Es una combinación de letras y números. Está
unida por los signos de las operaciones: suma,
resta, multiplicación y división
Valor número de la expresión algebraica
Número que se obtiene al sustituir las mismas
letras por unos números y hacer las
operaciones que se nos indiquen.
Tipos
definición
Expresiones algebraicas
monomios
polinomios
Un monomio es una expresión algebraica en la
que las únicas operaciones que aparecen entre
las variables son la multiplicación y la potencia.
Monomio: 8x2a3b4
Un polinomio es una expresión algebraica
formada por monomios unidos por los distintos
signos de las operaciones:
P(x) = an x n + an - 1 x n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... + a1 x 1 + a 0
1
(a + b)² = a² + b²+2 · a · b
El cuadrado del primero + el cuadrado del segundo + 2 por el primero por el segundo
Las
identidades 2
notables
(a - b)² = a² + b²-2 · a · b
El cuadrado del primero + el cuadrado del segundo - 2 por el primero por el segundo
3
(2x+3) 2
22x2+32+2(2x•3)
4x2+9+12x
(2x-3) 2
22x2+32-2(2x•3)
4x2+9-12x
(a + b) • (a - b)= a²- b²
El cuadrado del primero - el cuadrado del segundo
(4x2-5) • (4x2+5)= 16x4-25
Los monomios
Partes del monomio
Definición
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son la multiplicación y la
potencia. Monomio: 8x2a3b4
8x2a3b4
monomio
8x2a3b4
monomio
8x2a3b4
monomio
Coeficiente
Número que aparece multiplicando a las letras.
Parte literal
Las letras y sus exponentes.
Grado
La suma de todos los exponentes de las letras.
8
coeficiente
x2a3b4
parte literal
2+3+4= 9
grado
Monomios semejantes
8x2a3b4
5x2a3b4
Son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal.
8xy3c
7xcy3
Son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal,
aunque estén en orden diferente.
Operaciones con monomios
suma
Solo se pueden sumar
monomios semejantes, es
decir, que tengan la misma
parte literal.
Se suman los coeficientes y
se deja la misma parte literal.
resta
Solo se pueden restar
monomios semejantes, es
decir, que tengan la misma
parte literal.
Se restan los coeficientes y
se deja la misma parte literal.
8xy3c+7xcy3+5x2a3b4
Paso a paso
1.
Buscamos los monomios semejantes.
8xy3c+7xcy3+5x2a3b4
2.
Sumamos los coeficientes de los monomios semejantes, es decir, los
números. Y dejamos la misma parte literal.
15xy3c+5x2a3b4
3.
Si hay un monomio que no es semejante, se deja igual.
15xy3c+5x2a3b4
8xy3c-7xcy3-5x2a3b4
Paso a paso
1.
Buscamos los monomios semejantes.
8xy3c-7xcy3-5x2a3b4
2.
Restamos los coeficientes de los monomios semejantes, es decir, los
números. Y dejamos la misma parte literal.
1xy3c-5x2a3b4
3.
Si hay un monomio que no es semejante, se deja igual.
1xy3c-5x2a3b4
7•(5x2a3b4)
Multiplicar un número por un monomio
Multiplicación
Podremos multiplicar los
monomios, aunque no sean
semejantes, es decir, aunque
no tengan la misma parte
literal.
Tenemos que elegir qué tipo
de polinomios queremos
multiplicar y seguiremos los
pasos.
División
Podremos dividir los
monomios, aunque no sean
semejantes, es decir, aunque
no tengan la misma parte
literal.
Tenemos que elegir qué tipo
de polinomios queremos
dividir y seguiremos los
pasos.
1.
Multiplicamos el número por el coeficiente del monomio.
7•(5x2a3b4)
2.
Después de multiplicar el número por el coeficiente, dejamos la
misma parte literal.
35x2a3b4
Multiplicar un monomio por otro monomio
(8 a5xc) •(5x2a3b4)
1. Multiplicamos los coeficientes de los monomios, es decir, los
números. No importa que los dos monomios no sean semejantes.
(8 a5xc) •(5x2a3b4)
2. Sumamos los exponentes que tengan las mismas bases (letras)
− Si no aparece un exponente sobre la letra, el exponente es 1.
− Las letras que no coincidan, se dejan igual.
(8 a5x1c) •(5x2a3b4)
Dividir un número por un monomio
15:(5x2a3b4)
Solución: 40 a8x3cb4
1.
Dividimos el número por el coeficiente del monomio.
15:(5x2a3b4)
2.
Después de dividir el número por el coeficiente, dejamos la misma
parte literal.
3x2a3b4
(40
Dividir un monomio por otro monomio
Dividimos los coeficientes de los monomios, es decir, los números. No
importa que los dos monomios no sean semejantes.
2. Restamos los exponentes que tengan las mismas bases (letras)
− Si no aparece un exponente sobre la letra, el exponente es 1.
− Las letras que no coincidan, se dejan igual.
1.
a5xc) :(5x2a3b4)
(40 a5xc) •(5x2a3b4)
(40 a5x1c) •(5x2a3b4)
Solución: 8 a2x-1cb4
Autora: Maite G. | www.creativemindly.com | derechos de autor ©
Los polinomios
Tipos de polinomios
Partes del polinomio
Definición
Un polinomio es una expresión algebraica formada por monomios unidos por los
distintos signos de las operaciones: P(x) = an x n + an - 1 x n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... + a1 x 1 +
la división de polinomios
a0
Coeficiente
6x3-2x2+3x+8
Número que aparece multiplicando a las letras.
Variable indeterminada
6x3-2x2+3x+8
Es la X
Término independiente
El número que no tiene variable indeterminada, es
6x3-2x2+3x+8
decir, X.
Grado del polinomio
Es el exponente mayor al que está elevada la
6x3-2x2+3x+8
variable X.
Valor numérico del polinomio
Si consideramos que x=2
Es el resultado que obtenemos al sustituir la X por
6(2) 3-2(2) 2+3(2) +8= +54
un número cualquiera.
(valor numérico
Completo
Incompleto
Polinomio al que no le falta ningún
Polinomio al que le falta algún término.
término. Desde el término de mayor
P(x) = 5x3+9x+4 -> en este caso falta x2
grado hasta el término independiente.
5
2
4 3
P(x) = 5x3-5x2+9x+4
P(x) = 5x +2x +4-> en este caso falta x x x
Ordenado
Un polinomio está ordenado si los
monomios están colocados de mayor a
menor grado.
Desordenado
Un polinomio está desordenado si los
monomios no están colocados de
mayor a menor grado.
P(x) = 5x3-5x2+9x+4
P(x) = +9x+4-5x2-5x3
Iguales
Dos polinomios son iguales si:
Tienen el mismo grado
Los coeficientes (números) de los
términos que tienen el mismo grado, son
iguales.
Iguales
P(x) = 5x3-5x2+9x+4
P(x) = 5x3-5x2+9x+4
Diferentes
P(x) = 8x3-5x2+9x+4
P(x) = 5x3-5x2+9x+4
Operaciones con polinomios
la suma de polinomios
Paso a paso
Vamos a quitar el paréntesis para que no moleste.
− Un signo + delante de un paréntesis, significa que
debemos dejar todo lo de dentro del paréntesis
igual. No se cambia.
Ahora que ya tenemos todos los monomios sin
paréntesis, pasamos a hacer las operaciones.
− Sumaremos o restaremos los coeficientes
(números) que tengan la misma parte literal.
− Se deja la misma letra y el mismo exponente (parte
literal)
− Si delante de la letra no hay un número, pondremos
un 1.
La resta de polinomios
P(x)+Q(x)
(5x3-5x2+9x+4)+(8x3+2x2+x+2)
(5x3-5x2+9x+4)+(8x3+2x2+x+2)
5x3-5x2+9x+4-8x3-2x2-x-2
3. Dividir un polinomio por un polinomio
Tipo 1: polinomio entre un polinomio de la forma (x±𝒏)
Usaremos Ruffini para hacer la división.
1. Escribimos los coeficientes del polinomio con sus
signos
− Si no están todos los términos del primer polinomio
tendremos que poner 0
2. Colocamos el opuesto del término independiente
del segundo polinomio
4.
(6x3+18x-8):(x-2)
+6
+0
+18
-8
+6
+0
+18
-8
+0
+12
+18
-8
+2
Una vez colocados los números, bajamos el primer
número que aparece arriba
+2
Multiplicamos el número de la izquierda por el
número que acabamos de bajar y escribimos la
respuesta.
+2
Sumamos o restamos los números y volvemos a
multiplicar el resultado por el número de la
izquierda.
+2
Una vez que ya tenemos todos los números
colocados, indicamos la solución.
El número que queda más a la derecha es el RESTO
de la división.
Los demás números formarán el cociente.
+2
+6
+6
+6
+6
+6
Cómo indicar el resultado
− Tenemos que poner letras al cociente.
− Empezaremos desde la derecha hacia la izquierda.
− El último miembro del cociente, será el término
independiente y no tendrá X.
− Iremos colocando las X de forma ascendente.
+6
+6
+0
+12
+12
+18
+24
+42
-8
+84
+76
+0
+12
+12
+18
+24
+42
-8
+84
+76
Cociente: 6x2+12x+42
Resto: +76
(3x4+5x3-2x+3):(x2-3x+2)
Colocamos los polinomios.
El primer polinomio se coloca en el lado del dividendo. No olvides los signos. Si
falta algún término pondremos 0.
A la derecha ponemos el otro polinomio que actúa como divisor.
3x4
7•(5x3-5x2+9x+4)
7•(5x3-5x2+9x+4)
35x3-35x2+63x+28
-7•(5x3-5x2+9x+4)
-35x3+35x2-63x-28)
(8x) •(5x3-5x2+9x+4)
3.
(5x3+8x)
•(5x3-5x2)
(5x3+8x)
•(5x3-5x2)
Una vez hecho esto, ordenaremos el polinomio de
mayor a menor grado
4xa5-12x2a5+8x3a5+8x4a5
1.
−
Multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio:
− Multiplicamos los coeficientes (números)
− Sumamos los exponentes de las mismas letras.
− Si el monomio tiene una letra con un exponente
que no aparece en el polinomio, también la
pondremos.
− Recuerda que, si la letra no tiene exponente, el
exponente es 1.
En el caso de que nos salgan monomios con el mismo
grado, se sumarán los coeficientes.
(24x4a5):(6x3-2x2+3x+8)
En este caso vamos a hacer una división por caja. Iremos despacio para no
equivocarnos ni en las operaciones ni en los signos.
(8a5x) •(5x3-5x2+9x+4)
Multiplicar un polinomio por otro polinomio
4x-12x2+8x3+8x4
-3x3-7x2+8x+2
2. Multiplicar un monomio por un polinomio
Tenemos que multiplicar cada monomio del primer
polinomio por cada monomio del segundo polinomio.
Multiplicamos los coeficientes (números) y sumamos
los exponentes.
(24x4):(6x3-2x2+3x+8)
Tipo 2: polinomio entre otro polinomio (CAJA)
Si tienes que hacer una multiplicación con polinomios, lo primero que tienes que hacer
es identificar qué tipo de multiplicación es. Aquí te dejo todos los casos posibles y
cómo resolverlos.
Si el número es negativo, también multiplicaremos los
signos, además de los números.
Dividimos el monomio por cada uno de los términos del
polinomio:
− Dividimos los coeficientes (números)
− Restamos los exponentes de las mismas letras.
− Si el monomio tiene una letra con un exponente
que no aparece en el polinomio, también la
pondremos.
− Recuerda que, si la letra no tiene exponente, el
exponente es 1.
5x3-5x2+9x+4-8x3-2x2-x-2
La multiplicación de polinomios
Multiplicar un número por un Polinomio
(24x4):(6x3-2x2+3x+8)
−
Ahora que ya tenemos todos los monomios sin
paréntesis, pasamos a hacer las operaciones.
Sumaremos o restaremos los coeficientes
(números) que tengan la misma parte literal.
Se deja la misma letra y el mismo exponente (parte
literal)
Si delante de la letra no hay un número, pondremos
un 1.
Multiplicamos el número por cada uno de los
coeficientes de los términos.
− Se deja la misma pare literal.
2. Dividir un monomio por un polinomio
−
2.
1.
-24:(6x3-2x2+3x+8)
-4x3+12x2-8x-3
6.
(5x3-5x2+9x+4)-(8x3+2x2+x+2)
−
Si el número es negativo, también dividiremos los
signos, además de los números.
5.
Vamos a quitar el paréntesis para que no moleste.
Un signo - delante de un paréntesis, significa que
debemos cambiar de signo a todo lo que aparece
dentro del paréntesis, es decir, los opuestos.
24:(6x3-2x2+3x+8)
24:(6x3-2x2+3x+8)
4x3-12x2+8x+3
13x3-3x2+10x+6
1.
−
Dividir un número por un polinomio
Dividimos el número por cada uno de los coeficientes
de los términos.
Se deja la misma pare literal.
5x3-5x2+9x+4+8x3+2x2+x+2
P(x)-Q(x)
(5x3-5x2+9x+4)-( 8x3+2x2+x+2)
−
1.
3.
Paso a paso
−
Si tienes que hacer una división con polinomios, lo primero que tienes que hacer es
identificar qué tipo de división es. Aquí te dejo todos los casos posibles y cómo
resolverlos.
40x4-40x3+72x2+32x
(8 a5x3) •(5x3-5x2+9x+4)
40x6a5-40x5a5+72x4a5+32x3a5
25x6-25x5+40x4-40x3
(2x2+3x) •(2x-4x2)
4x3-8x4+6x2-12x3
4x3-8x4+6x2-12x3
-8x3-8x4+6x2
-8x4-8x3+6x2
2.
−
−
−
+5x3
+0x2
-2x
x2-3x+2
+3
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Dividimos los coeficientes
Restamos los exponentes
También hay que dividir los signos
3x4
+5x3
+0x2
-2x
x2-3x+2
3x2
+3
3.
Ahora multiplicamos ese resultado que nos ha dado al dividir, por cada uno de los
monomios del divisor.
− Multiplicamos los números (coeficientes)
− Sumamos los exponentes
El resultado de la multiplicación lo colocamos debajo del monomio que tenga el
mismo grado. Cambiaremos el signo.
3x4
-3x4
+5x3
+9x3
+0x2
-6x2
-2x
x2-3x+2
3x2
+3
4. Ahora que ya tenemos los números colocados, hacemos las operaciones.
Cuando hayamos acabado, podemos bajar los otros números
3x4
-3x4
0
5.
+5x3
+9x3
+14 x3
+0x2
-6x2
-6x2
-2x
+3
-2x
+3
x2-3x+2
3x2
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
divisor. Repetimos los mismos pasos.
3x4
-3x4
0
+5x3
+9x3
+14 x3
-14x3
0
+0x2
-6x2
-6x2
+42x2
+36x2
-36x2
0
-2x
+3
-2x
-28x
-30x
+108x
+78x
+3
x2-3x+2
3x2+14x+36
+3
-72
-69
Autora: Maite G. | www.creativemindly.com | derechos de autor ©