2. Sinais discretos
2. Sinais discretos
2.1 Classificação de sinais
Classificação de sinais
• As principais classificações de um sinal são:
→
→
→
→
→
→
→
Unidimensional (uma variável) ou multidimensional (duas ou mais variáveis).
Contínuo ou discreto.
Periódico ou aperiódico.
Causal, não-causal e anti-causal.
Par ou ímpar.
Determinístico ou randômico.
Sinal de Energia e de Potência.
15
Classificação de sinais - unidimensional ou multidimensional
• Unidimensional (uma variável) ou multidimensional (N variáveis)
Sinal bidimensional I(x, y)
Sinal unidimensional A(n))
Sinal tridimensional I(x, y, t)
16
Classificação de sinais - tempo contínuo e tempo discreto
• Sinais de tempo contínuo ou discreto
1.00
1.00
0.80
0.80
0.60
0.60
0.40
0.40
0.20
0.20
0.00
0.00
−0.20
0
Sinal contínuo - x(t).
10
−0.20
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
0
b
b
b
b
b
b
10
Sinal discreto - x[n].
17
Classificação de sinais - tempo contínuo e tempo discreto
• Sinal de tempo discreto −→ frequentemente derivado de um sinal de tempo
contínuo.
• Processo é realizado amostrando-se o sinal a uma taxa uniforme, x[n] = x(nT ),
para todo n ∈ Z.
x(t)
Conversor
A/D
x[n]
Processador
de Sinais
y[n]
Conversor
D/A
y(t)
• Ex: gravação/equalização de uma música para reprodução em caixas se som.
18
Classificação de sinais - tempo contínuo e tempo discreto
• Amostragem −→ discretização do tempo/espaço.
• Quantização −→ discretização da amplitude do sinal.
representação: x[n] = {1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2}
19
Classificação de sinais - periódico / aperiódico
• Sinal periódico é aquele que se repete depois de um dado período ou ciclo N, e é
matematicamente definido como:
x[n] = x[n + mN]
∀m: (m ∈ Z),
em que N > 0 e representa o período da fundamental do sinal. N é o menor valor
inteiro positivo para que o sinal se repita.
Sinal periódico de período N = 11
Sinal aperiódico
20
Classificação de sinais - periódico / aperiódico
• Observações importantes
→ Um sinal periódico discreto é completamente definido por seus valores em um
único período, como o intervalo [0, N[ ou [− N2 , N2 [.
→ Qualquer sinal aperiódico pode ser definido por uma soma infinita de sinais
periódicos. Essa definição possibilita a análise de Fourier de sinais aperiódicos.
21
Classificação de sinais - causal, não-causal e anti-causal
• Um sinal é causal se ele for identicamente igual a zero para todo n < 0, caso
contrário, o sinal é não-causal.
• Um sinal é anti-causal se ele for identicamente igual a zero para todo n > 0, ou
seja, é um sinal causal com inversão no tempo.
• Diferentemente de sistemas, sinais não-causais podem existir no mundo físico.
b
1
0
b
b
b
b
−2
−1
0
1
sinal causal
−1
2
3
b
b
b
0
b
−1
b
1
b
−2
1
b
b
0
b
−1
0
1
2
sinal não causal
b
b
b
b
−1
3
−3
−2 −1
0
1
sinal anti-causal
2
22
Classificação de sinais - par e ímpar
• Um sinal x[n] é par se x[n] = x[−n], ou seja, é um sinal simétrico com relação ao
eixo das ordenadas.
• Um sinal x[n] é ímpar se x[n] = −x[−n], ou seja, é um sinal anti-simétrico ao eixo
das ordenadas.
• Um sinal que não seja nem par e nem ímpar pode ser representado pela soma
dos componentes par e ímpar.
2
b
1
b
1
b
b
b
1
0
b
b
−1
−3
−2
b
−1 0
1
sinal par
2
−1
3
b
0
b
b
−1
b
−3
b
−2
b
b
b
0
b
b
b
−1 0
1
sinal ímpar
2
b
b
−2
3
−3
−2 −1 0
1
2
3
sinal nem par, nem ímpar
23
Classificação de sinais - par e ímpar
• Encontrando os componentes par e ímpar de um dado sinal x[n]. Suponha os
seguintes sinais:
x[n] = xp [n] + xi [n].
(1)
x[−n] = xp [−n] + xi [−n].
(2)
entretanto, sabemos que xp [n] = xp [−n] e xi [n] = −xi [−n] . Logo, podemos
reescrever a Equação 2 como
(3)
x[−n] = xp [n] − xi [n].
Agora, fazendo (Eq.1 + Eq.3) e (Eq.1 - Eq.3) temos, respectivamente:
xp [n] =
1
(x[n] + x[−n])
2
xi [n] =
1
(x[n] − x[−n])
2
24
Classificação de sinais - determinísticos e aleatórios
• Um sinal é considerado determinístico se não houver incerteza com respeito ao
seu valor em qualquer instante do tempo. Podem ser definidos exatamente por
uma fórmula matemática.
• Um sinal é chamado de aleatório (ou não determinístico) se houver incerteza
com respeito ao seu valor em algum instante do tempo. Eles são modelados em
termos probabilísticos.
b
b
b
−6
b
−4
b
−2
b
b
0
2
b
sinal determinístico - sin(n)
4
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
6
0
b
b
b
b
b
b
4
b
b
8
b
b
b
b
b
b
b
12
b
b
b
16
b
b
20
sinal aleatório
25
Classificação de sinais - sinal de energia e de potência
• Um sinal x[n] é dito sinal de energia quando ele possui energia finita, ou seja,
0<E =
∞
X
n=−∞
|x[n]|2 < ∞.
• Um sinal x[n] é dito sinal de potência quando ele possui potência finita, ou seja,
N
1 X
|x[n]|2 < ∞.
N →∞ 2N
n=−N
0 < P = lim
26
2. Sinais discretos
2.2 Operações básicas em sinais
Operações realizadas em variáreis dependentes
• Mudança de escala de amplitude
y[n] = cx[n]
b
0
y[n] = x1 [n] + x2 [n]
y[n] = x1 [n] − x2 [n]
b
−1
b
0
x1 [n]
b
1
b
b
−1
0
1
y1 [n] = 2x1 [n]
2
0
x2 [n]
1
2
b
b
b
b
−2 −1
0
1
2
y2 [n] = x1 [n] + x2 [n]
b
b
b
−1
b
2
1
0
−1
−2
b
−2
b
−2
b
0
y[n] = x1 [n] · x2 [n]
b
−1
2
1
• Multiplicação
b
0
−1
2
1
0
−1
−2
b
1
b
−2
• Adição / Subtração
b
1
b
b
b
−1
−2
−1
0
1
2
y3 [n] = x1 [n] · x2 [n]
27
Operações realizadas em variáreis independentes
• Deslocamento no tempo (shifting):
→ n0 > 0 - deslocamento à direita
→ n0 < 0 - deslocamento à esquerda
y[n] = x[n − n0 ]
• Exemplo:
deslocamento
deslocamento
−−−−−−−→
b
2
1
0
−1
b
b
b
b
b
0
b
b
−3 −2 −1 0
1
2
3
sinal original: x[n]
−1
4
b
2
1
←−−−−−−−
b
b
1
b
b
b
0
b
b
−3 −2 −1 0 1 2 3
y1 [n] = x[n − 1]
−1
4
5
b
2
b
b
b
b
b
b
b
−4 −3 −2 −1 0 1 2
y2 [n] = x[n + 1]
3
4
28
Operações realizadas em variáreis independentes
• Reflexão (flipping) do gráfico em relação ao eixo y
• Exemplo:
b
2
1
0
−1
b
b
2
b
b
b
1
b
b
b
0
b
b
−3 −2 −1 0
1
2
3
sinal original: x[n]
−1
4
b
b
b
b
b
−4 −3 −2 −1 0
1
2
sinal refletido: y[n] = x[−n]
3
29
Operações realizadas em variáreis independentes
• Mudança de escala de tempo:
(
α>1
y[n] - será a versão comprimida de x[n]
y[n] = x[αn]
0 < α < 1 y[n] - será a versão expandida de x[n]
• Exemplo:
b
2
1
0
−1
b
b
b
2
b
1
b
b
b
0
b
b
−3 −2 −1 0
1
2
3
sinal original: x[n]
b
b
b
b
1
b
b
−1
4
b
2
b
0
b
b
3
4
b
b
b
4
5
b
−1
−3 −2 −1 0
1
2
y1 [n] = x[2n]
b
b
−3 −2 −1
0 1 21 3
y2 [n] = x[ 3 n]
6
30
Combinação de operações realizadas em variáreis independentes
• Padronização da ordem da combinação das operações:
1o ) Deslocamento
2o ) Reflexão
3o ) Escalonamento
• Exemplo: Dado o sinal abaixo, queremos obter y[n] = x[−2n + 3]
b
2
1
b
0
−1
−2
b
b
−2
−1
0
1
2
b
sinal original: x[n] = 1, 2, 0, −2, 1.5
31
Combinação de operações realizadas em variáreis independentes
• Objetivo: obter y[n] = x[−2n + 3]
• 1o passo: definir um sinal temporário z[n] = x[n + 3] que corresponde apenas à
parte do deslocamento do sinal original
b
2
1
b
−2
−2
−1
0
b
2
1
0
−1
b
b
b
0
1
b
sinal x[n] = 1, 2, 0, −2, 1.5
2
−1
−2
b
b
−5
−4
−3
b
−2
−1
0
b
sinal z[n] = 1, 2, 0, −2, 1.5, 0
32
Combinação de operações realizadas em variáreis independentes
• 2o passo: definir um novo sinal temporário w[n] = z[−n] que corresponde à
operação de reflexão do temporário anterior z[n]
b
2
1
−2
−5
b
b
b
1
b
0
−1
2
b
b
−4
−3
b
−2
−1
b
sinal z[n] = 1, 2, 0, −2, 1.5, 0
0
0
−1
−2
b
0
b
1
2
3
4
5
b
sinal w[n] = 0, 1.5, −2, 0, 2, 1
33
Combinação de operações realizadas em variáreis independentes
• 3o passo: aplicar a operação de escalonamento do tempo no sinal w[n] para
obter o sinal final, ou seja, y[n] = w[2n]
2
b
b
1
0
−1
−2
b
0
b
1
2
3
1
0
4
b
sinal w[n] = 0, 1.5, −2, 0, 2, 1
b
2
b
5
−1
−2
b
b
−1
0
b
1
2
3
b
sinal y[n] = 0, 0, −2, 2, 0
34
2. Sinais discretos
2.3 Sinais elementares
Exponencial discreta
x[n] = Br n
(r := eα , ∀α ∈ ℜ)
• B - amplitude do sinal em n = 0;
• 0 < r < 1 - sinal exponencial decrescente;
• r > 1 - sinal exponencial crescente.
2.00
b
b
12
1.60
9
1.20
b
0.80
b
0.40
0.00
0
b
6
b
3
b
1
2
3
4
exponencial descrescente: r = 0.5, B = 2
b
5
0
b
b
0
b
b
1
2
3
4
exponencial crescente: r = 1.65, B = 1
5
35
Senóide discreta
• Forma geral: x[n] = A cos Ω0 n + φ
→ A = amplitude do sinal
→ Ω0 = 2π
N = frequência angular, N = período
→ φ = fase
b
b
0
b
b
b
b
b
−8
b
b
b
b
−12
b
b
b
b
b
−4
b
b
0
4
8
b
b
y[n] = sin π6 n , Ω0 =
b
b
π
6,
b
b
12
b
período N = 12
36
Relação entre sinais senoidais e exponenciais complexas
• Diferença importante entre tempo
contínuo e discreto.
• Suponha ejΩ0 n e ej(Ω0 +2π)n , então
ej(Ω0 +2π)n = ejΩ0 n+j2πn = ejΩ0 n · ej2πn
Como n é inteiro, n = 0, 1, 2, · · · , logo
ej2πn = 1 e, portanto, ej(Ω0 +2π)n = ejΩ0 n
• No caso discreto temos apenas um
intervalo 2π de frequências.
37
Relação entre sinais senoidas e exponenciais complexas
• Analisando o sinal ejΩ0 n temos que:
• Ω0 = 0 implica que
ej0n = 1
→ Frequência mais baixa possível no
caso de uma senóide discreta.
b
b
1
0
−5
b
b
b
b
b
···
···
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−1
sinal senoidal de mais baixa frequência, Ω0 = 0
• Ω0 = π implica que
(
1
, n = par
ejπn =
−1 , n = ímpar
→ Frequência mais alta possível no
caso de uma senóide discreta
b
1
0
−5
−1
b
b
···
−4
···
−3
b
−2
−1
b
0
1
b
2
3
4
5
b
sinal senoidal de máxima frequência, Ω0 = π
38
Relação entre sinais senoidas e exponenciais complexas
• Qual a condição para que uma senoidal complexa seja periódica ?
→ Para responder isso, aplicamos a definição de periodicidade de um sinal, ou seja,
ejΩ0 n = ejΩ0 (n+N) , para algum valor inteiro N
jΩ0 N
→ Entretanto: ejΩ0 (n+N) = ejΩ0 n e|{z}
=1
⊲ Sabendo que ejΩ0 N = cos(Ω0 N) + j sin(Ω0 N), então, para que ejΩ0 N = 1, temos que ter
Ω0 N = 2πk, para algum k inteiro
⊲ Portanto, N =
2π
k
Ω0
39
Funções delta e degrau unitário
• função delta.
δ[n] =
(
1
n=0
0
n 6= 0
• função degrau unitário.
(
1 n≥0
u[n] =
0 n<0
0
−5
δ[n] = u[n] − u[n − 1]
···
−4
b
b
b
−3
−2
−1
0
b
b
b
1
2
3
b
b
···
4
5
−1
função delta δ[n]
b
1
0
• É importante notar que:
b
1
−5
···
−4
b
b
b
−3
−2
−1
b
···
0
1
2
3
4
5
−1
função degrau unitário u[n]
40
Sinais arbitrários representados por funções delta
b
2
1
0
−1
2
b
=
b
−1
0
1
b
2
2
b
1
b
0
−1
−1
0
+
b
b
1
2
1
0
−1
b
2
+
1
0
−1
b
−1
0
b
1
b
+
2
−δ[n − 1]
δ[n]
x[n]
b
= 1δ[n] − 1δ[n − 1] + 2δ[n − 2]
b
b
b
−1
0
1
2
2δ[n − 2]
• Generalizando a ideia, temos: x[n] =
∞
X
k=−∞
x[k]δ[n − k]
41
Sumário
• Nesta seção foram descritas:
→ as principais classificações de um sinal
→ as operações mais comuns aplicadas à sinais
→ os sinais mais elementares usados em PSD
42
Exercícios 1, 2 e 3 para cômputo de presença
1. Determine se os sinais abaixo são periódicos e, em caso afirmativo, encontre o
período da fundamental
(a) x1 [n] = 5 cos (0.2πn)
(b) x2 [n] = 5 cos (6πn)
2. Dado o sinal x[n] = 1, 2, 0, −1 , determinar os sinais abaixo
(a) y1 [n] = 2x[0.5n + 1]
(b) y2 [n] = −x[3n − 1]
3. Represente o sinal x[n] = 1, 2, 4, −1, 0, 2 usando funções delta.
43