 0.149dager
15000 15000
24
(3.9)
Setter tallene inn i formelen og får
R = 28800 · 0.149 = 4 293 flasker
Det vil si at vi må bestille på nytt når det er igjen 4 293 flasker på lager.
e) Anta nå at etterspørselen har et standardavvik på σ = 10 000 flasker, og anta at Coca
Cola vil ta høyde for usikkerheten ved å holde et sikkerhetslager som gir en
servicegrad på 99%, som betyr at sikkerhetstallet er Z p = 2.33.
jj
5%
8
 15.0’
Hvor stort sikkerhetslager må de ha?
Sikkerhetslager ved servicegrad 0.99 er gitt ved
√
√
SS = Z99 σ L = 2.33 · 10000 · 0.149 = 8 996 flasker
(3.10)
f) Hvor mye koster sikkerhetslageret per dag?
CSS = H · SS = 0.2 · 8996 = 1 799 kroner per dag
2.5%
7.5’
j
8
Â
2.5%
7.5’
(3.11)
g) Hva blir det nye bestillingspunktet?
Testeksamen 10. mai 2023
j
8
Â
Side 13 av 19
Nytt bestillingspunkt når vi legger til sikkerhetslager:
R = DL + SS = 4293 + 8996 = 13289 flasker
(3.12)
h) Er antagelsen om total leveranse oppfylt? Begrunn svaret kort.
jjj
5%
8
 15.0’
Dette spørsmålet kommer litt an på hvordan de fører flaskene på lageret. Det naturlige
er at de flytter flaskene på lager etterhvert som kassene lages, og dermed kommer de
litt og litt på lager. Antagelsen om total leveranse er dermed mest sannsynlig brutt.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 14 av 19
Oppgave4 Wagner-Within
Siden flere av antagelsene ved EOQ muligens ikke er oppfylt og siden standardavviket
er ganske stort, så vurderer CCEPN å brdag Wagner-Withins modell i stedet for EOQ.
10.0%
j
j j 10.0%
j j j 5.0%
8
25.0%
Â
1t 15’
De ønsker å planlegge 8 dager om gangen, fra mandag til mandag hvor begge
mandagene er inkludert i planen. Planleggingen skjer mandag tidlig før produksjonen
starter.
Anta det er søndag og anta at vi skal planlegge de neste 8 dagene. Anta vi har 0 enheter
på lager.
Prognosen de neste 8 dagene er gitt ved
Dag
Etterspørsel Urge
1
18 000
2
28 000
3
25 000
4
16 000
5
22 000
6
40 000
7
50 000
8
20 000
Tallene står for antall Urge flasker 0.5 l.
Lagerkostnaden er som før 0.2 kroner per flaske per dag mens setupkostnaden er
10 000 kroner per omstilling.
a) I Wagner-Withins modell antar man at kan ha produksjon i alle periodene. Dette er ikke
tilfelle for CCEPN, siden de ikke har produksjon på lørdager og søndager. Hvordan vil
du tilpasse modellen slik at den likevel kan benyttes? Begrunn svaret kort. 3
Siden det ikke er produksjon på lørdag og søndag og siden planleggingen skjer før
produksjonen starter, så er vi tvungne til å produsere opp D6 , D7 og D8 som sluttlager
på fredag, dvs. vi setter som krav i modellen at
I5 = D6 + D7 + D8 = 40000 + 50000 + 20000 = 110000
(4.13)
Dermed har vi redusert problemet til 5 dager med krav om sluttlager.
Vi skal nå løse modellen ved hjelp av Wagner-Withins algoritme. Her er de tre første
delproblemene, løst ved hjelp av algoritmen:
C1∗ = min[10 000] = 10 000
C2∗ = min[15 600, 20 000] = 15 600
3 Hint:
Horisonten kan reduseres fra 8 til 5 dager.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 15 av 19
j
8
Â
5%
15.0’
C3∗ = min[25 600, 25 000, 25 600] = 25 000
b) Fortsett algoritmen og finn C4∗ og C5∗ .
jj
8 10%
 30.0’
Siden vi for delproblem 3 har at det er optimalt at siste bestilling skjer i dag 2 kan vi,
ved hjelp av Horisontteoremet, kutte dag 1.
P4 : Delproblem 4
C4∗ = min[(siste best. i 2. periode), (siste best. i 3. periode), (siste best. i 4. periode)]
= min[(Cx100 ), (Cxx10 ), (Cxxx1 )]
= min[(Cx10 + 2hD4 ), (Cxx1 + hD4 ), (S +C3∗ )]
= min[(25000 + 2 · 0.2 · 16000), (25600 + 0.2 · 16000), (25000 + 10000)]
= min[31500, 28800, 35000]
= 28 800
Siden vi for delproblem 4 har at det er optimalt at siste bestilling skjer i dag 3, kan vi
ved Horisontteoremet også kutte dag 2.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 16 av 19
P5 : Delproblem 5
Vi setter
D′5 = D5 + I5 = 22000 + 110000 = 132000
(4.14)
C6∗ = min[(sb. i 3. periode), (sb. i 4. periode), (sb. i 5. periode)]
= min[(Cxx100 ), (Cxxx10 ), (Cxxxx1 )]
= min[(Cxx10 + 2hD′5 ), (Cxxx1 + hD′5 ), (S +C5∗ )]
= min[(28800 + 2 · 0.2 · 132000), (35000 + 0.2 · 132000), (28800 + 10000)]
= min[81600, 61400, 38800]
= 38800
Vi kan dermed konkludere at optimal kostnad er C6∗ = 38800 kroner.
c) Finn den optimale produksjonsplanen, dvs finn Cxxxxx , bestillingsstørrelser og
lagermengder.
Vi har dermed funnet den optimale kostnaden på 1217.25. Vi må nå til slutt finne selve
bestillingsplanen. Dette gjør vi ved å starte bakerst og gå fremover fra subproblem til
subproblem og lese av hvor siste bestilling inntreffer.
• Cxxxx1 , siden siste bestilling skjer i dag 5. Vi hopper dermed til delproblem 4
• Cxx101 , siden siste bestilling skjer i dag 3 for delproblem 4. Vi hopper til
delproblem 2
• C10101 , siden siste bestilling skjer i dag 1 for delproblem 2.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 17 av 19
j
8
Â
5%
15.0’
Vi har dermed funnet bestillingsplanen (Y-variablene):
Y1 = 1
Y2 = 0
Y3 = 1
Y4 = 0
Y5 = 1
Vi finner X-variablene ved å brdag teoremet om ”Dominante produksjonsplaner” - kun
hele etterspørselsbehov.
X1 = D1 + D2 = 18000 + 28000 = 46000
X2 = 0
X3 = D3 + D4 = 25000 + 16000 = 41000
X4 = 0
X5 = D′5 = 130000
Fra X-variablene leser vi enkelt av lagervariablene:
I1 = D2 = 28000
I2 = 0
I3 = D4 = 16000
I4 = 0
I5 = 110000
d) Hittil har vi ikke sett på kapasiteten ved tappelinjen. Produksjonslinjen til Urge dekker
egentlig 5 varianter hvor 0.5l flaske kun er en av disse variantene.
Anta produksjonsplanen for alle variantene er lagd, og at det er derfor kun 8 timer
ledig på tappelinjen til 0.5l varianten vi planlegger.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 18 av 19
jjj
5%
8
 15.0’
Sett i lys av at tappelinjen produserer 15 000 flasker i timen, bør vi legge inn en ekstra
føring for produksjonskapasitet? Begrunn svaret, gjerne med noen enkle beregninger.
Hvis vi legger til kapasitetsføringen, kan vi fremdeles benytte Wagner-Withins
algoritme til å løse problemet? Begrunn svaret kort.
Det første vi bør sjekke er om vi har nok kapasitet til å bruke planen vi fant fra
Wagner-Withins algoritme. Produksjonskapasiteten er gitt ved
K = 15000 · 8 = 120000 flasker
(4.15)
På fredagen har vi planlagt å produsere X5 = 132000 flasker som er 12000 flasker for
mye. Vi må derfor løse problemet med en kapasitetsføring. Denne føringen gjør at
Dominante produksjonsplaner ikke lenger gjelder, siden vi blir tvunget til å splitte
etterspørselsbehovet. Wagner-Withins algoritme gir dermed ikke optimal løsning.
Testeksamen 10. mai 2023
Side 19 av 19