MATEMATICA SEMANA N.° 1 ALGEBRA Prof.: Leonel Max Rojas Mamani POLINOMIOS Un polinomio en una variable tiene la forma: 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 GRADO DE UN MONOMIO GRADO ABSOLUTO Es la suma de los exponentes de las variables. 𝑴 𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝟔𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛𝟕 𝑮. 𝑨 = 2 + 3 + 7 = 12 𝑮. 𝑨 = 12 GRADO RELATIVO Es el exponente de cada variable. 𝑀 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 14𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 𝑮. 𝑹 𝒙 = 3 𝑮. 𝑹(𝒚) = 4 𝑮. 𝑹(𝒛) = 5 GRADO DE UN POLINOMIO GRADO ABSOLUTO Es el mayor grado absoluto de sus términos. 𝑴 𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝟒 ต 𝒙𝟑 + 𝟕𝒙𝟐 𝒚𝟑 − 𝟏𝟏𝒛𝟐 𝑮.𝑨=𝟑 𝑮.𝑨=𝟓 𝑮.𝑨=𝟐 𝑮. 𝑨.(𝑴) = 𝟓 GRADO RELATIVO Es el mayor exponente de cada variable. 𝑀 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 2𝑦𝑧 − 4𝑥 3 + 7𝑥 2 𝑦 3 − 11𝑧 2 𝑮. 𝑹.(𝒙) = 3 𝑮. 𝑹.(𝒚) = 3 𝑮. 𝑹.(𝒛) = 2 CLASES DE POLINOMIOS POLINOMIO HOMOGÉNEO Todos sus términos son de igual grado absoluto. 9 𝑦 2 + 3𝑥 10 𝑦 𝑃 𝑥; 𝑦 = 6𝑥 4 𝑦 7 − 𝑥ถ 𝐺.𝐴=11 𝐺.𝐴=11 𝐺.𝐴=11 POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Es aquél cuyos coeficientes de los términos son ceros. 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎 = 0, 𝑏 = 0, c = 0 𝑐 = 0 POLINOMIO MÓNICO Polinomio de una variable que tiene coeficiente principal uno. 𝑃(𝑥) = 1𝑥 5 + 8𝑥 + 7 POLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el cero. 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 − 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 − 3𝑦 3 Es completo respecto respecto a "𝑦". "𝑥" y también POLINOMIO ORDENADO Si los exponentes de una variable presentan un orden ya sea ascendente o descendente respecto a esa variable será ordenado. 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 8 − 2𝑥 2 𝑦 6 + 𝑥 6 𝑦 2 − 𝑥 10 𝑦 Es ordenado descendentemente respecto a "𝑦" mientras que respecto a "𝑥" es ascendente. POLINOMIOS IDÉNTICOS Si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales. 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑄(𝑥) = 𝑚𝑥 2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 Si 𝑷(𝒙) ≡ 𝑸(𝒙) si 𝑎 = 𝑚, 𝑏 = 𝑛, 𝑐 = 𝑝. POLINOMIOS EQUIVALENTES Son aquellos que teniendo formas distintas, al asignar cantidades iguales a sus variables dan como respuesta igual valor numérico. 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑦 𝑄(𝑥; 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 P 3; 2 = 32 − 3.2 + 22 3 + 2 = 35 Q 3; 2 = 33 + 23 = 35 𝐏 𝟑; 𝟐 = 𝐐 𝟑; 𝟐 = 𝟑𝟓 GRADO DE LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS Grado de un producto: Se suman los grados absolutos de los factores. (𝑥 2 − 𝑥𝑦)(𝑥 4 − 3𝑦)) G.A. = 2 + 4 = 6 Grado de un cociente: Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor. 13𝑥 8 − 𝑥 3 𝑦 G.A. = 8 – 4 G.A. 4 𝑥 + 7𝑦 48 dado por el Grado de una potencia:=Está grado de la base multiplicado por el exponente. G.A. = 5 . 3 = 15 (𝑥 5 − 8𝑦 4 )3 Grado de una raíz: Se divide el grado del radicando entre el índice de la raíz. 3 27x18 G.A. = 18/3 = EJERCICIOS 6 DIVISIÓN ALGEBRAICA MÉTODO DE HORNER: 𝟑𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟖 • DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE HORNER 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒 ÷ 1 3 -𝟑 -𝟏 -6 -9 12 30 -10 𝑷(𝒙) 𝒅(𝒙) 𝟒 3 -10 −𝟖 36 -4𝟎 -𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟒𝟒 𝟑𝟔 -143 𝟏𝟑𝟔 𝒒 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟔 • DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFFINI 𝟓 r 𝒙 = −𝟏𝟒𝟑𝒙 + 𝟏𝟑𝟔 𝟔𝒙4 − 5𝒙3 + 10𝒙2 − 30𝒙 − 8 𝟐𝒙 − 3 𝑷(𝒙) 𝒂𝒙 + 𝒃 -5 10 −𝟑𝟎 −𝟖 9 6 24 −9 6 4 16 −6 3 2 8 6 2𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝒙= 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ÷𝟐 𝒒 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 −𝟏𝟕 −𝟑 r 𝒙 = −𝟏𝟕 5 SIGUIENTE EJERCICIOS DIVISIÓN ALGEBRAICA DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE HORNER 𝑷(𝒙) 𝒅(𝒙) DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFFINI 𝑷(𝒙) 𝒂𝒙 + 𝒃 EJERCICIOS CUADRADO DE UN BINOMIO (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎 2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 IDENTIDADES DE LEGENDRE (𝑎 + 𝑏)2 +(𝑎 − 𝑏)2 = 2(𝑎 2 + 𝑏 2 ) (𝑎 + 𝑏)2 − 𝑎 − 𝑏 2 = 4𝑎𝑏 CUBO DE UN BINOMIO (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎 3 + 3𝑎 2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎 3 + 𝑏 3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎 3 − 3𝑎 2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎 3 − 𝑏 3 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) DIFERENCIA DE CUADRADOS 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = a2 − b2 DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS 𝑎 3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎 3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) TRINOMIO AL CUADRADO 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 TRINOMIO AL CUBO 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 = 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐 3 + 3 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑐 CASOS PARTICULARES: 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 𝑥4 + 𝑥2 + 1 𝑥 2𝑛 + 𝑥 𝑛 + 1 𝑥 2𝑛 − 𝑥 𝑛 + 1 = 𝑥 4𝑛 + 𝑥 2𝑛 + 1 IDENTIDADES CONDICIONALES 𝐒𝐢: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟎, se cumple: 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = −2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 𝑎 3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 = 3𝑎𝑏𝑐 IDENTIDAD DE LAGRANGE 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 2 + 𝑎𝑦 − 𝑏𝑥 2 = (a2 + 𝑏 2 )(𝑥 2 + 𝑦 2 ) IDENTIDAD DE ARGAND 𝑥 2𝑚 + 𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 + 𝑦 2𝑛 𝑥 2𝑚 − 𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 + 𝑦 2𝑛 = 𝑥 4𝑚 + 𝑥 2𝑚 𝑦 2𝑛 + 𝑦 4𝑛 EJERCICIOS MATEMATICA SEMANA N.° 2 Prof.: Leonel Max Rojas Mamani FACTORIZACIÓN Es la transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos. factorización 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟐𝟐 = 𝒙 + 𝟏𝟏 𝒙 − 𝟐 multiplicación 𝒙𝟐 𝒚 =𝟏 𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒙𝒚 𝒙 𝒙𝟐 𝒚 =𝒚 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟐 𝒚 =𝒙 𝒙𝒚 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚 𝟏 Tiene 6 factores totales. Tiene 5 factores algebraicos. 𝒙 Tiene 2 factores primos. ቊ 𝒚 Entonces: 𝑷 𝒙 = 𝒂𝜶 . 𝒃𝜷 . 𝒄𝜽 , donde 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 son primos entre sí. Número de factores totales: # 𝒇. 𝒕. = 𝜶 + 𝟏 𝜷 + 𝟏 𝜽 + 𝟏 Número de factores algebraicos: # 𝒇. 𝒂. = # 𝒇. 𝒕. −𝟏 Número de factores primos: 𝑺𝒐𝒏 𝟑: 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 Ejemplo: 𝒙𝟒 𝒙 − 𝟓 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟕 𝟑 # 𝒇. 𝒕. = 𝟒 + 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟑 + 𝟏 = 𝟔𝟎 # 𝒇. 𝒂. = 𝟔𝟎 − 𝟏 = 𝟓𝟗 𝒙 # 𝒇. 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔 = 𝟑 ቐ 𝒙 − 𝟓 𝒙𝟐 +7 1. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN 1.2 FACTOR COMÚN POLINOMIO (FCP) 1.1. FACTOR COMÚN MONOMIO (FCM) Factorizar: 𝒏 𝒎 + 𝒚 Factorizar: 𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟒 + 𝟖𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝟒 𝒚𝟓 Luego: 𝒎 + 𝒚 Luego: 𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟐 es el factor común monomio. 𝟐 𝟐 𝟒𝒙 𝒚 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝟐 + 𝒎+𝒚 𝟑 es el factor común Polinomio. 𝒎+𝒚 𝟏 𝟐 𝟐 𝒎+𝒚 𝒏+ 𝒎+𝒚 𝟐 𝒏+𝒎+𝒚 𝟏 También: También: # 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 = (𝟐 + 𝟏)(𝟐 + 𝟏)(𝟏 + 𝟏) = 𝟏𝟖 # 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 = (𝟐 + 𝟏)(𝟏 + 𝟏) = 𝟔 # 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝑨𝒍𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂𝒊𝒄𝒐𝒔 = 𝟏𝟖 − 𝟏 = 𝟏𝟕 # 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝑨𝒍𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂𝒊𝒄𝒐𝒔 = 𝟔 − 𝟏 = 𝟓 # 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔 = 𝟑 # 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔 = 𝟐 𝒙 ; 𝒚 ; 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒎 + 𝒚 ;𝒏 + 𝒎 + 𝒚 1.3. FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Factorizar: 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝒂𝟐 𝒙 − 𝟐𝒂𝟐 𝒚 − 𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙𝒚 Factorizar: 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟐𝒙 𝟐 − (𝟓)𝟐 ( 𝟐𝒙− 𝟓 )( 𝟐𝒙+ 𝟓 ) 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝒂 𝒂𝒙 − 𝟐𝒂𝒚 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝒂 𝒂(𝒙 − 𝟐𝒚) −𝒙(𝒙 − 𝟐𝒚) 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝟐𝒚) (𝒂 − 𝒙) 2. FACTORIZACIÓN POR IDENTIDADES 𝒂±𝒃 𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒂±𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝒃𝟑 ± 𝟑𝒂𝒃 𝒂 ± 𝒃 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃) 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) Factorizar: 𝒙𝟒 − 𝟏 𝒙 𝟐 𝟐 − (𝟏)𝟐 ( 𝒙𝟐 − 𝟏 )( 𝒙𝟐 + 𝟏 ) ( 𝒙 − 𝟏 )( 𝒙 + 𝟏 ) (𝒙𝟐 + 𝟏) Factorizar: 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝒙 𝟑 − (𝟓)𝟑 (𝟐𝒙 − 𝟓) (𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓) 3. FACTORIZACIÓN POR EL MÉTODO DEL ASPA Se emplea para factorizar trinomios de la forma general: 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝑨𝒙𝟐𝒎 + 𝑩𝒙𝒎 𝒚𝒏 + 𝑪𝒚𝟐𝒏 𝟒𝒙𝟔 − 𝟑𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝒚𝟒 𝒙𝟑 +𝒚𝟐 Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado. 𝐏𝐨𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐜𝐞𝐫𝐨𝐬 = ± Factorizar: 𝟒𝒙𝟔 − 𝟑𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝒚𝟒 𝟒𝒙𝟑 4. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS 𝐃𝐢𝐯𝐢𝐬𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐢𝐧𝐝𝐞𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐃𝐢𝐯𝐢𝐬𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐫𝐢𝐧𝐜𝐢𝐩𝐚𝐥 Factorizar: 𝑷 𝒙 = 𝟏𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒 𝑪𝑷 = 𝟏 ∧ 𝒕. 𝒊. = 𝟒 = −𝒚𝟐 = +𝒙𝟑 𝒚𝟐 −𝟒𝒙𝟑 𝒚𝟐 −𝟑𝒙𝟑 𝒚𝟐 𝟒𝒙𝟑 +𝒚𝟐 𝒙𝟑 −𝒚𝟐 𝟏; 𝟐; 𝟒 𝐏. 𝐂. = ± 𝟏 → 𝐏. 𝐂. = ±𝟏; ±𝟐; ±𝟒 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒 → 𝐏. 𝐂. = ±𝟏; ±𝟐; ±𝟒 𝒙 = −𝟏 𝟏 𝒙 = −𝟐 𝟒 𝟔 𝟏𝟑 𝟏𝟐 −𝟏 −𝟓 −𝟖 −𝟒 𝟓 −𝟐 𝟖 −𝟔 𝟒 −𝟒 𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 𝟑 𝒙 𝒙+𝟐 𝑷 𝒙 = 𝒙+𝟏 𝑷 𝒙 = 𝒙+𝟏 𝒙+𝟐 𝑷 𝒙 = 𝒙+𝟏 𝟐 𝒙+𝟐 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙+𝟏 𝒙+𝟐 𝟐 ECUACIONES CUADRÁTICAS 1. Forma general: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 A. Por aspa simple 𝒙𝟏,𝟐 Resolver: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎 −𝟓 = −𝟓𝒙 𝟒𝒙 𝒙 𝟐 = 𝟖𝒙 +𝟑𝒙 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟎 𝟓 𝒙= 𝟒 ∨ ∨ B. Por fórmula general: −𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟐𝒂 −𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 −𝒃 − 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ⋀ 𝒙𝟐 = 𝒙𝟏 = 𝟐𝒂 𝟐𝒂 Resolver: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝒂 = 𝟐, 𝒙𝟏,𝟐 = − 𝟓 ± 𝒙+𝟐=𝟎 𝒙 = −𝟐 𝟓 𝑪𝑺 = −𝟐; 𝟒 𝒃 = 𝟓, 𝒙𝟏,𝟐 𝒄 = −𝟏 𝟓 𝟐 − 𝟒 𝟐 −𝟏 𝟐 𝟐 −𝟓 ± 𝟑𝟑 = 𝟒 −𝟓 + 𝟑𝟑 𝒙𝟏 = 𝟒 ⋀ 𝒙𝟐 = −𝟓 − 𝟑𝟑 𝟒 2. Análisis de la discriminante: 𝒙𝟏,𝟐 = −𝒃 ± 𝒃𝟐 3. Propiedades de las raíces: − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝐒𝐢: 𝒙𝟏 ⋀ 𝒙𝟐 𝒔𝒐𝒏 𝒓𝒂í𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒆: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝐒𝐮𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐫𝐚í𝐜𝐞𝐬: 𝒙𝟏 + 𝒙 𝟐 = −𝒃 𝒂 △= 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒓𝒊𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒄 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 𝒂 𝐏𝐫𝐨𝐝𝐮𝐜𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐫𝐚í𝐜𝐞𝐬: △ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Se cumple que: △> 𝟎; 𝐏𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭𝐚 𝟐 𝐫𝐚í𝐜𝐞𝐬 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐝𝐢𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬. Diferencia de raíces: △= 𝟎; 𝐏𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭𝐚 𝟐 𝐫𝐚í𝐜𝐞𝐬 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐞𝐬. △< 𝟎; 𝐏𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭𝐚 𝟐 𝐫𝐚í𝐜𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐣𝐚𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐠𝐚𝐝𝐚𝐬. 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 △ 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = = 𝒂 𝒂 Recuerda: 𝐍𝐮𝐦𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐢𝐦𝐚𝐠𝐢𝐧𝐚𝐫𝐢𝐨𝐬: 𝐍𝐮𝐦𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐣𝐨𝐬: 𝒊𝟐 = −𝟏 −𝟗 = (−𝟏)(𝟗) = (𝒊𝟐 )(𝟗) = 𝟑𝒊 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟕𝒊 Hallar el producto y suma de raíces de la siguiente ecuación: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝒂 = 𝟐, 𝒃 = 𝟓, 𝒄 = −𝟏 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝟕𝒊 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝟓 𝟐 ⋀ 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = −𝟏 𝟐 𝐒𝐢: 𝒙𝟏 ⋀ 𝒙𝟐 son raíces, entonces: 𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎 Donde: S = Suma de raíces P= Producto de raíces Hallar la ecuación de raíces: 𝒙𝟏 = 𝟐 − 𝟑 ⋀ 𝒙𝟐 = 𝟐 + 𝟑. 𝐒= 𝟐− 𝟑+𝟐+ 𝟑 = 𝟒 𝐏= 𝟐− 𝟑 𝟐+ 𝟑 =𝟏 → 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎 5. Raíces Recíprocas: Una raíz es la inversa multiplicativa de la otra. 𝒄 𝒙𝟏 . 𝒙 𝟐 = 𝟏 → =𝟏 → 𝒂=𝒄 𝒂 6. Raíces Simétricas: Una raíz es la inversa aditiva de la otra. −𝒃 𝒙𝟏 +𝒙𝟐 = 𝟎 → =𝟎 → 𝒃=𝟎 𝒂 Calcule "m" si la siguiente ecuación tiene raíces recíprocas. (𝟐𝒎 − 𝟕)𝒙𝟐 +𝟒𝒙 + 𝟗 = 𝟎 𝒎=𝟖 7. Ecuaciones cuadráticas equivalentes: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝒎𝒙𝟐 Se cumple: + 𝒏𝒙 + 𝒑 = 𝟎 𝒂 𝒃 𝒄 = = 𝒎 𝒏 𝒑 ቊ 4. Formación de la ecuación: 𝐱 𝟏 ⋀ 𝐱 𝟐 raíces.
