CAPÍTULO
01
Sinais e Sistemas
1.0 INTRODUÇÃO
Conceito e
Representação
de
Sinal
e de Sistema
CONCEITO
SINAIS
 Conjunto
de dados ou informações que
representam o comportamento e as
características de determinados
fenômenos.
SISTEMAS
Tudo que existe ou que foi criado para alcançar
objetivos, realizar “tarefas”, produzir resultados,
processar informação ou processar sinais;
 Ao processarem um ou mais sinais, produzem
novos sinais;

EXEMPLO
SINAIS E SISTEMAS
COMPLEMENTO DO CONCEITO
Podem ser de natureza diversa: elétrico,
mecânico, áudio, etc;
 Podem ser representados matematicamente ou
por uma sequências de valores em termos de
uma ou mais variáveis independentes.

Costumam ser constituídos de vários
subsistemas;
 Podem ser de natureza diversa: elétrico,
mecânico, químico, eletromecânico, etc;
 Podem ser utilizados tanto para modificar como
para extrair informações de um sinal.
 Podem ser natural ou artificial.

Sistemas
Análise de
Desempenho
Projeto de
Controladores
Variável Independente
O Tempo é a variável
independente “natural”.
CENÁRIO DA
TEORIA DE SISTEMAS
Sinais
CENÁRIO/CONTEXTO GERAL
Formalização



Sinal de Entrada: Sinal externo que estimula
o sistema a produzir um sinal de saída.
Sinal de Saída: Sinal de interesse que
caracteriza uma reação do sistema. Trata-se de
um sinal percebido pelo meio externo.
Sinal de Alimentação: Sinal externo que
“energiza” ou habilita o sistema a reagir a um
sinal de entrada.
TIPOS DE SINAIS DE ENTRADA
Referência:
Sinais gerados voluntariamente para
estimular o sistema a produzir uma
resposta desejada.
Distúrbio ou
Perturbação:
Sinais gerados involuntariamente,
influenciando de maneira imprevisível no
desempenho do sistema, fazendo-o
divergir do comportamento desejado.
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS
Intensidade
ou
Amplitude:
Conjunto
Numérico
Comportamento
Amplitude x
variável
independente
Referência
Referência
velocidade(km/h)
tempo(h)
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS
Funções Matemáticas
Representação
Gráfica
Velocidade
(km/h)
x(t)
𝟎; 𝒕 ≤ 𝟎
𝒙 𝒕 =ቊ
𝒕; 𝒕 ≥ 𝟎
t
Tempo
(h)
Referência
Representação
Matemática
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
Equações Matemáticas
Modelo
Equação que
relaciona
A resposta y(t)
Com a Entrada x(t)
x(t)
Sistema
y(t)
UM EXEMPLO
IR(t)
Resistor
VR(t)
Modelo
𝑉𝑅 (𝑡) = 𝑅. 𝐼𝑅 (𝑡)
1.1 TAMANHO DO SINAL
Grandezas que
caracterizam o
Tamanho do sinal:
1.1-1 Energia
1.1-2 Potência
1.1-1 ENERGIA DO SINAL
∞
∞
𝐸𝑥 = න 𝑥 2 𝑡 𝑑𝑡
𝐸𝑥 = න
𝑥 𝑡
2
𝑑𝑡
−∞
−∞
Representação Gráfica
𝑇
𝐸𝑥 = lim න 𝑥 𝑡
𝑇→∞ −𝑇
2
𝑑𝑡
Representação
Matemática
1.1-2 POTÊNCIA DO SINAL
Representação Gráfica
𝑇
Potência
Energia Média
𝐸𝑥 = lim න 𝑥 𝑡
1 𝑇
𝑃𝑥 = lim
න 𝑥 𝑡
𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇
1 𝑇/2
𝑃𝑥 = lim න
𝑥 𝑡
𝑇→∞ 𝑇 −𝑇/2
𝑇→∞ −𝑇
2 𝑑𝑡
2 𝑑𝑡
2
𝑑𝑡 = ∞
Representação
Matemática
Valor RMS
do sinal x(t)
é dado por
𝑃𝑥
R (root) M(Mean) S(square) = Raiz da média quadrática de
todas as amplitudes do sinal
1.2 OPERAÇÕES COM SINAIS
Operações ou
transformações
de sinais
aplicadas na
variável
independente
TRANSFORMAÇÕES APLICADAS NA
VARIÁVEL INDEPENDENTE
Algumas que transformações de sinais merecem
destaque:
Deslocamento temporal
Mudança de Escala
temporal
Reversão temporal
A Combinação delas
Transformações
x(t)
Deslocamento
Temporal
x(t)
Escalamento
Temporal
x(t)
Reversão
Temporal
y(t) =
x(t - to)
y(t) = x(kt)
onde k>0
y(t) = x(-t)
Combinação de Transformações
x(t)
Mais de uma
transformação
y(t)
x(t)
Sequência de
transformações
y(t)
1.3 CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS
Existem várias
classes
de Sinais de
acordo com
algumas
características
Algumas Classificações de Sinais
Quanto a Periodicidade da Informação
• Periódicos
• Não Periódicos
Quanto a Disponibilidade da Informação
• Contínuos no tempo
• Discretos no tempo
Quanto as características de Energia e Potência
• De Energia
• De Potência
Quanto a Aleatoriedade da Informação
• Determinísticos
• Aleatórios
QUANTO A PERIODICIDADE DA
INFORMAÇÃO
Periódicos
• Sinais que apresentam um
comportamento repetitivo em
intervalos de tempo finitos e
constantes. Isto é, x(t + T) = x(t) para
- ∞ < t < +∞, com T constante e finito.
Não Periódicos
• Sinais que não satisfazem a condição
de periodicidade citada anteriormente.
EXEMPLO GRÁFICO
COMPARATIVO
Sinal Periódico x Não Periódico
...
...
T período
fundamental:
menor intervalo de
tempo que o sinal
“se repete”
QUANTO A DISPONIBILIDADE DA
INFORMAÇÃO
Contínuos no Tempo
• Sinais que possuem variável independente
(tempo) contínua, ou seja a informação
existe em infinito instantes de tempo
(precisão infinita). Esses sinais podem ser
representados por funções no tempo.
Discretos no Tempo
• Sinais que existem ou que são definidos
apenas em determinados instantes de
tempo, caracterizando uma variável
independente não contínua. Esses sinais
podem ser representados por sequência de
números.
EXEMPLO
GRÁFICO COMPARATIVO
Sinal contínuo x discreto no tempo
QUANTO AS CARACTERÍSTICAS DE
ENERGIA E POTÊNCIA
De Energia
• Energia Finita (não nula)
• Potência Nula.
De Potência
• Energia Infinita
• Potência Finita (não nula)
QUANTO A ALEATORIEDADE DA
INFORMAÇÃO
Determinísticos
• Sinais que possuem forma e amplitude
perfeitamente definidas ao longo do
tempo. Desse modo, podem ser
modelados ou descritos por funções no
tempo.
Aleatórios
• Sinais que assumem amplitudes
aleatórias em instante de tempo
também aleatório. Desse modo, só
podem ser modelados por funções
probabilísticas.
1.4 ALGUNS MODELOS ÚTEIS DE SINAIS
Definição,
Representação.
Propriedades
de sinais úteis
na área de
sistemas
Degrau Unitário: u(t)
Degrau não ideal
variação não
instantânea
Degrau ideal
variação
instantânea
→ Não nulo
→ Nulo
Degrau Unitário: u(t)
Sinal “polinomial” de
ordem zero
Utilizado para
representar
informação constante
Possui um instante
para começar e dura
“para sempre”
Possui um instante
com variação
instantânea
0, 𝑡 < 0
𝑢(𝑡) = ቊ
1, 𝑡 ≥ 0
Rampa Unitária: r(t)
Sinal “polinomial” de
primeira ordem
Utilizado para
representar informação
que varia a amplitude
linearmente
𝑟(𝑡) = ቊ
Possui um instante
para começar e dura
“para sempre”
0, 𝑡 < 0
𝑡, 𝑡 ≥ 0
0; 𝑡 < 0
𝑟 𝑡 = 𝑡ቊ
= 𝑡. 𝑢(𝑡)
1; 𝑡 ≥ 0
Pulso: p(t)
Sinal “polinomial” de
ordem zero
Utilizado para representar
informação constante de
duração finita
Possui um instante para
começar e duração
limitada
Possui dois instantes com
variação instantânea
0, 𝑡 < −𝑇𝑜
𝑝(𝑡) = ቐ1, −𝑇𝑜 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇𝑜
0, 𝑡 > 𝑇𝑜
PROPRIEDADES E FUNCIONALIDADES
𝑝 𝑡 = 𝑢 𝑡 + 𝑇𝑜 − 𝑢(𝑡 − 𝑇𝑜)
𝑝 𝑡 = 𝑢 𝑡 + 𝑇𝑜 . 𝑢(−𝑡 + 𝑇𝑜)
PROPRIEDADES E FUNCIONALIDADES
𝑦(𝑡) = 𝑥 𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑧(𝑡) = 𝑥 𝑡 . 𝑢(−𝑡)
Impulso Unitário: (t)
Utilizado para
representar
informação intensa e
de curtíssima duração
Definido a partir de
um pulso de área
unitária
Dura um único
instante e enquanto
dura tem amplitude
infinita
 (t ) = Lim p (t )
 →0
PROPRIEDADES E FUNCIONALIDADES

p

−

(t )dt =   (t )dt = 1
−
+∞
න
+1
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = න
0+
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
−∞
−1
0−
2
0−
1
න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = න
1
−1
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 0
0+
PROPRIEDADES E FUNCIONALIDADES

p

−

(t )dt =   (t )dt = 1
−
+∞
න
+1
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = න
−1
0−
2
0−
1
1
න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = ቊ
−∞
𝛿 𝑡 =
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
−∞
න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = න
𝑡
0+
−1
0; 𝑡 < 0
= 𝑢(𝑡)
1; 𝑡 ≥ 0
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 0
0+
PROPRIEDADES E FUNCIONALIDADES
x(t ) (t − To) = x(To) (t − To)

 x(t)δ(t − To)dt = x(To)
−
Exponencial (complexa): 𝒆𝒔𝒕
𝑆 = 𝜎 + 𝑗𝜔
𝑥 𝑡 = 𝑒 𝑠𝑡 = 𝑒
∗
𝑥(𝑡) = 𝑒
𝑠∗ 𝑡
𝜎+𝑗𝜔 𝑡 =
=𝑒
𝜎−𝑗𝜔 𝑡
𝑆 ∗ = 𝜎 − 𝑗𝜔
𝑒 𝜎𝑡 . 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑒 𝜎𝑡 [cos(𝜔𝑡) + jsen(𝜔𝑡)]
= 𝑒 𝜎𝑡 . 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 = 𝑒 𝜎𝑡 [cos(𝜔𝑡) − jsen(𝜔𝑡)]
𝑦 𝑡 = [𝑥(𝑡)∗ + 𝑥(𝑡)]/2 = 𝑅𝑒[𝑥(𝑡)] = 𝑒 𝜎𝑡 . cos(𝜔𝑡)
Para =0
(S =  e é real)
y(t) – exponencial
crescente se >0
y(t) – exponencial
decrescente se <0
y(t) – constante se
=0
Exponencial (complexa): 𝒆𝒔𝒕
𝑆 = 𝜎 + 𝑗𝜔
𝑦 𝑡 = [𝑥(𝑡)∗ + 𝑥(𝑡)]/2 = 𝑅𝑒[𝑥(𝑡)] = 𝑒 𝜎𝑡 . cos(𝜔𝑡)
Para  =0
(S= j é imaginário
puro)
y(t) – cosseno
(oscilação constante)
Exponencial (complexa): 𝒆𝒔𝒕
𝑦 𝑡 = [𝑥(𝑡)∗ + 𝑥(𝑡)]/2 = 𝑅𝑒[𝑥(𝑡)] = 𝑒 𝜎𝑡 . cos(𝜔𝑡)
𝑆 = 𝜎 + 𝑗𝜔
y(t) – oscilação amortecida
<0
Para  0 e  0
(S=  j é complexo)
y(t) – oscilação crescente
>0
1.5 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
As
Componentes
pares e
ímpares dos
Sinais
SIMETRIAS PAR E ÍMPAR
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑥𝑝 −𝑡
𝑥𝑖 𝑡 = −𝑥𝑖 −𝑡
SIMETRIAS PAR E ÍMPAR
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑥𝑝 −𝑡
𝑥𝑖 𝑡 = −𝑥𝑖 −𝑡
𝑡𝑜
𝑡𝑜
න
න 𝑥𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 0
𝑡𝑜
𝑥𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = 2 න 𝑥𝑝 𝑡 𝑑𝑡
−𝑡𝑜
−𝑡𝑜
0
Sinal
Par
X
Sinal
Ímpar
=
Sinal
Ímpar
Sinal
Ímpar
X
Sinal
Ímpar
=
Sinal
Par
Sinal
Par
X
Sinal
Par
=
Sinal
Par
COMPONENTES PAR E ÍMPAR
Componente
Componente
xp(t)
xi(t)
Par
Sinal
x(t)
Ímpar
xp(-t)
xi(-t)
xp(t)
𝒙 𝒕 + 𝒙 −𝒕
𝒙𝒑 𝒕 =
𝟐
x(-t)
-xi(t)
𝒙 𝒕 − 𝒙 −𝒕
𝒙𝒊 𝒕 =
𝟐
x(-t)
Exemplo
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑎𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑥 −𝑡 = 𝑒 𝑎𝑡 u(−t)
𝑥 𝑡 = 𝑥𝑝 𝑡 + 𝑥𝑖(𝑡)
1
2
𝑥𝑝 𝑡 = [𝑒 −𝑎𝑡 . 𝑢 𝑡 + 𝑒 𝑎𝑡 . 𝑢(−𝑡)]
𝒙𝒑 𝒕 =
1
𝒙 𝒕 + 𝒙 −𝒕
𝟐
𝑥𝑖 𝑡 = 2 [𝑒 −𝑎𝑡 . 𝑢 𝑡 − 𝑒 𝑎𝑡 . 𝑢(−𝑡)]
𝒙𝒊 𝒕 =
𝒙 𝒕 − 𝒙 −𝒕
𝟐
1.6 SISTEMAS
Pra que servem?
Como são
constituídos?
Podem ser
interconectados?
Problemas:
Modelagem,
análise e projeto.
O que precisa para
determinar sua
resposta?
Modelagem-
Análise -Projeto
O que precisa para calcular sua resposta?
UM EXEMPLO:
CIRCUITO ELÉTRICO

Dispositivo Passivo: Resistor
CIRCUITO
ELÉTRICO
Ir(t)
Resistor
Vr(t)
vR (t ) = R.iR (t )

Dispositivo Passivo: Capacitor
CIRCUITO
ELÉTRICO
Ic(t)
Vc(t)
Capacitor
dvc (t )
iC (t ) = C.
dt

Exemplo: Circuito RC série
Vs(t)
Circuito
RC
Vc(t)
𝑣𝑟 𝑡 = 𝑅𝑖(𝑡)
i(t)=
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝐶
𝑑𝑡
𝑣𝑠 𝑡 = 𝑣𝑟 𝑡 + 𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑣𝑠 𝑡 = 𝑅𝐶
+ 𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣𝑠 𝑡 = 𝑅𝐶𝐷𝑣𝑐 𝑡 + 𝑣𝑐 𝑡 = 𝑅𝐶𝐷 + 1 𝑣𝑐(𝑡)
CIRCUITO
ELÉTRICO
Modelo: Precisão ou Simplicidade?
SISTEMA
1.7 CLASSIFICAÇÃO DE
SISTEMAS
Existem várias
tipos de
sistemas
(modelos)
De acordo com
algumas
características.
Tipos de Sistemas ou de Modelos
SISTEMA
o De acordo com o modelo adotado
para o sistema, interações dinâmicas
e condições de operação
consideradas, este pode assumir tipo
e propriedades diferentes.
Processamento da
Informação (1)
Linear ou não linear
Variação de Características
com o Tempo (2)
Invariante ou Variante no Tempo
Memória (3)
• Instantâneo ou Dinâmico
Modo de Operação (4)
Discreto ou Contínuo
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO
PROCESSAMENTO DA INFORMAÇÃO
Linear
Não Linear
• Satisfaz o Princípio da
Superposição.
• Não satisfaz o Princípio
da Superposição.
Aditividade
Princípio
da
superposição
Homogeneidade
A resposta
do sistema
a uma
entrada
x2(t) é dada
por y2(t)
SISTEMA
Para um sistema aditivo
A resposta
do sistema
a uma
entrada
x1(t) é dada
por y1(t)
Seja a Situação 2
Considere:
x(t) o sinal
de entrada
e y(t) o
sinal de
saída
Seja a Situação 1
Aditividade
ADITIVIDADE
A resposta
do sistema
a uma
entrada
x1(t) + x2(t)
é dada por
y1(t) + y2(t)
A resposta
do sistema
a uma
entrada
x1(t) é
dada por
y1(t)
Para um sistema
homogeneo
Considere:
x(t) o sinal
de entrada
e y(t) o
sinal de
saída
Seja a Situação 1
Homogeneidade
HOMOGENEIDADE
SISTEMA
A resposta
do sistema
a uma
entrada
Kx1(t) é
dada por
Ky1(t)
OPERADOR LINEAR
𝑥1 𝑡
𝑥2(𝑡)
SISTEMA
LINEAR
𝑥 𝑡 = 𝐾1. 𝑥1 𝑡 + 𝐾2. 𝑥2(𝑡)
𝑑𝑥1(𝑡)
𝑥 𝑡 =
𝑑𝑡
y1 𝑡
𝑦2(𝑡)
y 𝑡 = 𝐾1. 𝑦1 𝑡 + 𝐾2. 𝑦2(𝑡)
𝑑𝑦1(𝑡)
𝑦(𝑡) =
𝑑𝑡
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO
PROCESSAMENTO DA INFORMAÇÃO
SISTEMA
RELAXADO
Condições
iniciais
nulas
Atenção:
O teste de
linearidade deve
ser feito com o
sistema relaxado
CLASSIFICAÇÃO QUANTO A
VARIAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS
COM O T EMPO
Invariante no Tempo
Variante no Tempo
•A relação entrada/saída não se
altera com o tempo.
•O sistema é composto por
elementos que não alteram suas
características de operação com o
tempo.
•A relação entrada/saída se
altera com o tempo.
•O sistema tem elementos que
alteram suas características de
operação com o tempo.
Seja : x(t) entrada
e y(t) saída e que a
relação é dada por
y(t) = f [ x(t) ]
y(t-to) = f [ x(t-to) ]
Invariante
y(t-to)  f [ x(t-to) ]
Variante
CLASSIFICAÇÃO QUANTO A
VARIAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS
COM O T EMPO
Seja : x(t) entrada
e y(t) saída e que
a relação é dada
por y(t) = f [ x(t) ]
y(t-T) = f [ x(t-T) ]
Invariante
y(t-T)  f [ x(t-T) ]
Variante
Sistema
Invariante
no tempo
CLASSIFICAÇÃO QUANTO
A MEMÓRIA
Instantâneo
Dinâmico
• Não possui memória.
• Seu comportamento no
instante atual depende
apenas das amplitudes
dos sinais processados
no instante atual.
• Equações Algébricas e
Equações Não
recursivas.
• Possui memória.
• Seu comportamento
não depende apenas
de valores dos sinais
processados no
instante atual.
• Equações Integrais /
Diferenciais /e
Equações
Recursivas.
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO
MODO DE OPERAÇÃO
Contínuo
Discreto
•Os sinais processados são
todos de natureza contínua.
•A variável independente da
equação que descreve seu
comportamento é uma variável
contínua.
•Opera apenas em instantes
de tempo particulares.
•Seu comportamento é
descrito por equações cuja
variável independente é
discreta.
Sistema
Contínuo
Sistema
Discreto
t=n .T
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO
MODO DE OPERAÇÃO