01/07/2019 Transformadas de Clarke e Park Sinal senoidal no tempo e representação fasorial x(ωt ) = X M sin ω t X M = amplitude ω = frequência angular (rad/s) ω t = argumento (rad) T= Plotagem adimensional Como função no tempo f = 2π ω = Periodo ⇒ x(t ) = x(t + T ), ∀t 1 ω = = frequência em Hertz (ciclos/s) T 2π ω = 2π f " avanço de θ " Defasagem: " atraso de θ " 01/07/2019 Sinal senoidal no tempo e representação fasorial Identidade de Euler : e jα = cos α + j sin α Im ω Seja: u (t ) = U M e j (ω t +θ ) U ⇒ u (t ) = U M {cos(ω t + θ ) + j sin (ω t + θ )} UM θ Re{u (t )} = Re{U M e j (ω t +θ ) } = U M cos(ω t + θ ) Re Im{u (t )} = Im{U M e j (ω t +θ ) } = U M sin (ω t + θ ) Fasor girante no tempo : u (t ) = U M e j (ω t +θ ) = U M e jθ e jω t = Ue jω t Fasor : U = U M e jθ = U M ∠θ Fasor : X = X M e jθ = X M ∠θ Sinais senoidais trifásicos no tempo e representação fasorial van(t) vbn(t) vcn(t) Tensões instantâneas : van (t ) = Vm cos(ω t ) (V) vbn (t ) = Vm cos(ω t − 120°) (V) vcn (t ) = Vm cos(ω t − 240°) (V) Tensões trifásicas equilibradas Fasores (eficazes) Vm = 120 2 Fasores de Tensões de fase Sequência positiva: a-b-c 01/07/2019 Sinais senoidais trifásicos no tempo e representação fasorial Tensões de fase Van =| V p | ∠0° Vbn =| V p | ∠ − 120° Vcn =| V p | ∠120° Todas as tensões de linha e tensões de fase (fasores no plano) Tensões de linha: Vab = Van − Vbn =| V p | ∠0°− | V p | ∠ − 120° =| V p | (1 − (cos(120° ) − j sin (120°)) 1 3 =| V | p − | V p | − j 2 2 = 3 | V p | ∠30° Transformação de Clarke Usando o plano, como no caso fasorial, para representar as três tensões instantâneas no tempo: Tensõesinstantâneas : va (t ) = Vm cos(ω t ) (V) vb (t ) = Vm cos(ω t − 120°) (V) c+ vc (t ) = Vm cos(ω t − 240°) (V) va (t ) v(t ) = vb (t ) vc (t ) va (t0 ) v (t0 ) = vb (t0 ) vc (t0 ) c+ vb(0) vc(t) va(0) va(t) vb(t) b+ v (0) a+ vc(0) a+ v (t) b+ Vm v (t0 = 0) = − 0,5Vm − 0,5Vm Após um período completo de oscilação, gera-se no plano um lugar geométrico tipo circunferência. 01/07/2019 Transformação de Clarke O plano é um espaço vetorial de dimensão 2. Bastam apenas dois vetores de base para representar qualquer vetor no plano → Usam-se os vetores de base α e β. b+ c+ β+ a+ a+ Ou α+ α+ β+ b+ c+ Transformação de Clarke b+ Dado: 30o β+ No plano (2D) vbβ vb va vcα vbα vc zero+ a+ Para sinais trifásicos equilibrados: vcβ v0 (t ) v0αβ (t ) = vα (t ) v β (t ) v0 (t ) = 0 , ∀ t vaα = va vaβ = 0 c+ β+ No espaço 3D 0+ va (t ) vabc (t ) = vb (t ) vc (t ) α+ 30o Componente homopolar Devemos achar: α+ vbα = vb cos(120o ) = − 1 vb 2 vbβ = vb sin(120o ) = 3 vb 2 1 vcα = vc cos(−120o ) = − vc 2 vcβ = vc sin(−120o ) = − 3 vb 2 01/07/2019 Transformação de Clarke Então v0 = va + vb + vc vα = vaα + vbα + vcα = 1va − 1 vb − 1 vc 2 2 vβ = vaβ + vbβ + vc β = 0va + 3 vb − 3 vc 2 2 Transformação de Clarke (Edith Clarke) v0 (t ) 12 12 2 v0αβ (t ) = vα (t ) = 1 − 12 3 vβ (t ) 0 23 22 v0 (t ) 2 v0αβ (t ) = vα (t ) = 1 3 vβ (t ) 0 va (t ) − vb (t ) − vc (t ) 1 2 1 2 3 2 va (t ) − vb (t ) − vc (t ) 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 − Primeira forma: * Mantém as amplitudes invariantes. (Amplitudes de va, vb, vc, vα e vβ são iguais) Segunda forma: * Mantém as potências invariantes. (Em circuitos iguais analisados nos dois domínios) Transformação de Clarke v0αβ (t ) = T0αβ vabc (t ) Transformação com potência invariante: Onde T0αβ No sentido inverso: 2 2 2 = 1 3 0 2 2 −1 2 3 2 2 −1 2 3 − 2 2 vabc (t ) = T0−αβ1 v0αβ (t ) Onde T0−αβ1 2 2 2 2 = 3 2 2 2 3 1 − 2 2 −1 − 3 2 2 1 0 01/07/2019 Transformação de Clarke Demonstração da transformação Na representação a,b,c Na representação α, β Transformação de Park v (t ) vαβ (t ) = α vα (t ) Sejam as tensões representadas por vα(t) e vβ(t) ω q → Gira com velocidade ω rad/s O sistema de coordenadas αβ é estacionário. β ω ω vαβ (t) d α Seja um novo sistema de coordenadas dq (ortogonal), tendo a mesma origem do sistema αβ, que gira com velocidade ω rad/s. Dadas as coordenadas de vαβ(t) pode-se determinar as coordenadas dessa mesma tensão no sistema de coordenadas girante dq, ou seja, vdq(t). Verifica-se que vdq(t) será constante, ou seja, vd (t ) Vd vdq (t ) = = V = cte v ( t ) q q 01/07/2019 Transformação de Park ω q vα ( t ) cos θ - sin θ v d ( t ) v (t ) = β sin θ cos θ v q ( t ) β ω ω vαβ (t) vβ vq vd d θ=ωt α vα Trasformada de Park: v d ( t ) cos θ v dq ( t ) = = v q ( t ) - sin θ vdq (t ) = Tdq vαβ (t ) cos(θ ) sin(θ ) Tdq = − sin(θ ) cos(θ ) cos(θ ) − sin(θ ) Tdq−1 = sin(θ ) cos(θ ) Transformação de Park Seja vα ( t ) = V cos( ω t + θ 0 ) v β ( t ) = V cos( ω t + θ 0 − π / 2 ) v d ( t ) = V cos( ω t ) cos( ω t + θ 0 ) + V sin( ω t ) cos( ω t + θ 0 − π / 2 ) v q ( t ) = −V sin( ω t ) cos( ω t + θ 0 ) + V cos( ω t ) cos( ω t + θ 0 − π / 2 ) v d ( t ) = V cos( θ 0 ) = V d v q ( t ) = V sin( θ 0 ) = V q Se vα ( t ) = V sin( ω t + θ 0 ) v β ( t ) = V sin( ω t + θ 0 − π / 2 ) v d ( t ) = V cos( θ 0 − π 2 v q ( t ) = V sin( θ 0 − π 2 ) ) sin θ vα ( t ) cos θ v β ( t ) 01/07/2019 Transformação de Park Demonstração da transformação vα ( t ) = V sin( ω t + θ 0 ) v β ( t ) = V sin( ω t + θ 0 − π / 2 ) Na representação a,b,c Na representação α, β Na representação d, q Obs: com V=1 e θ0=0