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COLEGIO PIAMARTA
“Evangelizar Educando”
Depto. De Matemática
Prof. M. Arias
Prof. A. Pérez De Arce
Septiembre 2020
ELECTIVO DE MATEMÁTICA
FUNCIONES Y PROCESOS INFINITOS
MÓDULO DE AUTOAPRENDIZAJE 7
Cuarto Medio
Nombres: _________________________________Curso:___________Fecha: _______
Fecha de entrega : Al terminar el módulo Correo: marielaarias@colegiopiamarta.cl
enviar al Classroom de tu Curso mediante
andreaperezdearce@colegiopiamarta.cl
fotografías hasta el 01 de octubre (o al correo Fecha de envío: 07 de Septiembre de 2020
si el docente aún no utiliza classroom)
Objetivo de aprendizaje: OA 2 Relacionar las propiedades de la adición y multiplicación
de polinomios con coeficientes enteros con las de la adición y multiplicación de los números
enteros. Estudiar regla de Ruffini
Conceptos claves: Polinomios, grado de un polinomio, coeficiente, término independiente,
multiplicación de potencias de igual base.
Objetivo de Habilidad: Desarrollar habilidades de razonamiento matemático.
Páginas de apoyo en texto de Estudio Ministerial: No aplica.
O.A.T.P.: Espíritu de Familia
Instrucciones:
 Luego de leer el contenido de ésta guía y revisar los videos de apoyo, realiza en tu
cuaderno los ejercicios propuestos cada uno con su desarrollo.
 Fotografía en forma vertical y en forma ordenada envía al correo de tu profesora.
 Podrás aclarar dudas a través del correo de tu profesora.
POLINOMIO
Se llama polinomio en la variable x a cualquier expresión algebraica de la forma:
𝑃(𝑥 ) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 donde:
 n es un número natural o cero llamado grado del polinomio.
 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … . 𝑎2 , 𝑎1 , 𝑎0 son números reales con 𝑎𝑛 ≠ 0 si n≠ 0 llamados coeficientes
del polinomio.
 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 son los términos del polinomio.
 𝑎0 es el coeficiente de grado cero o término independiente.
Ejemplo: El polinomio 𝑷(𝒙) = 𝟔𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏 es de grado 4, tiene cinco
términos y sus coeficientes son 6, 3,-5, 12,-1
La expresión 𝟑𝒙−𝟑 − 𝟓𝒙𝟏/𝟐 − 𝟏 no es un polinomio ya que los exponentes de la variable x
no son números naturales.
IGUALDAD DE POLINOMIO
Dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales si tienen iguales los coeficientes del mismo grado.
Ejemplos: Los polinomios 𝑷(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟕 𝒚 𝑸(𝟖𝒙) = −𝟕 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 son
iguales.
Los polinomios 𝑅(𝑥 ) = 𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 𝒚 𝑺(𝒙) = 𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 no son iguales, sus
coeficientes no coinciden.
Halla el valor de a, b, y c para que se verifique la igualdad entre polinomios
(𝑎𝒙𝟐 + 𝟑𝒃𝒙 + 𝟖) + (𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝒄) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑
(𝒂 + 𝟐)𝒙𝟐 + (𝟑𝒃 − 𝟒)𝒙 + (𝟖 + 𝒄) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 agrupé términos semejantes en el
primer miembro.
𝒂 + 𝟐 = 𝟓 igualé los coeficientes de grado 2. Despeje 𝒂 = 𝟑
2
𝟑𝒃 − 𝟒 = −𝟐 Igualé los coeficientes de grado 1. Despejé 𝒃 = 𝟐/𝟑
𝟖 + 𝒄 = 𝟑 Igualé los coeficientes de grado 0. Despejé c=-5
Por lo tanto para que se verifique la igualdad a=3 b=2/3 y c=-5
REGLA DE RUFFINI O DIVISIÓN SINTÉTICA
Es un método que permite obtener las raíces de un polinomio. Ejemplo:
Hallar las raíces del siguiente polinomio usando la regla de Ruffini 𝑃(𝑥 ) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟐 y
realice la gráfica.
Paso 1: Escribimos en una fila los coeficientes del polinomio, si falta algún término,
completamos con cero.
1 0 -3 -2
Paso 2: Busco un número que sea divisor del término independiente (se puede escoger
±1, ±2)y lo escribo en la columna de la izquierda (probaremos con 2, si no funciona,
tendremos que probar con otro hasta dar con el adecuado) trazamos una línea y bajamos
el primer coeficiente. Multiplicamos ese coeficiente por el número que estamos probando y
el resultado lo colocamos debajo del siguiente término.
1 0 -3 -2
2
2
1
Multiplico 2.1=2
Paso 3: Sumamos los dos coeficientes y repetimos el paso anterior.
1 0 -3 -2
2
2
4
2
1 2
1 0
Multiplico 2.2=4
Multiplico 2.1=2 (Como la última suma dio 0, entonces 2 es raíz del polinomio)
Repito el mismo procedimiento (Pruebo con el -1)
1 0 -3 -2
La gráfica es:
2
2
4
2
1 2
1 0
-1
-1 -1
1 1
0
-1
-1
1 0
Las raíces del polinomio son 𝒙𝟏 = 𝟐 y 𝒙𝟐 = −𝟏 y el
polinomio factorizado será:(x-2)(x+1)(x+1)
ACTIVIDAD:
1) Hallar el valor de a, b y c para que se verifique la igualdad entre polinomios (Mira el video
de apoyo 1):
a) 3x-5=a(x-2)+b(x-3)
b) 2𝑥 2 − 3𝑥 − 1 = 𝑎(𝑥 − 1)2 + 𝑏(𝑥 − 1) + 𝑐
2) Usa el método de Ruffini para determinar las raíces de los siguientes polinomios, escribe el
polinomio
factorizado
y grafícalo
en
el software
educativo
geogebra
https://www.geogebra.org/calculator (así comprobarás si tus resultados son correctos) (Mira
el video de apoyo 2)
𝑎) 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6
𝑏) 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 9𝑥 2 − 2𝑥 + 8
𝑐)𝑥 3 − 4𝑥 2 − 3𝑥 + 18
Actividad de cierre:
Selecciona a un compañero o compañera de estudios que se le dificulte la realización de algún
ejercicio del módulo y ayúdalo/a a resolverlo, escribe en un párrafo mayor a cinco líneas tu
experiencia ayudando a tu compañero o compañera.
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RÚBRICA DE EVALUACIÓN DE DESEMPEÑOS
Igualdad de
polinomios
(Actividad 1)
Método de Ruffini
(Actividad 2)
4 puntos
3 puntos
2 puntos
1 punto
Realiza
correctamente
operaciones con
polinomios,
identifica los
coeficientes,
calcula el valor de
los coeficientes
determinando la
igualdad de
polinomios.
(Determina
correctamente a, b
y c)
Calcula
correctamente las
raíces de los
polinomios usando
el método de
Ruffini. Escribe el
polinomio
factorizado. Realiza
las gráficas.
Realiza las
operaciones con
polinomios,
identifica los
coeficientes,
calcula el valor de
los coeficientes con
uno o dos cálculos
erróneos.
Realiza las
operaciones con
polinomios,
identifica los
coeficientes,
determina el valor
de los coeficientes
con más de dos
cálculos erróneos.
No realiza las
operaciones con
polinomios. No
determina el
valor de los
coeficientes.
Calcula
correctamente las
raíces de dos
polinomios usando
el método de
Ruffini. Escribe el
polinomio
factorizado. Los
resultados no
coinciden con las
gráficas.
Realiza
en
su
cuaderno
correctamente el
procedimiento de
cuatro
de
los
ejercicio
Realiza la actividad
de cierre
evidenciando poco
el espíritu de
familia en la ayuda
a un compañero
ante necesidades o
dificultades con la
realización del
módulo.
Calcula
correctamente las
raíces de un
polinomio usando
el método de
Riffini. Escribe el
polinomio
factorizado. Los
resultados no
coinciden con las
gráficas.
Realiza
en
su
cuaderno
correctamente el
procedimiento de
tres
de
los
ejercicios.
Realiza la actividad
de cierre sin
evidenciar la ayuda
a un compañero
ante necesidades o
dificultades con la
realización del
módulo.
No usa el método
de Ruffini para
calcular las raíces
del polinomio.
El módulo es
presentado de
manera ordenada
pero con
tachaduras,
borrones y letra
poco legible.
El módulo es
presentado de
manera
desordenada, no se
observa cuidado en
la realización.
Desarrollo
Realiza
en
su
cuaderno
correctamente el
procedimiento de
todos los ejercicios.
Actividad de cierre
Realiza la actividad
de cierre
evidenciando el
espíritu de familia
con la ayuda a un
compañero ante
necesidades o
dificultades con la
realización del
módulo.
Presentación del
Módulo
El módulo es
presentado de
manera ordenada,
limpio, sin
tachaduras y con
letra legible.
.
No realiza el
procedimiento de
más de tres
ejercicios
No realiza la
actividad de
cierre.
El módulo es
presentado de
manera
desordenada, con
borrones,
tachaduras y letra
ilegible.
Puntaje
obtenido