Resolução das equações Equação de Difusão (calor) (1D) Equação de ondas (corda vibrante) (1D) Equação de Laplace (2D) - Difusão térmica em estado estacionário (2D e 3 D); Função potencial de uma partícula livre no espaço sob ação de forças gravitacionais; Etc Equação de Laplace (2D) Problema Independente do tempo → não tem condições iniciais! Em 2D : 4 condições de contorno, uma para cada fronteira (2 para cada dimensão) Condições de contorno 1) Sobre a função u (x,y) → Problema de Dirichlet 2) Sobre as derivadas u/x e u/y → Problema de Neumann Resolução: Problema de Dirichlet em um retângulo Condições de contorno Sobre a função u (x,y) Resolução: Problema de Dirichlet em um retângulo 𝒖 𝒙, 𝒃 = 𝟎 𝒖 𝒂, 𝒚 = 𝒇(𝒚) 𝒖 𝟎, 𝒚 = 𝟎 𝒖 𝒙, 𝟎 = 𝟎 Condições de contorno para o retângulo 0 < x < a e 0 < y < b: Separação de variáveis: u(x,y) = X(x) Y(y) 1 𝑑2 𝑋 1 𝑑2 𝑌 2 = − = 𝜆 𝑋 𝑑𝑥 2 𝑌 𝑑𝑦 2 é a constante de separação, se é um número real e chega-se as EDOs: 𝑑2𝑋 2𝑋 = 0 − 𝑑𝑥 2 𝑋 𝑥 = 𝐴. cosh 𝜆𝑥 + 𝐵. sinh 𝜆𝑥 𝑒 ±𝜆𝑥 𝑑2𝑌 2𝑌 = 0 + 𝜆 𝑑𝑦 2 𝑌 𝑦 = 𝐶. cos 𝜆𝑦 + 𝐷. sin 𝜆𝑦 𝑒 ±𝑖𝜆𝑥 Aplicando as CC (y): u(x,y) = X(x) Y(y) = 𝐴. cosh 𝜆𝑥 + 𝐵. sinh 𝜆𝑥 𝐶. cos 𝜆𝑦 + 𝐷. sin 𝜆𝑦 𝒖 𝒙, 𝟎 = 𝟎 → 𝑿 𝒙 . 𝒀 𝟎 = 𝟎 → 𝒀 𝟎 = 𝟎 𝒖 𝒙, 𝒃 = 𝟎 𝑿 𝒙 . 𝒀 𝒃 = 𝟎 𝒀 𝒃 = 𝟎 𝑌 𝑦 = 𝐶. cos 𝜆𝑦 + 𝐷. sin 𝜆𝑦 𝒀 𝟎 =𝟎 𝑌 0 = 𝐶. cos 𝜆0 + 𝐷. sin 𝜆0 = 𝐶 = 0 𝑌 𝑦 = 𝐷. sin 𝜆𝑦 𝒀 𝒃 =𝟎 𝒏𝝅 𝝀 = 𝝀𝒏 = 𝒃 𝑌 𝑏 = 𝐷. sin 𝜆𝑏 = 0 𝑛𝜋𝑦 𝑌 𝑦 = 𝐷. sin 𝑏 𝜆𝑏 = 𝑛𝜋 u(x,y) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝝀𝒙 + 𝑩. 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝝀𝒙 𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝅𝒚 𝒃 u(x,y) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝝀𝒙 + 𝑩. 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝝀𝒙 𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝅𝒚 𝒃 Aplicando as CC (x): 𝒖 𝟎, 𝒚 = 𝟎 → 𝑿 𝟎 . 𝒀 𝒚 = 𝟎 → 𝑿 𝟎 = 𝟎 𝒖 𝒂, 𝒚 = 𝒇(𝒚) 𝒖 𝟎, 𝒚 = 𝟎→ 𝑿 𝟎 = 𝟎 → 𝑋 𝑥 = 𝐴. cosh 𝜆𝑥 + 𝐵. sinh 𝜆𝑥 𝑋 0 = 𝐴. cosh 𝜆0 + 𝐵. sinh 𝜆0 → 𝐴 = 0 u(x,y) = 𝑩. 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝝀𝒙 𝑫. 𝒔𝒊𝒏 B.D = 𝑨𝒏 𝒏𝝅𝒚 𝒃 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝒖𝒏 (x,y) = 𝑨𝒏 sinh 𝑥 × sin 𝑦 𝑏 𝑏 A solução geral é a superposição linear de todas as soluções un e agora resta apenas a constante An para ser determinada. 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝒖𝒏 (x,y) = 𝑨𝒏 sinh 𝑥 × sin 𝑦 𝑏 𝑏 ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 u(x,y) = 𝑨𝒏 sinh sin 𝑏 𝑏 𝒏=𝟎 Resta a última condição de contorno a ser aplicada: ∞ 𝑛𝜋𝑎 𝑛𝜋𝑦 u(a,y) = 𝐴𝑛 sinh sin = 𝑓(𝑦) 𝑏 𝑏 𝑛=0 𝒖 𝒂, 𝒚 = 𝒇 𝒚 ∞ 𝑛𝜋𝑎 𝑛𝜋𝑦 u(a,y) = 𝐴𝑛 sinh sin = 𝑓(𝑦) 𝑏 𝑏 𝑛=0 ∞ ∞ 𝑛=0 𝑛=0 𝑛𝜋𝑎 𝑛𝜋𝑦 𝑛𝜋𝑦 f(y)= 𝐴𝑛 sinh sin = 𝐵𝑛 sin 𝑏 𝑏 𝑏 Independe de y 𝑛𝜋𝑦 𝑓 𝑦 = 𝐵𝑛 sin 𝑏 𝑛 Série de Fourier: 𝑛𝜋𝑎 𝐵𝑛 = 𝐴𝑛 sinh 𝑏 𝒖 𝒙, 𝒃 = 𝟎 𝒖 𝒂, 𝒚 = 𝒇(𝒚) 𝒖 𝟎, 𝒚 = 𝟎 𝒖 𝒙, 𝟎 = 𝟎 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐵𝑛 = න 𝑓 𝑦 sin 𝑑𝑦 𝑏 0 𝑏 Logo: ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 u(x,y) = 𝑨𝒏 sinh sin 𝑏 𝑏 𝒏=𝟎 Determina-se An por: 𝑛𝜋𝑎 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐴𝑛 sinh = න 𝑓 𝑦 sin 𝑑𝑦 𝑏 𝑏 0 𝑏 E assim u(x,y) fica determinada, dependendo do que é a função f(y). Resumo: Condições de contorno para o retângulo 0 < x < a e 0 < y < b: ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 u(x,y) = 𝑨𝒏 sinh sin 𝑏 𝑏 𝒏=𝟎 𝑛𝜋𝑎 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐴𝑛 sinh = න 𝑓 𝑦 sin 𝑑𝑦 𝑏 𝑏 0 𝑏 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐴𝑛 = 𝑛𝜋𝑎 න 𝑓 𝑦 sin 𝑏 𝑑𝑦 𝑏. sinh 𝑏 0 Exemplo para f(y) = y Para determinar a solução final da equação de Laplace em 2D em coordenadas cartesianas com as CC apresentadas, é preciso determinar An a partir de f(y) = y: ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 u(x,y) = 𝐴𝑛 sinh sin 𝑏 𝑏 𝑛=0 𝑛𝜋𝑎 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐴𝑛 sinh = න 𝑓 𝑦 sin 𝑑𝑦 𝑏 𝑏 0 𝑏 1 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐴𝑛 = 𝑛𝜋𝑎 𝑏 න 𝑦. sin 𝑏 𝑑𝑦 sinh 0 𝑏 𝑏 1 2 𝑛𝜋𝑦 𝐴𝑛 = 𝑛𝜋𝑎 𝑏 න 𝑦. sin 𝑏 𝑑𝑦 sinh 0 𝑏 𝑏 2 𝑛𝜋𝑦 𝑏2 𝑏 න 𝑦. sin 𝑑𝑦 = − −1 𝑛 = −1 𝑛+1 𝑏 𝑛𝜋 𝑛𝜋 0 1 2 𝑏2 𝑛+1 𝐴𝑛 = −1 𝑛𝜋𝑎 𝑏 𝑛𝜋 sinh 𝑏 2𝑏 −1 𝑛+1 𝐴𝑛 = 𝜋 𝑛 sinh 𝑛𝜋𝑎 𝑏 Finalmente ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 u(x,y) = 𝐴𝑛 sinh sin 𝑏 𝑏 𝑛=0 ∞ 2𝑏 −1 𝑛+1 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 u(x,y) = sinh sin 𝑛𝜋𝑎 𝜋 𝑏 𝑏 𝑛 sinh 𝑛=0 𝑏 Neste caso: 𝐴 = 8 sin(𝑛𝜋Τ2) 𝑛 2 2 𝑛 𝜋 3𝑛𝜋 sinh 2 ∞ 𝟖 𝟏 𝒔𝒊𝒏(𝒏𝝅Τ𝟐) 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 u(x,y) = 𝟐 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒏𝝅 𝝅 𝒏 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒃 𝒃 𝒏=𝟎 𝟐 Curvas de nível de u(x,y) Gráfico de u(x,y) para n = 20 Resumo: Laplace coordenadas Problema de Dirichlet retangulares em 2D 𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝒚𝟐 𝒖 𝒙, 𝒃 = 𝟎 =𝟎 𝒖 𝒂, 𝒚 = 𝒇(𝒚) 𝒖 𝟎, 𝒚 = 𝟎 u(x,y) = X(x) Y(y) 𝒖 𝒙, 𝟎 = 𝟎 𝒅𝟐 𝑿 − 𝟐 𝑿 = 𝟎 𝟐 𝒅𝒙 𝑿 𝒙 = 𝑨. 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝝀𝒙 + 𝑩. 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝝀𝒙 CC 𝒅𝟐 𝒀 + 𝝀𝟐 𝒀 = 𝟎 𝟐 𝒅𝒚 𝒀 𝒚 = 𝑪. 𝐜𝐨𝐬 𝝀𝒚 + 𝑫. 𝐬𝐢𝐧 𝝀𝒚 ∞ u(x,y) = 𝑨𝒏 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒏=𝟎 ∞ f(y)= 𝐴𝑛 sinh 𝑛=0 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 𝒔𝒊𝒏 𝒃 𝒃 𝑛𝜋𝑎 𝑛𝜋𝑦 sin 𝑏 𝑏 com 𝑿 𝒙 = 𝑩. 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒏𝝅𝒙 𝒃 𝒏𝝅𝒚 𝒀 𝒚 = 𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝒃 𝒏𝝅 𝝀= 𝒃 𝒖 𝒂, 𝒚 = 𝒇 𝒚 𝑛𝜋𝑎 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐴𝑛 sinh = න 𝑓 𝑦 sin 𝑑𝑦 𝑏 𝑏 0 𝑏 Resolução da Equação de Laplace em um círculo. No círculo 𝑪𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒄𝒊𝒍í𝒏𝒅𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒎 𝒛 = 𝟎 Singularidade para r=0 r<a 𝜕𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 ; 𝑢𝜃𝜃 = 2 𝑢𝑟𝑟 = 2 ; 𝑢𝑟 = 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 < 𝒂 𝒆 𝒖 𝒂, 𝜽 = 𝒇(𝜽) f() é uma função dada em 0 2 u(r,) é periódica de período 2 e finita em r=0 Separação de variáveis: u(r,) = R(r) (); Substitui as derivadas parciais de u(r,) na equação de Laplace abaixo: 𝜕 2 𝑢 1 𝜕𝑢 1 𝜕 2 𝑢 + + 2 2=0 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑑2𝑅 1 𝑑𝑅 1 𝑑2 Θ+ + 2𝑅 2 = 0 2 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 Multiplica por r2 e divide por R 𝑟 2 𝑑 2 𝑅 𝑟 𝑑𝑅 1 𝑑2 + =− =λ 2 2 𝑅 𝑑𝑟 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑟 2 𝑑2 𝑅 𝑟 𝑑𝑅 1 𝑑2 + =− =𝜆 2 2 𝑅 𝑑𝑟 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Separando as equações em R e : 2𝑅 𝑑 𝑑𝑅 2 𝑟 +𝑟 − 𝑅 = 0 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑2 + 𝜆 = 0 2 𝑑𝜃 É possível mostrar que u(r,) é periódica de período 2, somente se for um número real. Estudaremos os casos: < 0 e 0 Quais as condições que permitem resolver este problema ? 1) A função () deve ser periódica no círculo, ou seja: (0) = (2); 𝑑2 + 𝜆 = 0 𝑑𝜃 2 2) A função R(r) deve ser finita para r → 0; 2𝑅 𝑑 𝑑𝑅 2 𝑟 +𝑟 − 𝜆𝑅 = 0 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 3) Além de : 𝒖 𝒂, 𝜽 = 𝒇(𝜽) Equação de Euler 2𝑦 𝑑 𝑑𝑦 2 𝑥 +𝑥 + 𝑦 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2𝑅 𝑑 𝑑𝑅 2 𝑟 +𝑟 − 𝜆𝑅 = 0 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 =1 e = - Procurar soluções do tipo: R = rk; rk[𝑘 2 − 𝜆]=0 rk 0 Equação de Euler Soluções do tipo: R(r) = rk [𝑘 2 − 𝜆]=0 As raízes para k são: 𝑘𝑖 = ± 𝜆 𝑘1 = + 𝜆 𝑘2 = − 𝜆 Lembrando ... é um número real Estudo dos valores de 𝑑2 + 𝜆 = 0 2 𝑑𝜃 2𝑅 𝑑 𝑑𝑅 2 𝑟 +𝑟 − 𝑅 = 0 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑅 = 𝐴𝑟 𝑘1 + 𝐵𝑟 𝑘2 Soluções do tipo: R(r) = rk 𝑘1 = + 𝜆 𝑘2 = − 𝜆 𝑅 = 𝐴𝑟 + 𝜆 + 𝐵𝑟 − 𝜆 1) Se < 0 → = -2, sendo um nº real. 𝒅𝟐 𝟐 − =𝟎 𝟐 𝒅𝜽 𝜃 = 𝑐3 𝑒 𝜇𝜃 + 𝑐4 𝑒 −𝜇𝜃 Aplicando as condição de periodicidade (0) = (2) 𝑐3 + 𝑐4 = 𝑐3 𝑒 2𝜋𝜇 + 𝑐4 𝑒 −2𝜋𝜇 𝜃 =0 u(r,) = 0 c3 = c4 = 0 Solução trivial Portanto , < 0 não é solução 2) Se = 0 𝒅𝟐 =𝟎 𝟐 𝒅𝜽 (0) = (2) 𝟐𝑹 𝒅 𝒅𝑹 𝟐 𝒓 +𝒓 =𝟎 𝟐 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝜃 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑘1 = + 𝜆 𝑘2 = − 𝜆 c2 = 0 k1 = k2 = 0 𝜽 = 𝒄𝟏 2𝑅 𝑑 𝑑𝑅 2 𝑟 +𝑟 =0 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Eq. De Euler para k1=k2=0 a2 = 0 R(r) = (a1 + a2lnr). rk2 = (a1 + a2lnr). 𝒖 𝒓, 𝜽 = 𝒖𝟎 𝒓, 𝜽 = a1. 3) Se > 0 → = 2 𝑑2 2 + =0 2 𝑑𝜃 𝜃 = 𝑐1 cos 𝜇𝜃 + 𝑐2 sin 𝜇𝜃 1 (0) = (2) 0 𝑐1 cos 𝜇0 + 𝑐2 sin 𝜇0 = 𝑐1 cos 𝜇2𝜋 + 𝑐2 sin 𝜇2𝜋 cos 𝜇2𝜋 = 1 𝜇=n 𝜃 = 𝑐1 cos 𝑛𝜃 + 𝑐2 sin 𝑛𝜃 n=0, 1,2,3... Continuando ... Se > 0 → 2 = = n2 2𝑅 𝑑 𝑑𝑅 2 2𝑅 = 0 𝑟 + 𝑟 − 𝑛 𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 𝑘1 = + 𝜆 R(r) = rk 𝑘2 = − 𝜆 k1 k2 , k1 = n e k2 = - n R(r) = c3 rn + c4 r -n Para r → 0 escolhe-se c4 = 0, função não diverge em r → 0 R(r) = c3 rn Finalmente: u(r,) = R(r) () > 0 e = n2 𝜃 = 𝑐1 cos 𝑛𝜃 + 𝑐2 sin 𝑛𝜃 R(r) = c3 rn 𝒖𝒏 𝒓, 𝜽 = 𝑛 𝜃 ∗ 𝑅𝑛 (r)= 𝑟 𝑛 𝑐𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑘𝑛 sin 𝑛𝜃 𝒖 𝒓, 𝜽 = 𝒖𝒏 𝒓, 𝜽 ∞ 𝒖 𝒓, 𝜽 = 𝑟 𝑛 𝑐𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑘𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑛=1 =0 𝜃 = 𝑐1 R(r)= c1 ∞ 𝒖 𝒓, 𝜽 = 𝑟 𝑛 𝑐𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑘𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑛=1 𝑴𝒂𝒔: 𝒖 𝒂, 𝜽 = 𝒇(𝜽) ∞ 𝑐0 𝒇 𝜽 = + 𝑎𝑛 𝑐𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑘𝑛 sin 𝑛𝜃 2 𝑛=1 Onde 2𝜋 1 𝑎𝑛 𝑐𝑛 = න 𝑓(𝜃) cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝜋 0 2𝜋 1 𝑎𝑛 𝑘𝑛 = න 𝑓(𝜃) sin 𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝜋 0 Exemplo: f() =(−) ∞ 𝒖 𝒓, 𝜽 = 𝑟 𝑛 𝑐𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑘𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑛=1 2𝜋 Com: 1 𝑎 𝑐𝑛 = න 𝑓(𝜃) cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝜋 0 𝑛 2𝜋 1 𝑎𝑛 𝑘𝑛 = න 𝑓(𝜃) sin 𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝜋 0 Substituindo-se f(): 2𝜋 1 𝑐𝑛 = 𝑛 න (−) cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 1 𝜋𝑎 0 𝑘𝑛 = 𝑛 න (−) sin 𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝜋𝑎 0 Para calcular as integrais a tabela de integrais pode ser útil: Resolução: Problema de Neumann em um retângulo Condições de contorno Sobre as derivadas u/x e u/y A equação a ser resolvida é exatamente a mesma e o método da separação de variáveis e resulta na mesma solução anterior feita para Dirichlet 𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝟐 𝒖 + 𝟐=𝟎 𝟐 𝝏𝒙 𝝏𝒚 u(x,y) = X(x) Y(y) 𝒅𝟐 𝑿 𝟐𝑿 = 𝟎 − 𝒅𝒙𝟐 𝑿 𝒙 = 𝑨. 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝝀𝒙 + 𝑩. 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝝀𝒙 𝒅𝟐 𝒀 𝟐𝒀 = 𝟎 + 𝝀 𝒅𝒚𝟐 𝒀 𝒚 = 𝑪. 𝐜𝐨𝐬 𝝀𝒚 + 𝑫. 𝐬𝐢𝐧 𝝀𝒚 Condições de Contorno de Neumann 𝒖𝒚 𝒙, 𝒃 = 𝟎 𝒖𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝝏𝒖 𝝏𝒙 𝒖𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝝏𝒖 𝝏𝒚 𝒖𝒙 𝒂, 𝒚 = 𝒇(𝒚) 𝒖𝒙 𝟎, 𝒚 = 𝟎 𝒖𝒚 𝒙, 𝟎 = 𝟎 u(x,y) = X(x) Y(y) 𝑿 𝒙 = 𝑨. 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝝀𝒙 + 𝑩. 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝝀𝒙; 𝒀 𝒚 = 𝑪. 𝐜𝐨𝐬 𝝀𝒚 + 𝑫. 𝐬𝐢𝐧 𝝀𝒚 u(x,y) = (𝑨. 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝝀𝒙 + 𝑩. 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝝀𝒙).(𝑪. 𝐜𝐨𝐬 𝝀𝒚 + 𝑫. 𝐬𝐢𝐧 𝝀𝒚) Calculando as derivadas, para depois aplicar as condições de Neumann, iniciando com a derivada em y: 𝝏𝒖 𝒖𝒚 𝒙, 𝒚 = = 𝑋 𝑥 . −𝜆𝐶. sin 𝜆𝑦 + 𝜆𝐷. cos 𝜆𝑦 𝝏𝒚 u(x,y) = (𝑨. 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝝀𝒙 + 𝑩. 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝝀𝒙).(𝑪. 𝐜𝐨𝐬 𝝀𝒚 + 𝑫. 𝐬𝐢𝐧 𝝀𝒚) 𝝏𝒖 𝒖𝒚 𝒙, 𝒚 = = 𝑋 𝑥 . −𝜆𝐶. sin 𝜆𝑦 + 𝜆𝐷. cos 𝜆𝑦 𝝏𝒚 Condições de contorno: 0 𝑢𝑦 𝑥, 0 = 1 𝜕𝑢 = 𝑋 𝑥 . −𝜆𝐶. 𝑠𝑖𝑛 𝜆0 + 𝜆𝐷. 𝑐𝑜𝑠 𝜆0 = 0 𝜕𝑦 𝝏𝒖 𝒖𝒚 𝒙, 𝒚 = = 𝑋 𝑥 . −𝜆𝐶. sin 𝜆𝑦 𝝏𝒚 𝜕𝑢 𝑢𝑦 𝑥, 𝑏 = = 𝑋 𝑥 . −𝜆𝐶. 𝑠𝑖𝑛 𝜆𝑏 = 0 𝜕𝑦 b = n D = 0 ou = 0 𝝀𝒏 = 𝒏𝝅 𝒃 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 un(x,y) = (𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒃 + 𝑩. 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒃 ).(𝑪. 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ) São várias soluções que dependem de n Falta aplicar as condições de contorno para a derivada em x: Aplicar as condições de contorno para a derivada em x: u(x,y) = σ𝒏 un(x,y)= σ𝒏 (𝑨𝒏. 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 + 𝑩𝒏. 𝒔𝒊𝒏𝒉 ).(𝑪𝒏. 𝒄𝒐𝒔 ) 𝒃 𝒃 𝒃 𝜕𝑢 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 = (𝐴𝑛. 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 − 𝐵𝑛. 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥).(𝐶𝑛. 𝑐𝑜𝑠 ) 𝜕𝑥 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑛 0 1 𝜕𝑢 𝑛𝜋 𝑛𝜋0 𝑛𝜋 𝑛𝜋0 𝑛𝜋𝑦 (0,y)= (𝐴𝑛. − 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝐵𝑛. cosh ). (𝐶𝑛. 𝑐𝑜𝑠 )=0 𝜕𝑥 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑛 u(x,y) = σ𝒏 (𝑨𝒏. 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 ).(𝑪𝒏. 𝒄𝒐𝒔 ) 𝒃 𝒃 u(x,y) = σ𝒏 𝑫𝒏 . 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 . 𝒄𝒐𝒔 𝒃 𝒃 Bn= 0 ou n= 0; Cn=0 não é opção 𝑨𝒏.𝑪𝒏 = 𝑫𝒏 u(x,y) = σ𝒏 𝑫𝒏 . 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 . 𝒄𝒐𝒔 𝒃 𝒃 Falta aplicar a condição de contorno para a derivada em x a seguir: 𝜕𝑢 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑎 𝑛𝜋𝑦 𝑎, 𝑦 = 𝐷𝑛 . 𝑠𝑒𝑛ℎ . 𝑐𝑜𝑠 = 𝑓(𝑦) 𝜕𝑥 𝑏 𝑏 𝑏 𝑛 Série de Fourier da função f (y): 𝑛𝜋𝑦 𝑓 𝑦 = 𝐹𝑛 . 𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑛 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑎 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐹𝑛 = 𝐷𝑛 . 𝑠𝑒𝑛ℎ = න 𝑓 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑦 𝑏 𝑏 𝑏 0 𝑏 𝑏 2 1 𝑛𝜋𝑦 𝐷𝑛 = න 𝑓 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑦 𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑛𝜋𝑎 0 𝑏 𝑏 As condições de contorno de Dirichlet indicam o valor que a função solução u (x,y) para a equação diferencial deve ter na fronteira do domínio C. As condições de contorno de Neumann indicam o valor que a derivada função solução u(x,y) para a equação diferencial deve ter na fronteira do domínio C. (ideia de fluxo) Condições de contorno de Dirichlet ∞ 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 u(x,y) = 𝑨𝒏 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒔𝒊𝒏 𝒃 𝒃 𝒏=𝟎 𝑛𝜋𝑎 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐴𝑛 sinh = න 𝑓 𝑦 sin 𝑑𝑦 𝑏 𝑏 0 𝑏 Condições de contorno de Neumann ∞ 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 u(x,y) = 𝑫𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒄𝒐𝒔 𝒃 𝒃 𝒏=𝟎 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑎 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐷𝑛 . 𝑐𝑜𝑠ℎ = න 𝑓 𝑦 sin 𝑑𝑦 𝑏 𝑏 𝑏 0 𝑏
