Lista de Exercícios 2 – PDS – Prof. Cláudio
Cap. 3 do Lathi.











3.1-1, 3.1-2, 3.1-4
3.2-3, 3.2-4
3.3-1, 3.3-7
3.4-2, 3.4-9
3.5-1, 3.5-4
3.6-1
3.7-1, 3.7-2, 3.7-3
3.8-1, 3.8-3, 3.8-11, 3-8-22, 3.8-24
3.9-1, 3.9-4, 3.9-7
3.10-2, 3.10-6
3.M-2, 3.M-4, 3.M-6
 Tamanho de um sinal
 Operações com sinais
 Sinais Elementares de Tempo Discreto
 Classificação de Sist.s em Tempo Discreto
 Equações de Diferença
 Resposta de Entrada Nula
 Resposta ao Impulso Unitário (h[n])
 Resposta de Estado Nulo
 Solução Clássica de Eq.s de Difer. Lineares
 Estabilidade de Sistemas de Tempo Discreto
 Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
Solução:
3.3-7 Os conceitos de funções par e ímpar para sinais de tempo discreto são idênticos aos de
sinais contínuos no tempo, discutidos na Seção 1.5. usando estes conceitos, determine e
rascunhe as componentes par e ímpar dos seguintes sinais:
a) u[n]
b) n . u[n]
c) sen (π .n /4)
d) cos (π . n/ 4)
Solução:
a) x [ n ] =u[n]
Componente par: x e [ n ]=
x [ n ] + x [−n] u [ n ] +u[−n] 1
=
= ( 1+ δ [n ] )
2
2
2
Componente ímpar:
xo [ n]=
x [ n ]−x [−n] u [ n ] + u[−n] 1
1
=
= (−u [−n+1 ] + u[ n−1] ) = sig[n]
2
2
2
2
Esboço:
b) x [ n ] =n .u [n ]
x [ n ] + x [−n] n .u [ n ] +(−n). u[−n]
=
2
2
x [ n ]−x [−n] n .u [ n ]−(−n)u [−n]
=
Componente ímpar: x o [ n ] =
2
2
Componente par: x e [ n ]=
Esboço:
c) x [ n ] =sen ( π . n/ 4)
Componente par: x e [ n ]=0
Componente ímpar: x o [ n ] =sen ( π . n /4)
Esboço:
d) x [ n ] =cos( π . n/4)
Componente par: x e [ n ]=0
Componente ímpar: x o [ n ] =sen ( π . n /4)
Esboço:
3.4-2 Seja p[n] a população de um certo país no começo do n-ésimo ano. As taxas de
nascimento e mortalidade da população durante qualquer ano são 3,3 e 1,3%,
respectivamente. Se i[n] é o número total de imigrantes entrando no país durante o n-ésimo
ano, escreva a equação de diferença relacionando p[n+1], p[n] e i[n]. Assuma que os
imigrantes entram no país ao longo do ano em uma taxa uniforme.
p [ n+1 ] = p [ n ] +
3,3−1,3
3,3−1,3
∗p [ n ] +i [ n ] +
∗i [ n ] =1,02. p [n ]+ 1,02.i[n]=1,02.( p [ n]+i[n])
100
100
Expressando em operações de atraso:
p [ n ]−1,02. p [n−1]=1,02. i [n−1]
3.5-4 Resolva a seguinte EDLCC recursivamente (iterativamente) para os três primeiros termos,
e depois para os quinze primeiros termos. Condições iniciais: y[-1]=3, y[-2]=2, e entrada x[n] =
3n.u[n]. EDLCC: y [n+2]+3. y [n+1]+2 y [n]=x [ n+2]+3. x [n+1]+3 x [n ] .
Sistema de segunda ordem necessita de duas condições iniciais.
Para n=−2: y [0]+3 y [−1]+2 y [−2]=x [0]+3 x [−1]+3 x [−2]
y [ 0 ] +3 ×3+2 ×2=1+3 × 0+3 ×0 → y [ 0 ] =−12
Para n=−1: y [1]+3 y [0]+2 y [−1]=x [1]+3 x [0]+ 3 x [−1]
y [ 1 ] +3 ×(−12)+ 2×3=3+3 ×1+3 × 0→ y [ 1 ] =36
Para n=0: y [2]+3 y [1]+2 y [0 ]=x [2]+3 x [1]+3 x [0]
y [ 2 ] +3 × ( 36 ) +2 × (−12 )=9+3 ×3+3 ×1 → y [ 2 ]=−63
Solução programada (Python) para resultados iterativos dos 15 primeiros termos:
"""
SLITD : y[n+2]+3.y[n+1]+2y[n] = x[n+2]+3.x[n+1]+3x[n]
c.i.'s : y[-1]=3, y[-2]=2
Entrada: x[n] = (3**n).u[n]
Oper. Atraso: y[n] = x[n]+3(x[n-1]+x[n-2]-y[n-1])-2y[n-2]
@author: Prof. Cláudio Fleury
@date : 25/05/2021 12:33:54
"""
from numpy import arange, zeros
from pylab import stem, title, xlabel, ylabel
def u(n):
return (n >= 0)*1.
# sinal degrau unitário
def x(n):
return 3**n * u(n)
# sinal de entrada
n = arange(0,15)
y = zeros(len(n))
y[0] = x(0) + 3*(x(-1) + x(-2) -3) - 2*2
# x[0]+3(x[-1]+x[-2]-y[-1])-2y[-2]
y[1] = x(1) + 3*(x(0) + x(-1) - y[0]) -2*3
# x[1]+3(x[0]+x[-1]-y[0])-2y[-1]
for i in range(2,n[-1]):
y[i] = x(i) + 3*(x(i-1) + x(i-2) - y[i-1]) -2*y[i-2]
print(f"y[{i}] = {y[i]}")
# sinal de saída (f-string)
stem(n,x(n)); xlabel('n'); ylabel('y[n]')
# gráfico de amostras (hastes)
title("SLITD: $y[n+2]+3.y[n+1]+2y[n] = x[n+2]+3.x[n+1]+3x[n]$" + \
"\nc.i.'s: $y[-1]=3, y[-2]=2$ e $x[n] = 3^n.u[n]$")