01/07/2019
Transformadas de Clarke e
Park
Sinal senoidal no tempo e representação fasorial
x(ωt ) = X M sin ω t
X M = amplitude
ω = frequência angular (rad/s)
ω t = argumento (rad)
T=
Plotagem adimensional
Como função no tempo
f =
2π
ω
= Periodo ⇒ x(t ) = x(t + T ), ∀t
1 ω
=
= frequência em Hertz (ciclos/s)
T 2π
ω = 2π f
" avanço de θ "
Defasagem:
" atraso de θ "
01/07/2019
Sinal senoidal no tempo e representação fasorial
Identidade de Euler : e jα = cos α + j sin α
Im
ω
Seja:
u (t ) = U M e
j (ω t +θ )
U
⇒ u (t ) = U M {cos(ω t + θ ) + j sin (ω t + θ )}
UM
θ
Re{u (t )} = Re{U M e j (ω t +θ ) } = U M cos(ω t + θ )
Re
Im{u (t )} = Im{U M e j (ω t +θ ) } = U M sin (ω t + θ )
Fasor girante no tempo : u (t ) = U M e j (ω t +θ ) = U M e jθ e jω t = Ue jω t
Fasor : U = U M e jθ = U M ∠θ
Fasor : X = X M e jθ = X M ∠θ
Sinais senoidais trifásicos no tempo e representação fasorial
van(t)
vbn(t)
vcn(t)
Tensões instantâneas :
van (t ) = Vm cos(ω t ) (V)
vbn (t ) = Vm cos(ω t − 120°) (V)
vcn (t ) = Vm cos(ω t − 240°) (V)
Tensões trifásicas equilibradas
Fasores (eficazes)
Vm = 120 2
Fasores de
Tensões de
fase
Sequência positiva:
a-b-c
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Sinais senoidais trifásicos no tempo e representação fasorial
Tensões de fase
Van =| V p | ∠0°
Vbn =| V p | ∠ − 120°
Vcn =| V p | ∠120°
Todas as tensões de
linha e tensões de fase
(fasores no plano)
Tensões de linha:
Vab = Van − Vbn
=| V p | ∠0°− | V p | ∠ − 120°
=| V p | (1 − (cos(120° ) − j sin (120°))
1
3

=| V | p − | V p |  − j

2
2


= 3 | V p | ∠30°
Transformação de Clarke
Usando o plano, como no caso fasorial, para representar as três tensões instantâneas no tempo:
Tensõesinstantâneas :
va (t ) = Vm cos(ω t ) (V)
vb (t ) = Vm cos(ω t − 120°) (V)
c+
vc (t ) = Vm cos(ω t − 240°) (V)
va (t )
v(t ) = vb (t ) 
vc (t ) 
va (t0 )
v (t0 ) = vb (t0 ) 
vc (t0 ) 
c+
vb(0)
vc(t)
va(0)
va(t)
vb(t)
b+
v (0)
a+
vc(0)
a+
v (t)
b+
 Vm 
v (t0 = 0) = − 0,5Vm 
− 0,5Vm 
Após um período completo de oscilação,
gera-se no plano um lugar geométrico tipo
circunferência.
01/07/2019
Transformação de Clarke
O plano é um espaço vetorial de dimensão 2. Bastam apenas dois vetores de base para
representar qualquer vetor no plano → Usam-se os vetores de base α e β.
b+
c+
β+
a+
a+
Ou
α+
α+
β+
b+
c+
Transformação de Clarke
b+
Dado:
30o
β+
No plano (2D)
vbβ
vb
va
vcα
vbα
vc
zero+
a+
Para sinais trifásicos equilibrados:
vcβ
 v0 (t ) 


v0αβ (t ) = vα (t ) 
 v β (t ) 


v0 (t ) = 0 , ∀ t
vaα = va
vaβ = 0
c+
β+
No espaço 3D
0+
va (t ) 
vabc (t ) = vb (t ) 
vc (t ) 
α+
30o
Componente
homopolar
Devemos achar:
α+
vbα = vb cos(120o ) = − 1 vb
2
vbβ = vb sin(120o ) = 3 vb
2
1
vcα = vc cos(−120o ) = − vc
2
vcβ = vc sin(−120o ) = − 3 vb
2
01/07/2019
Transformação de Clarke
Então
v0 = va + vb + vc
vα = vaα + vbα + vcα = 1va − 1 vb − 1 vc
2
2
vβ = vaβ + vbβ + vc β = 0va + 3 vb − 3 vc
2
2
Transformação de Clarke (Edith Clarke)
 v0 (t ) 
 12 12

 2
v0αβ (t ) = vα (t )  = 1 − 12
3
vβ (t )
0 23


 22
 v0 (t ) 
2


v0αβ (t ) = vα (t )  =
1
3 
vβ (t ) 


0
 va (t )
−  vb (t ) 
−  vc (t ) 
1
2
1
2
3
2
 va (t ) 

−  vb (t ) 
−  vc (t ) 
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
−
Primeira forma:
* Mantém as amplitudes invariantes.
(Amplitudes de va, vb, vc, vα e vβ são iguais)
Segunda forma:
* Mantém as potências invariantes.
(Em circuitos iguais analisados nos dois
domínios)
Transformação de Clarke
v0αβ (t ) = T0αβ vabc (t )
Transformação com potência invariante:
Onde
T0αβ
No sentido inverso:
 2
 2
2
=
1
3
 0

2
2
−1
2
3
2

2 
−1 
2 
3

−
2
2
vabc (t ) = T0−αβ1 v0αβ (t )
Onde
T0−αβ1
 2
 2
2 2
=
3 2
 2
 2



3
1
−
2
2 

−1
− 3 
2
2
1
0
01/07/2019
Transformação de Clarke
Demonstração da transformação
Na representação
a,b,c
Na representação
α, β
Transformação de Park
v (t )
vαβ (t ) =  α 
vα (t )
Sejam as tensões representadas por vα(t) e vβ(t)
ω
q
→ Gira com velocidade ω rad/s
O sistema de coordenadas αβ é estacionário.
β
ω
ω
vαβ (t)
d
α
Seja um novo sistema de coordenadas dq (ortogonal),
tendo a mesma origem do sistema αβ, que gira com
velocidade ω rad/s.
Dadas as coordenadas de vαβ(t) pode-se determinar as
coordenadas dessa mesma tensão no sistema de
coordenadas girante dq, ou seja, vdq(t).
Verifica-se que vdq(t) será constante, ou seja,
vd (t ) Vd 
vdq (t ) = 
 = V  = cte
v
(
t
)
q

  q
01/07/2019
Transformação de Park
ω
q
 vα ( t )   cos θ
- sin θ   v d ( t ) 

 v (t )  = 
 
 β   sin θ cos θ   v q ( t ) 
β
ω
ω
vαβ (t)
vβ
vq
vd
d
θ=ωt
α
vα
Trasformada de Park:
 v d ( t )   cos θ
v dq ( t ) = 
= 
 v q ( t )   - sin θ
vdq (t ) = Tdq vαβ (t )
 cos(θ ) sin(θ ) 
Tdq = 

− sin(θ ) cos(θ )
cos(θ ) − sin(θ )
Tdq−1 = 

 sin(θ ) cos(θ ) 
Transformação de Park
Seja
vα ( t ) = V cos( ω t + θ 0 )
v β ( t ) = V cos( ω t + θ 0 − π / 2 )
v d ( t ) = V cos( ω t ) cos( ω t + θ 0 ) + V sin( ω t ) cos( ω t + θ 0 − π / 2 )
v q ( t ) = −V sin( ω t ) cos( ω t + θ 0 ) + V cos( ω t ) cos( ω t + θ 0 − π / 2 )
v d ( t ) = V cos( θ 0 ) = V d
v q ( t ) = V sin( θ 0 ) = V q
Se
vα ( t ) = V sin( ω t + θ 0 )
v β ( t ) = V sin( ω t + θ 0 − π / 2 )
v d ( t ) = V cos( θ 0 − π
2
v q ( t ) = V sin( θ 0 − π
2
)
)
sin θ   vα ( t ) 


cos θ   v β ( t ) 
01/07/2019
Transformação de Park
Demonstração da transformação
vα ( t ) = V sin( ω t + θ 0 )
v β ( t ) = V sin( ω t + θ 0 − π / 2 )
Na representação
a,b,c
Na representação
α, β
Na representação
d, q
Obs: com V=1 e θ0=0