MANUAL SUI
SEMINARIO UNIVERSITARIO INGRESO
DIRECCIÓN INGRESO
UTN – FRLP – Seminario Universitario de ingreso
UNIDAD II:
ALGEBRA
Manipulando letras y números
CLASE 6 POLINOMIOS 1
"Los números perfectos*, como los hombres perfectos, son muy raros"
Descartes (1596 -1650)
Averiguá que son los números perfectos. Dirección de Ingreso
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DEFINICION
Un monomio es una expresión de la forma 𝑎𝑥𝑘, donde 𝑎 es un número real y 𝑘 es un entero
no negativo. Si dos se relacionan con suma o resta se tiene un binomio, si son tres es un
trinomio. En general una suma, y resta, de monomios se llama polinomio.
Toda expresión que contengan números y variables son expresiones algebraicas. Algunas
que cumplen lo anterior es monomio.
3𝑥 2
Es monomio
𝑥 2 − 4𝑦 2
Es binomio, aunque tenga más de una variable
2𝑥 −2 − 3𝑥 −3
No es polinomio, es una expresión algebraica, por
tener exponente negativo
2
3 2√𝑥 + 3
√𝑥
No es polinomio, es una expresión algebraica, por
tener exponentes fraccionarios (las raíces)
log 2 𝑥 2
No es polinomio, es una expresión algebraica, por
tener logaritmo
3 2√𝑥 + 4𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2
Pareciera no serlo, pero si separamos el primer término
del resto, este es un polinomio
3 2√𝑥 + (4𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
Acá separamos el polinomio de la expresión algebraica
Observe que el grado de un polinomio es la potencia más alta de la variable que aparece
en el polinomio.
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Otro concepto más, el de COEFICIENTE PRINCIPAL. Es el correspondiente al término de
mayor grado. Del cuadro de la página anterior, respectivamente, son: 2, 1, 1, 5, 9 y el 6.
¿Por qué el 6 del cuadro anterior es un monomio?
6 = 6𝑥 0
Si no fuera un monomio, el término constante, no sería parte de la expresión un polinomio.
Tampoco el 5𝑥 + 1 sería binomio o sea dos monomios. Recordá que cualquier número,
incluido variables, elevada a potencia 0 es igual a 1.
En resumen:
1) Identifica cada término, los separados por sumas y restas.
2) Si ves uno decís monomio, si son dos, binomio. También hay trinomios, cuatrinomios
o polinomios.
3) Buscá el término de grado mayor para determinar el grado del polinomio.
4) El coeficiente del término de mayor grado es el coeficiente principal
5) Buscá el que no veas variables o una elevada a 0, o sea es constante. Ese es el
término constante. Si hay más de un número sumarlos o restarlos.
VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO
Veamos el polinomio siguiente:
𝑃(𝑥) = 3𝑥 2 + 7𝑥 − 15
Vemos que le damos un nombre “P” y encerramos entre paréntesis a la variable. Si
reemplazamos por valores obtenemos diferentes resultados:
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𝑥=1
𝑃(1) = 3(1)2 + 7(1) − 15 = −5
𝑥=0
𝑃(0) = 3(0)2 + 7(0) − 15 = −15
𝑥 = −1
𝑃(−1) = 3(−1)2 + 7(−1) − 15 = −19
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TIPOS DE POLINOMIOS
POLINOMIOS IGUALES
Se define polinomios iguales cuando:
1) En ambos están presentes los mismos términos tanto en grado como coeficiente
2) El término constante es el mismo
𝑃(𝑥) = 3𝑥 2 + 7𝑥 − 15
𝑄(𝑧) = 3𝑧 2 + 7𝑧 − 15
Si bien las variables son diferentes, ante los mismos valores se obtiene el mismo resultado.
POLINOMIO SEMEJANTE
Similar, mismos términos en grado y coeficiente, pero el término independiente no.
𝑃(𝑥) = 3𝑥 2 + 7𝑥 − 15
𝑄(𝑧) = 3𝑥 2 + 7𝑥 + 5
POLINOMIO NULO
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
𝑃(𝑥) = 0𝑥 2 + 0𝑥 − 0
Ya dijimos que el término independiente también es un monomio por tener una variable
elevada a cero.
𝑃(𝑥) = 0
POLINOMIO HETEROGÉNEO
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3
POLINOMIO HOMOGÉNEO
Los términos de un polinomio homogéneo pueden tener variables de distinto grado, pero
la suma de ellos en cada término es igual.
𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 2 − 𝑦 3
Recordar que un x o y elevado a exponente 0 es igual a 1 por lo que podríamos decir que
tanto en el primer como en el último término están presentes:
𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 𝑦 0 + 3𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 2 − 𝑥 0 𝑦 3
Ahora sí, los exponentes de cada término suman 3.
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POLINOMIO COMPLETO
Están presentes todos los términos desde el mayor grado al término independiente.
𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3𝑥 + 2
SUMA Y RESTA
Sumamos y restamos polinomios usando las propiedades de números reales. La idea es
combinar términos semejantes (esto es, términos con las mismas variables elevados a las
mismas potencias) usando la Propiedad Distributiva. Por ejemplo,
𝑃(𝑥) = 5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 7𝑥 + 11
𝑄(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 + 9
1° PASO
𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙)
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)
𝑷(𝒙) − 𝑸(𝒙)
3
2
3
=
5𝑥 − 2𝑥 + 7𝑥 + 11 + (2𝑥 − 3𝑥 + 9)
=
5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 7𝑥 + 11 + 2𝑥 3 − 3𝑥 + 9
=
5𝑥 3 + 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 7𝑥 − 3𝑥 + (11 + 9)
3
2
=
(5 + 2)𝑥 − 2𝑥 + (7 − 3)𝑥 + 20
=
7𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 + 20
=
5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 7𝑥 + 11 − (2𝑥 3 − 3𝑥 + 9)
=
5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 7𝑥 + 11 − 2𝑥 3 + 3𝑥 − 9
=
5𝑥 3 − 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 7𝑥 + 3𝑥 + (11 − 9)
=
(5 − 2)𝑥 3 − 2𝑥 2 + (7 + 3)𝑥 + 2
=
3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 10𝑥 + 20
El segundo polinomio encerrarlo
entre paréntesis (cuando es suma
no es necesario)
2° PASO
Sacar paréntesis. Cuando es resta
cambiar todos los signos. Acá
muchos se equivocan.
3° PASO
Agrupar por términos del mismo
grado respetando los signos. Acá
también hay que prestar atención.
4° PASO
Sacar el factor común
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)
5° PASO
Resolver cada paréntesis
“Hay que recordar que cuando delante de un paréntesis hay un signo menos,
CAMBIA TODOS LOS SIGNOS QUE HAY DENTRO”
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
Cuando multiplicamos trinomios u otros polinomios con más términos, usamos la
Propiedad Distributiva.
Primero empecemos viendo que pasa si multiplicas dos monomios. Recordá que cuando
multiplicas dos potencias de la misma base, LOS EXPONENTES SE SUMAN.
(5𝑥 3 ). (3𝑥 2 ) → (5.3). (𝑥 3 . 𝑥 2 ) → 15𝑥 (3+2) → 15𝑥 5
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Ahora aplicamos la propiedad distributiva. Es fundamental que lo hagas ordenado ya que
muchos se equivocan por distracción o por apuro.
1° PASO
Ejemplo:
Cada término del primer polinomio multiplica a todo
el segundo polinomio. Ojo, respetar los signos
(𝑥 − 2). (2𝑥 2 − 3𝑥 + 5) =
2° PASO
= 𝑥. (2𝑥 2 − 3𝑥 + 5) − 2. (2𝑥 2 − 3𝑥 + 5)
= 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 4𝑥 2 + 6𝑥 − 10
= 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 4𝑥 2 + 5𝑥 + 6𝑥 − 10
= 2𝑥 3 + (−3 − 4)𝑥 2 + (5 + 6)𝑥 − 10
Aplicar la propiedad distributiva respetando la regla
de los signos. Si el término que premultiplica el
paréntesis es negativo, cambia todos los signos
internos
3° PASO
Ordenar el polinomio agrupando los términos del
mismo grado
4° PASO
= 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 11𝑥 − 10
Sacar factor común y resolver cada paréntesis. Si el
interior queda negativo, cambia el signo del término
que queda
POTENCIAS DE POLINOMIOS
Como toda potencia es la multiplicación de la base tantas veces como indica el exponente.
Lo más comunes son potencias de binomios.
Ejemplo 1: Binomio al cuadrado, suma
(𝑥 + 𝑦)2 = (𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦) = 𝑥(𝑥 + 𝑦) + 𝑦(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 + 𝑦 2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
Ejemplo 2: Binomio al cuadrado, resta
(𝑥 − 𝑦)2 = (𝑥 − 𝑦). (𝑥 − 𝑦) = 𝑥(𝑥 − 𝑦) − 𝑦(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦𝑥 + 𝑦 2 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
Resumen del binomio al cuadrado
(𝑥 ± 𝑦)2 = 𝑥 2 ± 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
1° PASO
Reconocer cada término del binomio
2° PASO
En la construcción incluir cada coeficiente. Hacer:
Ejemplos de aplicación:
Cuadrado del primer término
(2𝑥 + 3𝑦)2 = (2𝑥)2 + 2.2𝑥. 3𝑦 + (3𝑦)2
(2𝑥 + 3𝑦)2 = 4𝑥 2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2
2
2
2
2
2
2
2
(𝑥 − √2) = 𝑥 2 − 2. 𝑥. √2 + (√2)
2
(𝑥 − √2) = 𝑥 2 − 2√2𝑥 + 2
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Doble producto del primer y segundo término
Cuadrado del segundo término
3° PASO
El segundo término resultante, el doble producto…, tiene
el mismo signo del binomio inicial
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Ejemplo 3: Binomio al cubo, suma
(𝑥 + 𝑦)3 = (𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦)
(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥(𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) + 𝑦(𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
Para resolver este triple producto usamos lo
que aprendimos del cuadrado del binomio.
Hacemos la propiedad distributiva sobre el
binomio cuadrado.
(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 + 𝑦𝑥 2 + 2𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
Si hacemos el binomio elevado al cuadrado
usamos el cubo y así sucesivamente
(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) + 𝑦(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)
(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
Ejemplo 3: Binomio al cubo, suma
(𝑥 − 𝑦)3 = (𝑥 − 𝑦). (𝑥 − 𝑦). (𝑥 − 𝑦)
(𝑥 − 𝑦)3 = 𝑥(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦) − 𝑦(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
(𝑥 − 𝑦)3 = 𝑥(𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) − 𝑦(𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
Ojo con los signos
(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 − 𝑦𝑥 2 + 2𝑥𝑦 2 − 𝑦 3
(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 − 𝑦 3
Resumen del binomio al cuadrado
ARMADO
Cubo del primer término
(𝑥 ± 𝑦)3 = 𝑥 3 ± 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 ± 𝑦 3
Triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Cubo del segundo término
SIGNOS
Los signos son alternados empezando positivo
Ejemplos de aplicación:
(2𝑥 + 3𝑦)3 = (2𝑥)3 + 3. (2𝑥)2 . 3𝑦 + +3.2𝑥. (3𝑦)2 + (3𝑦)3
(2𝑥 + 3𝑦)2 = 8𝑥 3 + 36𝑥 2 𝑦 + 54𝑥𝑦 2 + 27𝑦 3
2
3
2
2
2
2
2
2
(𝑥 − √2) = 𝑥 3 − 3. (𝑥)2 . 3√2 + +3. 𝑥. (√2) − (√2)3
2
2
(𝑥 − √2) = 𝑥 3 − 9√2𝑥 2 + 6𝑥 − √8
DIVISION
DIVISIBILIDAD
Cuando multiplicamos polinomios obtenemos otro polinomio. Es claro que si dividimos
polinomios podemos obtener otros polinomios.
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Cuando vimos conjuntos numéricos aprendimos que un entero se halla compuesto por un
conjunto de factores primos. También que esos factores, y combinaciones de ellos, son
divisores de ese entero o mejor dicho, ese entero es divisible por ellos.
4
=
2.2
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
=
(𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦)
8
=
2.2.2
𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
=
(𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦)
Cada binomio no se puede separar en otros polinomios. Se dice que son FACTORES
PRIMOS del polinomio.
s decir, en el segundo caso el polinomio es DIVISIBLE por esos factores al cubo, al
cuadrado o el factor mismo sin elevar al igual que el 8 es divisible por 2, por 4 o por el 8
mismo. Claro, además del 1.
USO DE LOS DIVISORES PARA DIVIDIR
Sin entrar en un tema de una clase posterior, que es el de factorización, vemos para que
sirve conocer los factores de un polinomio, para simplificar expresiones:
𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
=
(𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦)
(𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦)
𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
=
𝑥+𝑦
Significado:
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
𝒙 = 𝟐, 𝒚 = 𝟑
𝑃(2,3) = 23 + 3. 22 . 3 + 3.2. 32 + 33 = 125
𝑄(2,3) = 22 + 2.2.3 + 32 = 25
𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
=𝑥+𝑦
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
125
=2+3
25
125
=5
25
Como verás, es más fácil simplificar la división de polinomios y reemplazar en el resultado,
que resolver el valor numérico de cada uno por separado y luego hacer la división.
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RESTO DE UNA DIVISIÓN
Vimos en los números fraccionarios, que
a veces una división de enteros no es
exacta. Puede resultar un entero, si el
denominador es divisible o puede
obtenerse una fracción:
36
= 18
2
35
1
= 17 +
2
2
17 1
=
34 2
En una división de polinomios podemos obtener:
-Un polinomio
-Un polinomio más un resto
DIVISION DE UN POLINOMIO POR UN ENTERO
Se aplica la propiedad distributiva:
4𝑥 2 − 9𝑥 + 28 4 2 9
28
9
= 𝑥 − 𝑥+
= 2𝑥 2 − 𝑥 + 14
2
2
2
2
2
DIVISION LARGA
Cuando no podemos dividir los polinomios en factores y
proceder a la simplificación, o si esta no permite reducir
satisfactoriamente la fracción, procedemos a la división
larga. Esta equivale a la división de enteros de varias
cifras.
Antes vamos a aprender una pequeña técnica, completar polinomio. La idea es colocar los
términos de los grados faltantes sin alterarlo. Es sencillo, agregarle monomios nulos o sea
con coeficiente 0.
𝑃(𝑥) = 𝑥 5 + 2𝑥 3 − 𝑥 − 8
𝑄(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1
𝑃(𝑥) = 𝑥 5 + 0𝑥 4 + 2𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 8
Ahora vamos a dividir P/Q
1° PASO: Armamos la división completando cada polinomio
𝑥 5 + 0𝑥 4 + 2𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 8
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𝑥 2 − 2𝑥 + 1
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2° PASO: El primer término del COCIENTE tiene que ser tal que al multiplicar el primer
término del DIVISOR anule el primer término del DIVIDENDO mediante una resta.
𝑥 5 + 0𝑥 4 + 2𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 8
𝑥 2 − 2𝑥 + 1
𝑥3
3° PASO: Ese término hallado multiplica al DIVISIOR siguiendo la propiedad distributiva.
No te olvides de encerrarlo en paréntesis para marcar bien que es una resta y no confundir
los signos
𝑥 5 + 0𝑥 4 + 2𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 8
−(𝑥 5 − 2𝑥 4 + 𝑥 3 )
𝑥 2 − 2𝑥 + 1
𝑥3
4° PASO: hacemos la resta término a término. Si no hay nada que restar, se mantiene el
término del dividendo. Ver como queda un polinomio reducido en un grado.
𝑥 5 + 0𝑥 4 + 2𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 8
−(𝑥 5 − 2𝑥 4 + 𝑥 3 )
0𝑥 5 + 2𝑥 4 + 𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 8
𝑥 2 − 2𝑥 + 1
𝑥3
3° PASO: Seguimos hasta agotar los términos del DIVIDENDO
𝑥 5 + 0𝑥 4 + 2𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 8 𝑥 2 − 2𝑥 + 1
𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 8
−(𝑥 5 − 2𝑥 4 + 𝑥 3 )
𝟎𝒙𝟓 + 2𝑥 4 + 𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 8
−(2𝑥 4 − 4𝑥 3 + 2𝑥 2 )
0𝑥 5 + 𝟎𝒙𝟒 + 5 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 − 8
−(5𝑥 3 − 10𝑥 2 + 5𝑥)
0𝑥 5 + 0𝑥 4 + 𝟎 𝒙𝟑 + 8𝑥 2 − 6𝑥 − 8
−(8𝑥 2 − 16𝑥 − 8)
0𝑥 5 + 0𝑥 4 + 0 𝑥 3 − 𝟎𝒙𝟐 + 10𝑥 − 16
Ya no podemos seguir porque llegamos al término independiente en el COCIENTE.
Al resto se suele expresar con la letra R:
𝑅(𝑥) = 10𝑥 − 16
Al cociente con la letra C:
𝐶(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 8
10 | P á g i n a
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El polinomio dividido queda expresado como:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑥 5 + 2𝑥 3 − 𝑥 − 8
𝑥 2 − 2𝑥 + 1
𝑃(𝑥)
=
𝐶𝑂𝐶𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑥 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝑂𝑅 + 𝑅𝐸𝑆𝑇𝑂
𝑃(𝑥)
=
𝐶(𝑥) 𝑥 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
𝑃(𝑥)
=
(𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 8). (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + (10𝑥 − 16)
Otra forma de expresarlos es (debes saber ambas):
𝑃(𝑥)
=
𝐶(𝑥) 𝑥 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐶(𝑥) +
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
(𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 8) +
𝐷𝐼𝑉𝐼𝐷𝐸𝑁𝐷𝑂
𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝑂𝑅
=
𝐶𝑂𝐶𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
(10𝑥 − 16)
(𝑥 2 − 2𝑥 + 1)
𝑅𝐸𝑆𝑇𝑂
𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝑂𝑅
Comprobación: Utilizando un valor para x. En general con 1 y 0 es más fácil de comprobar:
𝑥=1
𝑥 5 + 2𝑥 3 − 𝑥 − 8
𝑥 2 − 2𝑥 + 1
15 + 2. 13 − 1 − 8
12 − 2.1 + 1
−6
0
=
=
(10𝑥 − 16)
(𝑥 2 − 2𝑥 + 1)
(10.1 − 16)
(13 + 2. 12 + 5.1 + 8) + 2
(1 − 2.1 + 1)
(𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 8) +
=
𝑁𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑟 0
=
(𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 8) +
𝑥=0
𝑥 5 + 2𝑥 3 − 𝑥 − 8
𝑥 2 − 2𝑥 + 1
5
0 + 2. 03 − 0 − 8
02 − 2.0 + 1
−8
1
−8
=
=
=
(10𝑥 − 16)
(𝑥 2 − 2𝑥 + 1)
(10.0 − 16)
(03 + 2. 02 + 5.0 + 8) + 2
(0 − 2.0 + 1)
−16
8+(
)
1
−8
Como vemos ambos lados de la ecuación llegamos al mismo valor, estamos
razonablemente seguros de que lo hicimos bien.
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P á g i n a | 11
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“Las divisiones de polinomios requieren concentración, es fácil de equivocarse
en algún signo. No te olvides de comprobarla haciendo:
DIVIDENDO/DIVISOR = COCIENTE + RESTO/DIVISOR
TEOREMA DEL RESTO
Si un polinomio se divide por (x - a), entonces el valor numérico del polinomio en “a” es el
RESTO. Ojo, es x menos a. Es decir, si digo que a = 2, entonces se divide por (x menos 2).
Hallemos el resto de la siguiente división:
𝑃(𝑥) 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 + 5
=
𝑄(𝑥)
𝑥−2
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 + 5
−(𝑥 3 − 2𝑥 2 )
0𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 + 5
−(−𝑥 2 + 2𝑥)
𝟎𝒙𝟐 − 𝑥 + 5
−(−𝑥 + 2)
3
𝑥−2
𝑥2 − 𝑥 − 1
Usando el TEOREMA DEL RESTO es mucho más fácil. Si dividimos por (x - 2) entonces el
resto será el valor numérico de P en 2.
𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 + 5
𝑃(2) = 23 − 3. 22 + 2 + 5
𝑃(2) = 8 − 12 + 2 + 5
𝑃(2) = 3
FACTORIZACION DE POLINOMIOS
Lo dejamos para otra clase. Lo mencionamos aquí porque el TEOREMA DEL RESTO nos
ayuda a encontrar los factores de un polinomio.
Recordemos que, si un entero tiene un divisor, su división no produce restos. Ejemplo: el
3 es divisor del 6 porque 6/3 no da resto. 4 no lo es porque da resto 2.
Entonces si un factor de la forma (x – a) es FACTOR PRIMO de un polinomio, su valor
numérico en “a” es 0. Es decir, su resto es 0.
Ejemplo:
(𝑥 + 2)2 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4
12 | P á g i n a
→ 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2)
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Hemos separado al polinomio de grado 2 en dos factores. Pareciera ser FACTORES
PRIMOS. De esta manera si aplicamos el teorema del resto debería decirnos QUE NO HAY
RESTOS.
𝑃(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4
𝑃(−2) = (−2)2 + 4. (−2) + 4
𝑃(−2) = 4 − 8 + 4
𝑃(−2) = 0
Ya sabíamos que (x – 2) era factor primo por la simple razón que armamos el polinomio
partiendo de él y sin introducir restos. Pero si no lo hubiéramos hecho y nos preguntan si
lo es, la aplicación del Teorema del Resto nos dará la respuesta:
Ejemplo:
¿Es (𝑥 − 2) un FACTOR PRIMO de 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥 + 2?
𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥 + 2
𝑃(2) = 𝑃(𝑥) = 23 − 4. 22 + 3.2 + 2
𝑃(2) = 8 − 16 + 6 + 2
𝑃(2) = 0
Si, es factor primo.
DESPRENDIMIENTO DEL TEOREMA DEL RESTO
Si nos dicen que construyamos un polinomio con factores primos (x – 2), (x + 1) y (x – 3)
nos están diciendo que el polinomio resultante es la multiplicación de ellos entre sí. Como
no nos dicen “únicamente estos factores…” no cambia si le agregamos más factores, en
este caso multiplicamos por cualquier número real que simbolizamos con la letra “a”:
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 2). (𝑥 + 1). (𝑥 − 3)
Si hacemos a = 1 y realizamos la multiplicación nos arroja:
𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6
Corroborarlo en clase con el teorema del resto, si el polinomio resultante efectivamente
tiene los factores primos propuestos.
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MANUAL SUI
DIVISION SINTETICA o REGLA DE RUFFINI
Es para encontrar restos de polinomios de un grado alto usando el teorema del resto. No
reemplaza las variables haciendo que hagamos la potencia de cada una, utiliza solo los
coeficientes.
Las reglas son sencillas:
Queremos encontrar el resto de dividir 𝑃(𝑥) = 3𝑥 5 − 38𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1 por (𝑥 – 4)
1° PASO: Completamos el polinomio a dividir
𝑃(𝑥) = 3𝑥 5 − 38𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1
𝑃(𝑥) = 3𝑥 5 + 0𝑥 4 − 38𝑥 3 + 5𝑥 2 + 0𝑥 − 1
2° PASO: Identificamos los coeficientes del polinomio a dividir y los ponemos en una fila.
Dejar un espacio entre ellos
3
0
-38
5
0
-1
3° PASO: Trazamos dos rayas en cruz. A la izquierda ponemos el opuesto del término
independiente del divisor. Es -4 por eso ponemos 4. O sea, a = 4:
3
0
-38
5
0
-1
0
-1
4
4° PASO: Bajamos el primer coeficiente debajo de la raya
3
0
-38
5
4
3
5° PASO: Lo multiplicamos por el valor de la izquierda y lo colocamos debajo del siguiente
coeficiente
3
4
0
12
-38
5
0
-1
0
12
12
-38
5
0
-1
3
6° PASO: Sumamos por columna
3
4
3
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7° PASO: Repetimos multiplicación y suma por cada columna hasta el final
3
4
3
0
12
12
-38
48
10
5
40
45
0
180
180
-1
720
719
¿Cómo interpretar el resultado?
Nos arrojó los siguientes números: 3, 12, 10, 45, 180 y 719. El último es el resto, los primeros
LOS COEFICIENTES DEL POLINOMIO RESULTANTE o sea el cociente. Eso si, se empieza
un grado menos que el original. Esto es importante.
¿Ahora entendés porque le llamamos división corta con relación a la primera que vimos?
Comprobamos
3𝑥 5 − 38𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1 = (𝟑𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝟓𝒙 + 𝟏𝟖𝟎). (𝑥 − 4) + (𝟕𝟏𝟗)
3𝑥 5 − 38𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1 = 𝑥. (3𝑥 4 + 12𝑥 3 + 10𝑥 2 + 45𝑥 + 180) − 4(3𝑥 4 + 12𝑥 3 + 10𝑥 2 + 45𝑥 + 180) + 719
3𝑥 5 − 38𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1 = 3𝑥 5 + 12𝑥 4 + 10𝑥 3 + 45𝑥 2 + 180𝑥 − 12𝑥 4 − 48𝑥 3 − 40𝑥 2 − 180𝑥 − 720 + 719
3𝑥 5 − 38𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1 = 3𝑥 5 + 12𝑥 4 − 12𝑥 4 + 10𝑥 3 − 48𝑥 3 + 45𝑥 2 − 40𝑥 2 + 180𝑥 − 180𝑥 − 720 + 719
3𝑥 5 − 38𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1 = 3𝑥 5 − 38𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1
Esta regla nos permite llegar a dos conclusiones:
1. El valor numérico del polinomio analizado para x = a es el último coeficiente hallado
si aplicamos la regla para “a”
2. S el último coeficiente hallado es 0 cuando aplicamos la regla para el valor “a”,
entonces (x – a) es un factor primo. Al polinomio resultante le podemos a su vez
aplicar la regle de Ruffini para encontrar otro factor primo
Por el punto 1 sabemos que el valor numérico en x = 4 es 719.
Por el punto 2 sabemos que (x – 4) NO ES FACTOR PRIMO de ese polinomio.
Ejemplo que demuestra que (𝑥 + 11) es un factor primo de 𝑥 3 + 8𝑥 2 − 29𝑥 + 44.
1
-11
1
8
-11
-3
-29
33
4
44
-44
0
Además, nos queda un polinomio 𝑥 2 − 3𝑥 + 4
Mas adelante usaremos esta regla para factorizar polinomios. Por ahora observá que si el
valor que estas utilizando (-11) si o si debe ser divisor del término independiente (44) ¿Por
qué? Porque al multiplicar por otro divisor debe dar un valor igual y opuesto: 4.(-11) = - 44.
¿Será que los factores primos se obtienen CON LOS DIVISORES DEL TERMINO
INDEPENDIENTE? ¿La factorización de este nos ayudará? Hummm, lo dejamos para la
próxima.
DIRECCIÓN INGRESO
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MANUAL SUI
EJERCICIOS PARA PRACTICAR EN CASA
6.1)
a)
Realiza la operación
h) (3𝑥 + 2𝑦)2 . (3𝑥 − 2𝑦)2
(7𝑥 3 + 2𝑥 2 − 11𝑥) + (−3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3)
6.4)
b)
𝑥 2 + 3𝑥 + 2
𝑥+1
𝑥 2 + 6𝑥 − 7
𝑥−1
2𝑥 2 + 7𝑥 + 5
2𝑥 + 5
3𝑥 2 + 𝑥 − 4
𝑥−1
(6𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 2) − (8𝑥 2 − 𝑥 − 2)
6.2)
Realice la operación
a) (2𝑥 + 5). (3𝑥 − 7)
b) (5𝑥 + 7𝑦). (3𝑥 + 2𝑦)
c) (2𝑢 + 3). (𝑢 − 4) + 4𝑢(𝑢 − 2)
6.5)
Realizar los ejercicios del punto
anterior que puedan hacerse por
Ruffini
6.6)
Usar el Teorema del resto para
determinar el valor numérico de los
polinomios siguientes
d) (3𝑥 + 5). (2𝑥 2 + 9𝑥 − 5 )
e) (𝑡 2 + 2𝑡 − 5). (3𝑡 2 − 𝑡 + 2 )
f) (𝑥 + 1). (2𝑥 2 − 2). (𝑥 3 + 5 )
6.3)
Expresar como polinomio
a) (3𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 − 7) + (𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 5)
b) (𝑥 + 4). (𝑥 + 3) − (2𝑥 − 1). (𝑥 − 5)
c)
(3𝑦 3
2
− 2𝑦 + 𝑦 + 4).
(𝑦 2
a) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 2 + 𝑥 − 35
𝑥=8
b) 𝑃(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2
𝑥 = 13
6.7)
− 3)
d) (𝑎 − 𝑏). (𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 )
e) (3𝑎 − 5𝑏). (2𝑎 + 7𝑏)
f) (13𝑎2 + 4𝑏). (13𝑎2 − 4𝑏)
Realizar división larga
a)
b)
Aplicando el Teorema del Resto
determinar el resto de las siguientes
divisiones
6𝑥 3 +37𝑥 2 +30𝑥−25
𝑥−1
6𝑢2 −13𝑢−12
𝑥+2
3
g) (2𝑎 + 𝑏)
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TP 6 (A RESOLVER EN CLASE)
1) ¿Cuáles de las siguientes
expresiones algebraicas son
polinomios?
4) Hallar el cociente y el resto:
a) 𝑥 2 − √𝑥 + 2
b) (𝑥 4 − 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5) ÷ (−𝑥 + 1)
1
a) (4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3) ÷ (𝑥 2 − 2)
c) (−2𝑥 4 + 3𝑥 3 + 3) ÷ (2𝑥 2 − 2)
1
b) 3𝑥 3 − 𝑥 2 + 2 𝑥 4 − 𝑥
d) (−𝑥 4 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 2) ÷ (𝑥 3 + 2)
3
c) 𝑥 3 − 2𝑥 4 + 5 𝑥 5 + 16𝑥
2
d) 3 𝑥 3 + √2𝑥 − 1
5) Usar la regla de Ruffini, verificar con el
Teorema del Resto
2) Hallar el valor numérico
a) 𝑃(𝑥) = 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 − 2
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2
a) 𝑃(𝑥) = 5𝑥 3 − 2𝑥 + 𝑥 5
𝑃(−1) =?
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 5 − 𝑥 3 − 𝑥
𝑄(𝑥) = 𝑥 − 1
1
c) 𝑃(𝑥) = 64𝑥 6 + 2
𝑄(𝑥) = 𝑥 − 1
b) 𝐻(𝑥) = 21 − 4𝑥 + 2𝑥 − 𝑥
𝐻(0) =?
d) 𝑃(𝑥) = −𝑥 5 + 𝑥 3
𝑄(𝑥) = 𝑥 +
c) 𝐺(𝑥) = 4𝑥 3 + 2𝑥 − 5𝑥 2
1
𝐺 ( ) =?
2
6) Calcular la k para que el polinomio P(x)
sea divisible por Q(x)
5
2
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥 8 − 𝑘𝑥 4 + 1
3) Dados los siguientes polinomios,
calcular según se indica:
𝑃(𝑥) = 4𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑋 + 3
𝑅(𝑥) = −4𝑥 3 + 4𝑥 − 𝑥 4
𝑆(𝑥) = 3𝑥 2 − 8𝑥
a) 𝑃(𝑥) + 2𝑅(𝑥) =
b) 𝑅(𝑥) − 𝑆(𝑥) =
c) 𝑅(𝑥) + 𝑆(𝑥) − 𝑃(𝑥) =
d) 𝑅(𝑥). 𝑆(𝑥)2 =
e) 𝑅(𝑥) − 𝑃(𝑥). 𝑆(𝑥) =
DIRECCIÓN INGRESO
1
2
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 𝑘𝑥 − 1
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2
7) Determinar h en P(x) de tal modo que al
dividirlo por Q(x) de resto 140 y 30
respectivamente
a) 𝑃(𝑥) = −3 + 2𝑥 2 + ℎ𝑥
b) 𝑃(𝑥) = 3𝑥 3 − ℎ𝑥 2 − 2
𝑄(𝑥) = 𝑥 − 5
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2
8) Siendo P(x) calcular el valor de “a”
sabiendo que x = -1 es raíz de P(x)
𝑃(𝑥) = 3𝑥 5 − 𝑎𝑥 + 6𝑥 2
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MANUAL SUI
RESULTADOS EJERCICIOS PARA CASA
6.1)
Realiza la operación
a) = 4𝑥 3 + 6𝑥 − 3
c) 𝑥 + 1
b) = 6𝑥 3 − 10𝑥 2 + 2𝑥
d) 3𝑥 + 4
6.2)
6.5)
Realizar los ejercicios del punto
anterior que puedan hacerse por
Ruffini
6.6)
Usar el Teorema del resto para
determinar el valor numérico de
los polinomios siguientes
Realiza la operación
a) = 6𝑥 2 + 𝑥 − 35
b) = 15𝑥 2 + 31𝑥𝑦 + 14𝑦 2
2
c) = 6𝑢 − 13𝑢 − 12
d) = 6𝑥 3 + 37𝑥 2 + 30𝑥 − 25
4
3
2
6
5
4
a) 𝑃(8) = 357
e) = 3𝑡 + 5𝑡 − 15𝑡 + 9𝑡 − 10
3
f) = 2𝑥 + 2𝑥 − 2𝑥 + 8𝑥 + 10𝑥
−10𝑥 − 10
b) 𝑃(13) = 375
2
6.7)
6.3)
Expresar como polinomio
a) = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 2
b) = −𝑥 2 + 18𝑥 + 7
Aplicando el Teorema del Resto
determinar el resto de las
siguientes divisiones
a) 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 = 48
b) 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 = 38
c) = 3𝑦 5 − 2𝑦 4 − 8𝑦 3 + 10𝑦 2 − 3𝑦 − 12
d) = 𝑎4 − 𝑏 4
e) = 6𝑎2 + 11𝑎𝑏 − 35𝑏 2
f) = 169𝑎4 − 16𝑏2
g) = 8𝑎3 + 12𝑎2 𝑏 + 6𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
h) = 81𝑥 4 − 72𝑥 2 𝑦 2 + 16𝑦 4
6.4)
Realizar la división larga
a) 𝑥 + 2
b) 𝑥 + 7
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