Transformadas em Sinais e
Sistemas (BC1509)
Aula 3
Professor: Alain Segundo Potts
alain.segundo@ufabc.edu.br
Sala 742-1
Bibliografia
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares,
Bookman, 1a Ed., 2007.
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais e
Sistemas, McGraw-Hill, 1a e 2ª Ed.
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas,
Bookman, 1a Ed., 2001.
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais
e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2010
Sumário
• Exercícios sobre sinais
Exercícios
1. (1.12 Haykin) A partir do sinal pulso triangular
x(t) descrito a seguir:
Esboce cada um dos seguintes sinais:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x  3t 
x  3t  2 
x  2t  1
x  2 t  2
x  2 t  2
x  3t   x  3t  2 
x(t)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Exercícios
Solução:
x(3t)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.3
-0.2
-0.1
0
x  3t 
0.1
0.2
0.3
x  3t  2 
Exercícios
2. Para cada um
dos seguintes
pares de sinais
determine
o
valor das constantes A, t0 e w
em:
g2  t   Ag1   t  t0  w
Exercícios
• Solução
a) A=2, t0=1, w=1;
b) A=-2, t0=0, w=1/2;
c) A=-1/2, t0=-1, w=2;
 t1  t0
 w  1
t  t0

 t1  1, t1  3
w
 t1  t0  1
 w
 1  t0
 w  1
 t0  1, w  2


3

t
0

 1
 w
Exercícios
3. (1.1 Haykin) Encontre as componentes par e
ímpar de cada um dos seguintes sinais:
a) x  t   cos  t   sin  t   sin  t  cos  t 
b) x  t   1  t 3  cos3 10t 
Exercícios
• Solução: a)
g  t   g  t 
g  t   g  t 
,
g p t  
2
2
cos  t   sin  t   sin  t  cos  t   cos  t   sin  t   sin  t  cos  t 
gi  t  
2
2sin  t   2sin  t  cos  t 
gi  t  
 sin  t   sin  t  cos  t 
2
cos  t   sin  t   sin  t  cos  t   cos  t   sin  t   sin  t  cos  t 
g p t  
2
2
g p  t   cos  t 
1.5
gi  t  
x(t)
1
0.5
0
-0.5
-1
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Exercícios
• Solução: b)
g p t  
g  t   g  t 
,
2
1  t  cos 10t   1   t   cos  10t 
3
gi  t  
g  t   g  t 
2
gi  t  
3
3
3
2
cos3 10t   t 3 cos3 10t   cos3 10t   t 3 cos3 10t  3
gi  t  
 t cos3 10t 
2
1000
1  t  cos 10t   1   t   cos  10t 
3
g p t  
g p  t   cos3 10t 
3
3
2
3
x(t)
800
600
400
200
0
-200
-400
-600
-800
-1000
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Exercícios
3. (1.2 Haykin) Determine se os seguintes sinais
são periódicos. Se forem periódicos encontre
o período fundamental.
2
x
t

cos
 2 t 
a)  
5
b) x  t    w  t  2k 
k 5
onde w  t   tri  t 
Exercícios
• Solução:
1  cos  2at 
2
a) cos  at  
2
x  t   cos 2  at  
1 1
2
 cos  2at   a 
2 2
T
T01 
T
T02 
2
f 01  0, f 02  2 f  MDC  2 f
Função periódica
T0  1  f 0  1
T
T0 1

2 2
x(t)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Exercícios
• Solução
5
b) x  t    w  t  2k 
onde w  t   tri  t 
k 5
x  t   tri  t  10   tri  t  8   tri  t  6   tri  t  4   tri  t  2   tri  t 
= tri  t  2   tri  t  4   tri  t  6   tri  t  8   tri  t  10 
Função não-periódica já que fora do intervalo -5;5 a
função não se repete mais.
Exercícios
4. (1.14 Haykin) Categorize cada um dos
seguintes sinais como sinais de energia ou
potência e encontre a energia ou potência do
sinal.
a)
0  t 1
 t,

x  t   2  t ,
1 t  2
 0,
caso contrário

b)
x  t   5cos  t   sin  5 t  ,
  t  
Exercícios
• Solução:
a)Sinal de energia já que o sinal é limitado no
tempo, pelo que possui energia finita e a
integral converge.

E
 x t 
2
dt

1
2

t3
t2 t3  1 
8 
1 
2
2
E   t dt   (2  t ) dt 
  4t  4      8  8    4  2   
30 
2 3 1 3 
3 
3 
0
1 4 4t t 2
1
2
1 8 7 2
E   
3 3 3 3
Exercícios
• Solução:
b)Sinal de potência já que o sinal é ilimitado e
sua energia também.
Primeiramente devemos calcular o período do
sinal:
x  t   5cos  t   sin  5 t  ,    t  
T01  2;
T01
2
5
T02  
2 5
5
T02
2
1
5
1
f 01  ; f 02   MCD   T  2
2
2
2
Exercícios
1
P  lim
T  T
T
2
 x t 

2
dt
T
2
1
2
1
P   5cos  t   sin  5 t  dt
2 1
1

1
2
2
P     25cos  t   10 cos  t  sin  5 t   sin  5 t   dt 
2  1

1
P
1
1
25
1
2
2
cos

t
dt

5
cos

t
sin
5

t
dt

sin






 5 t  dt



2 1
2 1
1
t sin  2 t 

2
4
P  13

 3cos 4 t   2cos 6 t  
24
t sin 10 t 

2
20
Exercícios
5. (1.15 Haykin) Esboce a forma de onda dos
seguintes sinais:
a) x  t   u  t  1  2u  t   u  t  1
b) y  t   r  t  1  r  t   r  t  2 
Exercícios
• Solução
a)
Exercícios
• Solução
b)
Exercícios
6. (1.17 Haykin) A figura a) mostra um pulso x(t)
que pode ser visto como a superposição de
três pulsos retangulares. Iniciando pelo pulso
retangular g(t) (b) construa a forma de onda
e expresse x(t) em termos de g(t).
Exercícios
• Solução
t
t
x t   g    g    g t 
4
 3