Questão 1.
𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 30𝑥 + 3
Resolvendo a equação homogenia;
𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
𝑟 2 − 10𝑟 + 25 = 0 → 𝑟 =
𝑟=
10 ± √102 − 4 ⋅ 25
2⋅1
10
→𝑟=5
2
De acordo com a raiz da equação, a solução homogênea é:
𝑦h = 𝑐1 𝑒 5𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 5𝑥
Propondo uma solução da seguinte forma para a solução particular:
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵
Então
→ 𝑦𝑝′′ = 0
𝑦𝑝′ = 𝐴
;
Substituindo na equação diferencial;
−10𝐴 + 25(𝐴𝑥 + 𝐵) = 30𝑥 + 3
−10𝐴 + 25𝐴𝑥 + 25𝐵 = 30𝑥 + 3
25𝐴𝑥 + 25𝐵 − 10𝐴 = 30𝑥 + 3
Da anterior equação podemos obter as seguintes relaciones:
25𝐴 = 30
25𝐵 − 10𝐴 = 3
Resolvendo o sistema:
𝐴=
6
5
E
25𝐵 − 10 ⋅
6
=3
5
25𝐵 − 12 = 3 → 𝐵 =
3
5
Então a solução geral é:
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
𝑦 = 𝑐1 𝑒 5𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 5𝑥 + 𝐴𝑥 + 𝐵
6
3
𝑦 = 𝑐1 𝑒 5𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 5𝑥 + 𝑥 +
5
5
Questão 2
𝑦 ′′ + 3𝑦 = −48𝑥 2 𝑒 3𝑥
Resolvendo a equação homogenia;
𝑦 ′′ + 3𝑦 = 0
𝑟 2 + 3 = 0 → 𝑟 = ±√−3 → 𝑟 = ±√3𝑖
A solução é da forma:
𝑟1 = 𝛼1 + 𝑖𝛽1
, 𝑟2 = 𝛼2 + 𝑖𝛽2
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝛼1𝑥 cos𝛽1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝛼2𝑥 sen𝛽2 𝑥
Então
𝑦ℎ = 𝑐1 cos√3𝑥 + 𝑐2 sen√3𝑥
Propondo uma solução da seguinte forma para a solução particular:
𝑦𝜌 = (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒 3𝑥
Então as derivadas de 𝑦𝑝 , são
𝑦𝑝′ = (2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 3𝑥 + (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒 3𝑥 ⋅ 3
𝑦𝑝′′ = 2𝐴𝑒 3𝑥 + (2𝐴𝑥 + 3)3𝑒 3𝑥 + (2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 3𝑥 3 + (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)9𝑒 3𝑥
Substituindo na equação diferencial;
(2𝐴 + 6𝐴𝑥 + 3𝐵 + 6𝐴𝑥 + 3𝐵 + 9𝐴𝑥 2 + 9𝐵𝑥 + 9𝐶)𝑒 3𝑥 + 3(𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒 3𝑥 = 48𝑥 2 𝑒 3𝑥
(9𝐴𝑥 2 + 3𝐴𝑥 2 + 6𝐴𝑥 + 6𝐴𝑥 + 9𝐵𝑥 + 3𝐵𝑥 + 2𝐴 + 3𝐵 + 3𝐵 + 9𝐶 + 3𝐶)𝑒 3𝑥 = −48𝑥 2 𝑒 3𝑥
12𝐴𝑥 2 + (12𝐴 + 12𝐵)𝑥 + 2𝐴 + 6𝐵 + 12𝐶 = −48𝑥 2 𝑒 3𝑥
Da anterior equação podemos obter as seguintes relaciones:
12𝐴 = −48 → 𝐴 = −4
12𝐴 + 12𝐵 = 0 → 𝐵 = 4
2𝐴 + 6𝐵 + 12𝐶 = 0 → 𝐶 =
4
3
Então a solução particular é
4
𝑦𝑝 = (−4𝑥 2 + 4𝑥 + ) 𝑒 3𝑥
3
Então a solução geral é:
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
4
𝑦 = 𝑐1 cos√3𝑥 + 𝑐2 sen√3𝑥 + (−4𝑥 2 + 4𝑥 + ) 𝑒 3𝑥
3
Questão 3
𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = sen𝑥 + 3cos2𝑥
Resolvendo a equação homogenia;
𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0
𝑟 2 + 2𝑟 + 1 = 0 → 𝑟 =
𝑟=
−2 ± √4 − 4
2
−2
→ 𝑟 = −1
2
De acordo com a raiz da equação, a solução homogênea é:
𝑦h = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −𝑥
Agora obtemos a solução particular pelo método de variação de parâmetros
𝑦𝑝 = 𝑣1 𝑒 −𝑥 + 𝑣2 𝑥𝑒 −𝑥
O sistema associado é:
𝑣1′ 𝑒 −𝑥 + 𝑣2′ 𝑥𝑒 −𝑥 = 0
−𝑣1′ 𝑒 −𝑥 + 𝑣2′ (𝑒 −𝑥 − 𝑥𝑒 −𝑥 ) = sen𝑥 + 3cos2𝑥
Resolvendo o sistema para 𝑣1 e 𝑣2
𝑣1′ = −𝑣2′ 𝑥
𝑣2′ 𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑣2′ (𝑒 −𝑥 − 𝑥𝑒 −𝑥 ) = sen𝑥 + 3cos2𝑥
𝑣2′ 𝑒 −𝑥 = sen𝑥 + 3cos2𝑥 → 𝑣2′ = (sen𝑥 + 3cos2𝑥)𝑒 𝑥
𝑣2 = ∫(sen𝑥 + 3cos2𝑥)𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑣2 = ∫ sen𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ cos2𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
Resolvendo a integral
= ∫ sen𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑒 𝑥 , 𝑣 ′ = sin(𝑥)
= −𝑒 𝑥 cos(𝑥) − ∫ − 𝑒 𝑥 cos(𝑥)𝑑𝑥
= −𝑒 𝑥 cos(𝑥) − (−∫ 𝑒 𝑥 cos(𝑥)𝑑𝑥)
= −𝑒 𝑥 cos(𝑥) − (−(𝑒 𝑥 sin(𝑥) − ∫ 𝑒 𝑥 sin(𝑥)𝑑𝑥))
∫ 𝑒 𝑥 sin(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 cos(𝑥) − (−(𝑒 𝑥 sin(𝑥) − ∫ 𝑒 𝑥 sin(𝑥)𝑑𝑥))
=−
𝑒 𝑥 cos(𝑥) 𝑒 𝑥 sin(𝑥)
+
2
2
Resolvendo a integral
= 3 ∫ cos2𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 3 (
𝑣2 = −
2𝑒 𝑥 sin(2𝑥) + 𝑒 𝑥 cos(2𝑥)
)
5
𝑒 𝑥 cos(𝑥) 𝑒 𝑥 sin(𝑥) 3
+
+ (2𝑒 𝑥 sin(2𝑥) + 𝑒 𝑥 cos(2𝑥))
2
2
5
Para 𝑣1′ = −𝑣2′ 𝑥
𝑣1′ = −(sen𝑥 + 3cos2𝑥)𝑒 𝑥 𝑥
𝑣1 = − ∫(sen𝑥 + 3cos2𝑥)𝑒 𝑥 𝑥 𝑑𝑥
𝑣1 = − ∫ xsen𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 3cos2𝑥𝑒 𝑥 𝑥 𝑑𝑥
1
1
1
𝑣1 = 𝑥 (− 𝑒 𝑥 cos(𝑥) + 𝑒 𝑥 sin(𝑥)) + 𝑒 𝑥 cos(𝑥)
2
2
2
2𝑒 𝑥 𝑥sin(2𝑥) + 𝑒 𝑥 𝑥cos(2𝑥) 3 𝑥
4
− 3(
+ 𝑒 cos(2𝑥) − 𝑒 𝑥 sin(2𝑥))
5
25
25
Então a solução particular é
1
1
1
𝑦𝑝 = [𝑥 (− 𝑒 𝑥 cos(𝑥) + 𝑒 𝑥 sin(𝑥)) + 𝑒 𝑥 cos(𝑥)
2
2
2
2𝑒 𝑥 𝑥sin(2𝑥) + 𝑒 𝑥 𝑥cos(2𝑥) 3 𝑥
4
− 3(
+ 𝑒 cos(2𝑥) − 𝑒 𝑥 sin(2𝑥))] 𝑒 −𝑥
5
25
25
𝑒 𝑥 cos(𝑥) 𝑒 𝑥 sin(𝑥) 3
+ [−
+
+ (2𝑒 𝑥 sin(2𝑥) + 𝑒 𝑥 cos(2𝑥))] 𝑥𝑒 −𝑥
2
2
5
Simplificando
1
12
9
𝑦𝑝 = − cos(𝑥) + sin(2𝑥) − cos(2𝑥)
2
25
25
A solução geral é:
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
1
12
9
𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −𝑥 − cos(𝑥) + sin(2𝑥) − cos(2𝑥)
2
25
25
Questão 4
𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 5𝑦 = 35𝑒 −4𝑥
,
𝑦(0) = −3,
𝑦 ′ (0) = 1
Resolvendo a equação homogenia;
𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 5𝑦 = 0
𝑟 2 − 4𝑟 + 5 = 0
→𝑟=
4 ± √16 − 20
2
𝑟 =2±𝑖
De acordo com a raiz da equação, a solução homogênea é:
𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 2𝑥 cos𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 sen𝑥
Propondo uma solução da seguinte forma para a solução particular:
𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 𝐵𝑥 → 𝑦 ′ = 𝐴𝐵𝑒 𝐵𝑥 , 𝑦 ′′ = 𝐴𝐵2 𝑒 𝐵𝑥
Substituindo na equação diferencial;
𝐴𝐵2 𝑒 𝐵𝑥 − 4𝐴𝐵𝑒 𝐵𝑥 + 5𝐴𝑒 𝐵𝑥 = 35𝑒 −4𝑥
(𝐴𝐵2 − 4𝐴𝐵 + 5𝐴)𝑒 𝐵𝑥 = 35𝑒 −4𝑥
Da anterior equação podemos obter as seguintes relaciones:
𝐵 = −4
𝐴𝐵2 − 4𝐴𝐵 + 5𝐴 = 35 → 𝐴 =
35
37
Então a solução particular é:
𝑦𝑝 =
35𝑒 −4𝑥
37
A solução geral é:
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
𝑦 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 cos𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 sen𝑥 +
35𝑒 −4𝑥
37
Para as condições iniciais obtemos
𝑦(0) = −3,
−3 = 𝑐1 +
35
37
→ 𝑐1 = −
146
37
Para 𝑦 ′ (0) = 1
𝑦 ′ = (−𝑐1 sen𝑥 + 𝑐2 cos𝑥)𝑒 2𝑥 + (𝑐1 cos𝑥 + 𝑐2 sen𝑥)𝑒 2𝑥 ⋅ 2 − 4
35 −4𝑥
𝑒
37
𝑦 ′ (0) = 𝑐2 + 2𝑐1 − 4
𝑐2 − 2
35
=1
37
146
35
−4
=1
37
37
469
𝑐2 =
37
A solução é
𝑦 = (−
146
469
35𝑒 −4𝑥
cos𝑥 +
sen𝑥) 𝑒 2𝑥 +
37
37
37
Questão 5
𝑒𝑥
𝑦 − 2𝑦 + 𝑦 =
1 + 𝑥2
′′
′
Resolvendo a equação homogenia;
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0
𝑟 2 − 2𝑟 + 1 = 0 → 𝑟 =
2 ± √4 − 4
→𝑟=1
2
De acordo com a raiz da equação, a solução homogênea é:
𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥
Agora obtemos a solução particular pelo método de variação de parâmetros
𝑦𝜌 = 𝑣1 𝑒 𝑥 + 𝑣2 𝑥𝑒 𝑥
O sistema associado é
𝑣1′ 𝑒 𝑥 + 𝑣2′ 𝑥𝑒 𝑥 = 0
𝑣1′ 𝑒 𝑥 + 𝑣2′ (𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 ) =
𝑒𝑥
1 + 𝑥2
Resolvendo o sistema para 𝑣1 e 𝑣2
𝑣1′ = −𝑣2′ 𝑥
Substituindo na segunda eq.
−𝑣2′ 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑣2′ (𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 ) =
−𝑣2′ 𝑥 + 𝑣2′ + 𝑥𝑣2′ =
𝑣2′ =
1
1 + 𝑥2
1
1
→
𝑣
=
∫
𝑑𝑥
2
1 + 𝑥2
1 + 𝑥2
𝑣2 = tan−1 (𝑥)
Agora 𝑣1 é
𝑒𝑥
1 + 𝑥2
𝑣1′ = −
1
𝑥
1 + 𝑥2
→
𝑣1 = − ∫
𝑥
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
Fazendo a integral
𝑣1 = − ∫
𝑥
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑢 = 1 + 𝑥 2 → 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
1 1
𝑣1 = − ∫ 𝑑𝑢 →
2 𝑢
𝑣1 = ln (1 + 𝑥 2 )
Então a solução particular é:
𝑦𝜌 = ln (1 + 𝑥 2 )𝑒 𝑥 + tan−1 (𝑥) 𝑥𝑒 𝑥
A solução geral é:
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥 + ln (1 + 𝑥 2 )𝑒 𝑥 + tan−1 (𝑥) 𝑥𝑒 𝑥
𝑦 = [𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + ln (1 + 𝑥 2 ) + tan−1 (𝑥) 𝑥]𝑒 𝑥
Questão 6
𝑦 ′′ + 𝑦 = sec 2 𝑥
Resolvendo a equação homogenia;
𝑦 ′′ + 𝑦 = 0
𝑟2 + 1 = 0
→
𝑟=𝑖
De acordo com a raiz da equação, a solução homogênea é:
𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑥) + 𝑐2 sen(𝑥)
Agora obtemos a solução particular pelo método de variação de parâmetros
𝑦𝑝 = 𝑣1 cos𝑥 + 𝑣2 sen𝑥
O sistema associado é
𝑣1′ cos𝑥 + 𝑣2′ sen𝑥 = 0
→ 𝑣1′ = −tan𝑥𝑣2′
−𝑣1′ sen𝑥 + 𝑣2′ cos𝑥 =
1
cos2 𝑥
Das duas eq. Obtemos
1
cos 2 𝑥
1
(tan 𝑥 sin𝑥 + cos𝑥)𝑣2′ =
cos 2 𝑥
tan𝑥sen𝑥𝑣21 + 𝑣21 cos𝑥 =
sen2 𝑥 + cos 2 𝑥 ′
1
𝑣2 =
cos𝑥
cos 2 𝑥
1
1
1
𝑣2′ =
→ 𝑣2 = ∫
𝑑𝑥 → 𝑣2 = ln (
+ 𝑡𝑎𝑛𝑥 )
cos𝑥
cos𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
Para 𝑣1′
𝑣1′ = −tan𝑥𝑣2′ → 𝑣1′ = −tan𝑥
1
cos𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
cos2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑣1 = − ∫
𝑑𝑥
cos2 𝑥
𝑣1′ = −
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
→ = ∫−
1
1
𝑑𝑢 = −
2
𝑢
𝑢
𝑣1 = −
1
cos (𝑥)
Então a solução particular é:
𝑦𝑝 = −
1
1
cos𝑥 + ln (
+ 𝑡𝑎𝑛𝑥 ) sen𝑥
cos (𝑥)
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑦𝑝 = −1 + ln (
1
+ 𝑡𝑎𝑛𝑥 ) sen𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
A solução geral é:
𝑦 = 𝑐1 cos(𝑥) + 𝑐2 sen(𝑥) + −1 + ln (
1
+ 𝑡𝑎𝑛𝑥 ) sen𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥