CAPÍTULO 2
CAMPOS ESCALARES
________________________________________________________________________________
2.1 - DOMÍNIOS, GRÁFICOS E CONJUNTOS DE NÍVEL
1.
Indique o domínio de cada um dos seguintes campos escalares e represente-o.
a)
c)
e)
2.
,
,
, ,
=
+
= log 16 −
=
−4
−
1−
−
,
b)
−
+
+
−4
= log
,
d)
=
/
−
−
−3
Esboce os gráficos das seguintes funções:
a)
d)
3.
,
,
=
+
b)
= 10 −
+
Considere o campo escalar
a) Qual o seu domínio?
e)
,
,
,
=
=4−
= 1−
+
−
c)
−
,
=
16 − 4
−
⁄
b) Esboce o seu gráfico.
c) Qual a sua imagem?
4.
Identifique os conjuntos de nível das funções dadas a seguir e esboce, se possível, alguns
elementos de cada um desses conjuntos
a)
d)
f)
,
,
, ,
=4
=
=
+
+
+
b)
−4
+
e)
g)
,
, ,
, ,
=
−
= +
=
+
c)
,
h)
, ,
+4
+ 25
=
−
=
+
−
10
2.2 – LIMITES, LIMITES DIRECIONAIS E CONTINUIDADE
1.
Calcule, usando as regras de cálculo conhecidas, os seguintes limites
,
a)
2.
lim
→
3.
,
Seja
,
4.
3!
,
,
Seja
Terá
2
-2
=
b)
−
/
lim $lim
→
→
,
limite quando
,
=
/
,
+
%=1
Seja
,
=2
/
+
lim $lim
→
Considere o campo escalar
,
a) Calcule o limite de
caminhos:
i) do eixo Ox
b) Existirá
,
+
para ,
,
,
mas que não existe limite quando
5.
,
=
quando
→ ,
,
2!
,
2
,
→
' = −1
≠ 0. Calcule o limite de
,
% = lim &lim
−
→
→
/
,
limite quando
≠ 0,0 . Mostre que
→ 0,0 .
ii) do eixo Oy
lim
→
= ( . Terá
→
- 4
lim &lim
e
para
→ 0,0 ao longo das retas
→ ,
4
≠ − . Mostre que:
para
→ 0,0 ?
+
,
lim
+
,
,
quando
→ 0,0 ?
'
, para
,
≠ 0,0 .
tende para 0,0 ao longo de cada um dos seguintes
iii) da recta y = x
iv) da parábola
=
.
?
11
6.
Considere o campo escalar:
,
,
a) Calcule o limite de
b) Calcule o limite de
c) Existirá
7.
lim
,
,
Seja
,
→ ,
,
,
8.
,
Seja
, ,! ,- ,
a) Existirá
,
=
lim
,
b) Será possível definir
9.
0 0
,! 0 1
→ ,
,
*+
≠0
=0
=( .
=
.
?
→
→ 0,0 .
*+
quando ( , ) tende para 0,0 ao longo da parábola
Mostre que lim $lim
→
0
+
quando ( , ) tende para 0,0 ao longo das retas
, ,
=
=)
com .
+
% = lim &lim
→
+
para
,
→
2
/ ≠ 0.
−
', mas que não existe limite quando
≠0.
?
0,0 de modo a que
,
seja contínua na origem?
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
a)
b)
,
,
=3
=)
+2
2
,! ,
0
em −1,3
*+
*+
,
,
≠ 0,0
= 0,0
, no ponto
10.
Seja : ℝ6 → ℝ uma transformação linear. Mostre que
11.
Seja : ℝ6 → ℝ tal que
0,0 .
é contínua em cada ponto 7 ∈ ℝ6 .
= ‖ ‖. Prove que é contínua.
12
SOLUÇÕES DE ALGUNS EXERCÍCIOS:
2.1 - DOMÍNIOS, GRÁFICOS E CONJUNTOS DE NÍVEL
1.a) :;( = < ,
c) :;( = < ,
d) :;( = < ,
e) :;( = < , ,
∈ℝ :
+
∈ℝ :
+
∈ℝ :
∈ ℝB :
≠
=< , ,
c) DE7
=F , ,
∈ ℝB : 4
e) DE7
=< , ,
∈ ℝB :
∈ ℝB :
=F , ,
d) DE7
∈ ℝB :
=F , ,
∈ ℝB :
3. a) :;( = < ,
b) DE7
=F , ,
∈ℝ :
∈ ℝB :
c) Im
= .0,1/
b) < ,
∈ℝ :
−
∈ℝ :
−2
4. a) < , ∈ ℝ : 4
vazio
c) < ,
d) < ,
+
∈ℝ : −
< 16 ∧
+
2. a) DE7
b) DE7
≥ 4>
>;
,
,
,
+
+
∈ℝ ∧
=
=
≤ 16 ∧
∈ℝ ∧
∈ℝ ∧
+
≥ 4>
≤ 1>
∈ℝ ∧
,
+
+
b) :;( = < ,
≤ 1>
≤1∧
+
=
+
= 10 −
=4−
=
>
G
16 − 4
−
1−
−
+
G
−
G;
>
∈ℝ :
>
+ 3>
G
= C>; se C>0 são elipses, se C =0 é o ponto (0,0) e se C <0 é o conjunto
= C>; são parábolas com eixo em Oy e vértice ao longo deste eixo.
= C>; são retas com declive 1 e com ordenada na origem arbitrária.
+
= C + 4>; se C >-4 são circunferências de centro (2,0) e de raio
√C + 4, se C =-4 é o ponto(2,0) e se C <-4 é o conjunto vazio
e) < , , ∈ ℝB : = C −
(0,0, C)
f) F , ,
∈ ℝB : = C −
h) < , ,
∈ ℝB :
−4
+
>; são paraboloides de secção elíptica, de eixo Oz e de vértice
G; são superfícies cónicas de eixo Oz e de vértice (0,0, C).
g) < , , ∈ ℝB : +
= C − 25>: se C >25 são superfícies cilíndricas circulares de eixo Oz
e de raio √C − 25, se C =25 é o eixo Oz, (0,0, z) ∀ z ∈ ℝ , e se C <25 é o conjunto vazio.
+
−
= C>;
13
se C >0 são hiperboloides de uma folha com eixo Oz, se C =0 é a superfície cónica de eixo Oz
e vértice no ponto (0,0,0) e se C <0 são hiperboloides de duas folhas com eixo Oz.
2.2 – LIMITES, LIMITES DIRECIONAIS E CONTINUIDADE
−
1 a)
2
3
b) 0
2. Não, porque os limites iterados são diferentes.
lim
f(x,y) =
5. a) i) 1
ii) -1
3.
,
→ ,
KL
m2
1!m2
Não, porque o limite depende de m.
.
iii) 0
iv) 1
b) Não.
6. a) 0
b) 1
8. a) Não.
b) Não.
9.a) Contínua
b) Descontínua
c) Não.
14