MAT-2454 — C ÁLCULO D IFERENCIAL E I NTEGRAL II — P RIMEIRA L ISTA DE E XERCÍCIOS
1. P OLINÔMIO DE TAYLOR
E XERCÍCIOS
1.1. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.
√
a. 3 8, 2;
b. ln(1, 3);
c. sin(0, 1).
1.2. Mostre que:
x3
a. |sin x − x | ≤
, ∀ x ∈ R;
3!
x2
b. 0 ≤ e − 1 + x +
2
x3
, ∀ x ∈ [0, 1].
2
√
1.3. Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f ( x ) = 3 x em torno de x0 = 1.
x
<
√
1.4. Determine P3 ( x ), o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f ( x ) = 5 x em torno de x0 e
dê a fórmula para o erro E( x ) = f ( x ) − P3 ( x ). Use este polinômio com um x0 conveniente
√
para avaliar 5 34 com erro inferior a 5−2 · 2−15 .
1.5. a. Seja n > 0 um inteiro ímpar. Mostre que
n −1
sin x −
x3
x5
(−1) 2 x n
+
+···+
x−
3!
5!
n!
!
≤
| x n +2 |
, ∀ x ∈ R.
( n + 2) !
b. Avalie sin 1 com erro inferior a 10−5 .
1.6. a. Determine o polinômio de Taylor de ordem n da função f ( x ) = e x em torno de x0 = 0.
b. Avalie e com erro, em módulo, inferior a 10−5 . 6
2n
x2 2n+2
4
2
c. Mostre que e x − 1 + x2 + x2 + x3! + · · · + xn!
≤ e(nx+1)! , ∀ x ∈ R.
d. Avalie Ze0,25 com erro inferior a 2−18 .
1 2
e. Avalie
e x dx com erro inferior a 10−5 .
0
1.7. Seja f : ] a, b[→ R uma função de classe C 2 e suponha que x0 ∈] a, b[ seja um ponto crítico de
f . Mostre que:
a. se f ′′ ( x0 ) > 0, então x0 é um ponto de mínimo local de f ;
b. se f ′′ ( x0 ) < 0, então x0 é um ponto de máximo local de f .
1.8. Seja f : R → R uma função derivável até quarta ordem tal que f (0) = 3, f ′ (0) = −2,
√
f ′′ (0) = 2 e f ′′′ (0) = 4. Suponha que f (4) ( x ) = 1 + 144x4 , para todo x ∈ R. Obtenha
uma aproximação com cinco casas decimais para f (1/3) e determine o erro cometido nessa
aproximação.
1.9. Sejam I um intervalo aberto e f : I → R uma função n vezes derivável em I, onde n ≥ 1.
Suponha que exista um polinômio
Q ( x ) = a n ( x − p ) n + a n −1 ( x − p ) n −1 + . . . + a 1 ( x − p ) + a 0
tal que
f ( x ) − Q( x )
= 0.
( x − p)n
Deduza quem são os coeficientes de Q( x ).
lim
x→ p
1
1.10. Sejam f : R → R uma função infinitamente derivável, a um número real fixado e, para
cada n ≥ 1, Pn o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x0 = a. Seja ainda
En ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) o erro cometido na aproximação de f ( x ) por Pn ( x ). Verifique se as
afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
f ( x ) − Pn ( x )
= 0.
a. Pn é o único polinômio que satisfaz lim
x→a
( x − a)n
b. Para todo n ≥ 1 temos En+1 ( x ) ≤ En ( x ), ∀ x ∈ R.
(k)
c. Se 1 ≤ k ≤ n, então f (k) ( a) = Pn ( a).
1
d. Se | f (n+1) ( x )( x − a)n+1 | ≤ 1, para todo x ∈ R, então | En ( x )| ≤
, ∀ x ∈ R.
( n + 1) !
1.11. Use o seguinte roteiro para provar que e é irracional.
a. Use a Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange para provar que, para cada número
inteiro n ≥ 1, temos
1
1
1
+ Rn ,
e = 1+ + +...+
1! 2!
n!
onde Rn satisfaz 0 < Rn < (n+3 1)! .
b. Suponha, por absurdo, que e seja racional e escreva e = ba , onde a, b são inteiros positivos.
Escolha um número inteiro N tal que N > 3 e N > b. Use o item anterior para concluir
que
a
1
1
= 1+1+ +...+
+ RN .
b
2!
N!
c. Reescreva a igualdade acima para obter
N!R N =
N!
N!
N!
N!
a − 2N! −
−...−
−
.
b
2!
( N − 1)! N!
d. Mostre que cada termo do lado direito da igualdade acima é um número inteiro (aqui a
desigualdade N > b será crucial). Deduza que N!R N também é inteiro.
e. Usando as desigualdades 0 < Rn < (n+3 1)! e N > 3, mostre que 0 < N!R N < 43 . Obtenha
uma contradição e conclua que e não pode ser racional.
R ESPOSTAS
−6 < E < 2 × 10−6 ;
1.1. a. 14519
7200 , 1 × 10
51
−
3
b. 200 , 4 × 10 < E < 9 × 10−3 ;
1
c. 10
, −2 × 10−4 < E < −1 × 10−4 .
1
1.3. 729 308 + 770x − 616x2 + 385x3 −
140x4 + 22x5 .
√
259123
1.4. x0 = 32, 5 34 ≈ 128000
, −2 × 10−6 <
−
7
E < −9 × 10 .
1.5. b. n = 8 (polinômio de grau 7),
sin(1) ≈ 4241/5040.
1.6. b. n = 8 e x = 1 no item anterior,
e ≈ 109601
40320 .
d. n = 5 e x = 12 no item anterior,
e0.25 ≈ 157781/122880.
Z 1
2
2635403
e. n = 7 e
.
e x dx ≈
1801800
0
1
196
−
4
1.8. f 3 ) ≈ 81 , 5 × 10 < E < 8 × 10−4 .
2. C URVAS P LANAS
E XERCÍCIOS
2.1. Desenhe as imagens das seguintes curvas, indicando o sentido de percurso:
a. γ(t) = (1, t), t ∈ R;
c. γ(t) = (sin t, sin2 t), t ∈ R
e. γ(t) = ( 21 , 1 − t), t ∈ [−2, 0]
g. γ(t) = (sec t, tan t), t ∈] − π2 , π2 [
i. γ(t) = (sin t, cos2 t + 2), t ∈ R
MAT–2454 (2022)
b. γ(t) = (cos2 t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π;
d. γ(t) = (2 + cos t, 3 + 4 sin t), t ∈ [−π, π ]
f. γ(t) = (et cos t, et sin t), t ≥ 0
√
h. γ(t) = ( 2 cos t, 2 sin t), t ∈ R
j. γ(t) = (2 + e−t , 3 − et ), t ≥ 0
Página 2
2.2. Esboce e parametrize cada conjunto C como uma curva:
a. C = ( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4, y ≥ − x e y ≥ x
b. C = ( x, y) ∈ R2 : xy = 1, x < 0 e y > −10
y2
( x −1)2
c. C = ( x, y) ∈ R2 : 9 − 4 = 1 e y < 0
d. C = ( x, y) ∈ R2 : d ( x, y), r = d ( x, y), P , sendo P = (0, 3) e r a reta y = 4.
e. C = ( x, y) ∈ R2 : d ( x, y), P + d ( x, y), Q = 10 , sendo P = (2, 0) e Q = (−2, 0).
f. C = ( x, y) ∈ R2 : d ( x, y), P − d ( x, y), Q = 1, x > 0 , com P = (2, 0) e Q = (−2, 0).
Observação. Para os três últimos itens consulte o texto sobre cônicas disponível no site da
disciplina.
2.3. Mostre que a curva γ(t) = (cos t, sin t cos t), t ∈ R tem duas tangentes em (0, 0) e ache suas
equações. Faça um esboço da curva.
√ 2
2.4. Considere f ( x ) = 3 x .
a. Mostre que a função f não é derivável em x = 0.
b. Determine uma curva γ : R → R2 , derivável e cuja imagem seja igual ao gráfico de f .
c. Interprete geometricamente o fato de que f não é derivável em x = 0, mas a curva γ é
derivável em t0 , onde γ(t0 ) = (0, 0).
2.5. Sejam I um intervalo aberto de R e γ : I → R2 uma curva diferenciável. Mostre que, se
existe C ∈ R tal que ∥γ(t)∥ = C, para todo t ∈ I, então γ(t) é ortogonal a γ ′ (t), para todo
t ∈ I. Vale a recíproca? Interprete geometricamente.
2.6. Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada de involuta do círculo. Se o círculo tiver raio r e centro O, a posição inicial de P for (r, 0), e se o parâmetro
θ for escolhido como na Figura 1(a), mostre que as equações paramétricas da involuta são:
x (θ ) = r (cos θ + θ sin θ ) e y(θ ) = r (sin θ − θ cos θ ).
2.7. Considere a curva γ : R → R2 dada por γ(t) = t2 cos(πt), t2 sin(πt) . Sabe-se que a imagem de γ admite, no ponto (4, 0), dois vetores tangentes, unitários e com produto escalar
positivo. Determine o valor desse produto escalar.
2.8. Considere as seguintes afirmações:
I. A imagem da curva γ1 (t) = (cos(2t), sin2 (t)), t ∈ R está contida em uma reta.
II. A imagem da curva γ2 (t) = (e2t , et ), t ∈ R é uma parábola.
III. A imagem da curva γ3 (t) = (et + e−t , et − e−t ), t ∈ R está contida em uma hipérbole.
São corretas apenas as afirmações
a. I;
b. II;
c. III;
d. I e III;
e. II e III.
2.9. Uma circunferência de raio r rola sem escorregar ao longo do eixo Ox. Encontre equações
paramétricas para a curva descrita por um ponto P(θ ) da circunferência que se encontra
inicialmente no origem. (Esta curva é chamada de ciclóide, veja Figura 1(b).)
MAT–2454 (2022)
Página 3
y
T
y
P(θ )
θ
P(θ )
x
θ
x
( A ) Involuta do círculo
( B ) Ciclóide
F IGURA 1. Exercícios 2.6 e 2.9
2.10. Considere a curva plana dada por
γ(t) = (sin(t) − sin(t) cos(t), sin2 (t) + cos(t)), t ∈ [0, 2π ].
Esboce a imagem da curva γ e o sentido do percurso. Sugestão: tente calcular em alguns
pontos e ver se consegue visualizar a curva e o sentido do percurso, depois cheque usando
um aplicativo: desmos, wolframalpha ou outro. O nome dessa curva é “cardioide” - você
vai entender a razão! Agora, determine:
a. o ponto mais à direita da curva;
b. o ponto mais à esquerda da curva;
c. o ponto mais alto da curva;
d. o ponto mais baixo da curva;
e. quais das curvas abaixo têm a mesma imagem que a curva γ
I. σ(t) = (sin2 (t) + cos(t), sin(t) − sin(t) cos(t)), t ∈ [0, 2π ].
II. β(t) = (sin(2t) − sin(2t) cos(2t), sin2 (2t) + cos(2t)), t ∈ [−π/2, π/2].
III. ϕ(t) = (cos(t) − sin(t) cos(t), cos2 (t) + sin(t)), t ∈ [0, 2π ].
√
√
IV. ζ (t) = (t − t 1 − t2 , t2 + 1 − t2 ), t ∈ [−1, 1].
f. Qual o ponto da curva γ mais próximo da origem? E o mais distante?
g. Determine todos os pontos da curva γ cuja reta tangente é paralela à reta x − y = 0. Dê
as equações dessas retas.
R ESPOSTAS
2.2. a. γ(t) = (2 cos t, 2 sin t), t ∈ [ π4 , 3π
4 ];
1
1
b. γ(t) = (t, t ), t ∈] − ∞, − 10 [;
c. γ(t) = (1 + 2 tan t, 3 sec t), t ∈] π2 , 3π
2 [;
1
2
d. γ(t) = (t, 2 (7 − t )), t ∈ R;
√
e. γ(t) = (5 cos√t, 21 sin t), t ∈ [0, 2π [;
15
t
π π
f. γ(t) = ( sec
2 , 2 tan t ), t ∈] − 2 , 2 [.
2.3. y = x e y = − x.
2.4. b. γ(t) = (t3 , t2 ) t ∈ R.
2.8 d.
2 −1
2.7. π
.
π 2 +1
2.10. a. x (t) é máximo para t =
√
γ( 2π
3 )
( 3 4 3 , 14 ).
γ( 4π
3 )
(− 3 4 3 , 14 ).
=
b. x (t) é mínimo para t =
√
=
MAT–2454 (2022)
2π
3 ,
o ponto é
4π
3 ,
o ponto é
c. y(t) é máximo para t =
5π
são
3 , os pontos
√
3 5
5π
γ( 3 ) = (− 4 , 4 )
γ( π3 ) =
π
3 √ou t =
( 43 , 54 ) e
d. y(t) é mínimo para t = π, o ponto é
γ(π ) = (0, −1).
e. As curvas dadas em II e III têm a
mesma imagem que a curva γ. Para
a curva dada em IV, temos Im (ζ ) ⫋
Im (γ). A imagem da curva dada em
I é uma rotação de π/2 da imagem da
curva γ.
f. Os pontos mais distantes da origem
são γ( π2 ) = (1, 1) e γ( 3π
2 ) = (−1, 1);
os pontos mais próximos da origem são
Página 4
γ( 3π
2 ) = (−1, 1); logo as equações (vetoriais)
√ das√retas são:
2− 3 1+2 3
( 4 , 4 ) + λ(1, 1), λ ∈ R,
γ(0) = (0, 1) e γ(π ) = (0, −1).
g. São 3 √pontos√ onde isso ocorre:
γ( π6 ) = ( 2−4 3 , 1+24
γ( 5π
6 )=
3
),
√
2+ 3 1−2 3
( 4 , 4 )
√
√
√
( 2+4 3 , 1−24 3 ) + λ(1, 1), λ ∈ R
e (−1, 1) + λ(1, 1), λ ∈ R.
e
3. F UNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E C URVAS DE NÍVEL
E XERCÍCIOS
3.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:
√
y
1
a. f ( x, y) = x − y;
b. f ( x, y) = arctg( ); c. f ( x, y) = p
;
2
x
x + y2 − 1
x
f. f ( x, y) = ln( xy2 − x3 );
d. f ( x, y) = tan( x − y);
e. f ( x, y) = x ;
y
g. f ( x, y) = ln(16 − 4x2 − y2 ).
3.2. Esboce uma família de curvas de nível das seguintes funções:
p
x+y
;
b. f ( x, y) = x − 1 − y2 ;
a. f ( x, y) =
x−y
2xy2
x2
;
d.
f
(
x,
y
)
=
.
c. f ( x, y) = 2
x − y2
x 2 + y4
3.3. Encontre uma parametrização para a curva de nível k de f nos casos:
p
1
a. f ( x, y) = x + 2y − 3, k = −2; b. f ( x, y) = x − 1 − 2y2 , k = 5; c. f ( x, y) = 2
, k = 1.
x − y2
√
Determine a reta tangente às curvas acima nos pontos ( 12 , 41 ), (6, 0) e ( 2, 1), respectivamente.
3.4. Esboce os gráficos de:
a. f ( x, y) = 1 − x − y;
d. f ( x, y) = 4x2 + y2 ;
g. f ( x, y) = y2 + x;
1
;
j. f ( x, y) = 2
4x + 9y2
1
m. f ( x, y) = 2
;
( x + 2y2 )2
p
p. f ( x, y) = x2 + y2 − 9;
x
;
x2 + 1
2
2
e. f ( x, y) = y − x ;
p
x2 + 9y2 ;
b. f ( x, y) =
c. f ( x, y) =
h. f ( x, y) = xy;
f. f ( x, y) = y2 + 1;
√2 2
i. f ( x, y) = e x +y ;
k. f ( x, y) = ( x − y)2 ;
l. f ( x, y) = x2 + y2 + 2y + 3;
p
n. f ( x, y) = ln(9x2 + y2 ); o. f ( x, y) = 2 − 4 x2 + 4y2 ;
p
p
q. f ( x, y) = x2 + y2 + 1; r. f ( x, y) = y − 2x2 − 1.
3.5. Seja γ(t) = (et + 1, e−t ), para t ∈ R.
a. Desenhe a imagem de γ, indicando o sentido de percurso.
b. A imagem de γ está contida numa curva de nível da função f : R2 → R dada por
f ( x, y) = x2 y2 − 2y − y2 + 4? Em caso afirmativo, em qual nível?
3.6. Considere a curva γ(t) = (sin t, sec2 t − 1),
curva de nível
a.
b.
c.
d.
e.
t ∈ − π2 , π2 . A imagem de γ está contida na
c = 0 da função f ( x, y) = y(1 − x2 );
c = −1 da função f ( x, y) = (y + 1)( x2 − 1);
c = 2 da função f ( x, y) = (y + 1)( x2 − 1);
c = 0 da função f ( x, y) = y(1 − x2 ) + x2 ;
c = −1 da função f ( x, y) = (y + 1)(1 − x2 ).
MAT–2454 (2022)
Página 5
2x2 + 4y2
.
x 2 + y2 + 1
Esboce as curvas de nível de f dos níveis c = 1, c = 2 e c = 3.
Encontre uma curva derivável γ, definida num intervalo I ⊂ R, cuja imagem seja a curva
de nível de f do nível c = 1.
Determine o vetor tangente à curva γ, que você encontrou no item anterior, no ponto
(−1, 0).
Seja Γ : [0, 2π ] → R3 dada por Γ(t) = (sin t, cos t, z(t)). Sabendo que a imagem da curva
está contida no gráfico de f , encontre o vetor tangente a Γ em Γ( π3 ).
3.7. Seja f ( x, y) =
a.
b.
c.
d.
R ESPOSTAS
c. γ(t) = (sec t, tan t), t ∈] −2π , 3π
2 [, t ̸ =
√
√
π
2 .X = ( 2, 1) + λ ( 2, 2), λ ∈ R
d. k = 1: elipse; k = 2: um par de retas
paralelas; k = 3: uma hipérbole.
3.5. b. Sim, no nível 5.
3.6. b.
3.7. a. c = 1: x2 + 3y2 = 1; c = 2: y = 1 e
3.1. a. ( x, y) ∈ R2 : y ≤ x ;
b. ( x, y) ∈ R2 : x ̸= 0 ;
c. ( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1 ;
d. ( x, y) ∈ R2 : y ̸= x + 1+22k π, k ∈
Z ;
e. ( x, y) ∈ R2 : y > 0 ;
f. ( x, y) ∈ R2 : x (y − x )(y + x ) > 0 ;
g. ( x, y) ∈ R2 : 4x2 + y2 < 16 .
3.3. a. γ(t) = (t, 12 (1 − t)), t ∈ R
X = ( 21 , 14 ) + λ(2, −1), λ ∈ R
√ t ), t ∈ [− π , π ]
b. γ(t) = (5 + cos t, sin
2 2
2
y2
y = −1; c = 3: − x3 + 3 = 1;
√ t ), t ∈ [0, 2π ];
b. γ(t) = (sin t, cos
c. (0, √1 );
3
3√
d. ( 12 , −
2
X = (6, 0) + λ(0, 1), λ ∈ R
√
3
3
,
−
2
2 ).
4. L IMITES E C ONTINUIDADE
E XERCÍCIOS
4.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:
x2 y cos( x2 + y2 )
;
x 2 + y2
( x,y)→(0,0)
x2 y
c.
lim
;
d.
lim
;
2
2
4
( x,y)→(0,0) x + y
( x,y)→(0,0) 2x + x2 y + y2
x2 y
2x2 + 3xy + 4y2
e.
lim
;
f.
lim
;
3x2 + 5y2
( x,y)→(0,0) x4 + y2
( x,y)→(0,0)
xy
x4 sin( x2 + y2 )
g.
lim
;
h.
lim
;
x4 + y2
( x,y)→(0,0) x3 − y
( x,y)→(0,0)
( x + y )3
x2
xy
√
;
i.
lim
;
j.
lim
sin
x 2 + y2
( x,y)→(0,0) x2 + y2
( x,y)→(0,0) x2 + y2
x 3 y + y4 + x 4
x3 + sin( x2 + y2 )
k.
lim
;
l.
lim
;
3
( x,y)→(0,0) x3 y − xyp
( x,y)→(0,0) y4 + sin( x2 + y2 )
x 3 y4 + x 5 3 y4
x3 (1 − cos( x2 + y2 ))
m.
lim
;
n.
lim
.
x 6 + y8
( x 2 + y2 )3
( x,y)→(0,0)
( x,y)→(0,0)
a.
lim
xy
( x,y)→(0,0) x2 + y2
x 3 + y3
;
b.
lim
4.2. Decida se os limites abaixo existem, determinando seu valor em caso afirmativo:
sin( x2 + y2 )
a.
lim
;
b.
lim ( x2 + y2 )ln( x2 + y2 );
x 2 + y2
( x,y)→(0,0)
( x,y)→(0,0)
1 1 c.
lim x2 ln(3x2 + y2 ) arctan 2
; d.
lim x2 ln(3x2 + y2 ) arctan 2
.
2
y −x
y − x2
( x,y)→(0,0)
( x,y)→(1,1)
MAT–2454 (2022)
Página 6
4.3. Determine os pontos de continuidade da seguinte função


( x2 − y2 )( x − 1)2


, se ( x, y) ̸= (0, 0) e ( x, y) ̸= (1, 1);

 ( x2 + y2 )[( x − 1)2 + (y − 1)2 ]
f ( x, y) = 1, se ( x, y) = (0, 0);




0, se ( x, y) = (1, 1).
4.4. Seja
f ( x, y) =



x4
x 4 + y2
sin e
−
1
x 2 + y2
, se ( x, y) ̸= (0, 0);

 L, se ( x, y) = (0, 0).
Existe algum número real L para o qual f seja contínua em (0, 0)? Justifique.
4.5. O valor de k que torna a função

( x −1)( x2 +y2 ) − 1

e
,
x 2 + y2
f ( x, y) =

k,
se ( x, y) ̸= (0, 0)
se ( x, y) = (0, 0)
contínua em R2 é
a. −2;
b. −1; c. 0;
d. 1;
e. Não existe tal k.
3( x − 1)2 + ( y − 1)2
.
x 2 − y2
a. Num mesmo sistema de coordenadas, esboce as curvas de nível de f nos níveis k = 1 e
k = 3.
b. Existe lim
f ( x, y)? Justifique.
4.6. Seja f ( x, y) =
( x,y)→(1,1)
p
xy2 + x3 5 y6
4.7. Seja f ( x, y) = p
. Então o limite lim
f ( x, y)
( x,y)→(0,0)
x 4 + y8
√
2
a. é
; b. é +∞; c. não existe; d. é zero; e. é 1.
2
4.8. O valor de
a. 0;
lim
( x,y)→(0,0)
b. 1;
x2
é:
x+y
c. −1;
d. 2;
e. inexistente.
R ESPOSTAS
4.1. a. não existe; b. 0; c. 0; d. não existe; e.
não existe; f. não existe g. não existe; h.
0; i. 0; j. 0; k. não existe; l. 1; m. não
existe; n. 0.
4.2. a. 1; b. 0; c. 0; d. não existe.
4.3. ( x, y) ∈ R2 : ( x, y) ̸= (0, 0) .
MAT–2454 (2022)
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
L = 0.
b.
O limite não existe.
c.
e.
Página 7
5. D ERIVADAS PARCIAIS , D IFERENCIABILIDADE E P LANO TANGENTE
E XERCÍCIOS
5.1. Calcule as derivadas parciais
de primeira ordem das funções:
y
a. f ( x, y) = arctan
;
b. f ( x, y) = ln 1 + cos2 ( xy3 ) .
x
3
5.2. Dada a função f ( x, y) = x ( x2 + y2 )− 2 esin(x
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
2 y)
, ache
∂f
(1, 0).
∂x
Dica. Neste caso, usar a definição de derivada parcial é menos trabalhoso do que aplicar as
regras de derivação.
p
Verifique que a função u( x, y) = ln x2 + y2 é solução da equação de Laplace bidimensional
∂2 u ∂2 u
+ 2 = 0.
∂x2
∂y

2

 xy , se ( x, y) ̸= (0, 0);
2
Seja f ( x, y) = x + y4

0, se ( x, y) = (0, 0).
∂f ∂f
a. Mostre que as derivadas parciais
e
existem em todos os pontos.
∂x ∂y
b. f é contínua em (0,0)?
c. f é diferenciável em (0,0)?

3

 x
, se ( x, y) ̸= (0, 0);
Seja f ( x, y) = x2 + y2

0, se ( x, y) = (0, 0).
a. Mostre que f é contínua em (0, 0).
∂f
∂f
b. Calcule
(0, 0) e (0, 0).
∂x
∂y
c. f é diferenciável em (0, 0)?
∂f ∂f
e
são contínuas em (0, 0)?
d.
∂x ∂y
p
Seja g( x, y) = 3 3x4 + 2y4 . Mostre que g é de classe C 1 em R2 .
5.7. Determine o conjunto de pontos de R2 onde f não é diferenciável,
sendo:
√4 4
p
p
x +y
3
3
3
a. f ( x, y) = x + y ; b. f ( x, y) = x |y|; c. f ( x, y) = e
; d. f ( x, y) = cos( x2 + y2 ).
5.8. Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto
indicado:
2
2
y
a. z = e x +y , no ponto (0, 0, 1);
b. z = e x ln( 2 ), no ponto (3, 2, 0).
p
1
5.9. Mostre que os gráficos das funções f ( x, y) = x2 + y2 e g( x, y) = 10
( x2 + y2 ) + 25 se intersectam no ponto (3, 4, 5) e têm o mesmo plano tangente nesse ponto.
5.10. Determine uma equação do plano que passa pelos pontos (0, 1, 5) e (0, 0, 6) e é tangente ao
gráfico de g( x, y) = x3 y. Existe um só plano?
5.11. Determine k ∈ R para que o plano tangente ao gráfico de f ( x, y) = ln( x2 + ky2 ) no ponto
(2, 1, f (2, 1)) seja perpendicular ao plano 3x + z = 0.
5.12. Seja f :R → R uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície
x
z = xf
passam pela origem.
y
MAT–2454 (2022)
Página 8
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
 2 2

 x y , se ( x, y) ̸= (0, 0);
Considere f ( x, y) = x2 + y4

0, se ( x, y) = (0, 0).
a. Mostre que f é diferenciável em (0, 0).
∂f ∂f
e
são contínuas em (0, 0)?
b. As derivadas parciais
∂x ∂y

3

 xy , se ( x, y) ̸= (0, 0);
2
Seja f ( x, y) = x + y2

0, se ( x, y) = (0, 0).
∂f
∂f
a. Verifique que
(0, y) = y para todo y, e que ( x, 0) = 0, para todo x.
∂x
∂y
∂2 f
∂2 f
b. Verifique que
(0, 0) = 0 e que
(0, 0) = 1.
∂x∂y
∂y∂x
p
Seja f ( x, y) = x x2 + y2 .
a. Verifique que f é de classe C 1 em R2 .
∂2 f
∂2 f
(0, 0) e
(0, 0).
b. Determine, se existirem,
∂x∂y
∂y∂x

1

2
2
2
( x + y ) sin
, se ( x, y) ̸= (0, 0);
x 2 + y2
Seja f ( x, y) =

0, se ( x, y) = (0, 0).
a. Verifique que f é de classe C 1 em R2 .
∂2 f
∂2 f
b. Verifique que
( x, y) =
( x, y), para todo ( x, y) ∈ R2 .
∂x∂y
∂y∂x
∂2 f
c.
é contínua em (0, 0)?
∂x∂y
5.17. Sejam γ : R → R2 e σ : R → R2 dadas por γ(t) = (1, t) e σ(t) = (t, 0) para todo t ∈ R.
Considere ainda F : R2 → R, diferenciável e tal que
F (γ(t)) = −5t2 + t + 1 e F (σ(t)) = t2 , ∀t ∈ R.
Dê a equação do plano tangente ao gráfico de F no ponto ( x0 , y0 ) = (1, 0).
5.18. Sejam f : R → R derivável e F : R2 → R dada por F ( x, y) = x f (y). Considerando apenas
as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
a. O eixo Oy está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma
(0, y0 , F (0, y0 )).
b. O ponto (1, 1, 1) pertence a todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma
(0, y0 , F (0, y0 )).
c. As condições para que o plano z = x + y seja o plano tangente ao gráfico de F em ( x0 , y0 )
são: y0 = 0, f (0) = 1 e x0 f ′ (0) = 1.
d. O plano tangente ao gráfico de F nunca será paralelo ao plano z = 0.
MAT–2454 (2022)
Página 9
5.19. (P2 2019 adaptada) Seja f : R2 → R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco
afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
a. Se | f ( x, y)| ≤ x2 + y2 para todo ( x, y) ∈ R2 , então f é diferenciável em (0, 0).
∂2 f
∂x∂y ( x0 , y0 ) também existe.
∂f
∂f
Se f é uma função de classe C 2 em R2 , então as funções ∂x e ∂y são diferenciáveis em R2 .
∂f
∂2 f
∂f
∂2 f
Se as funções ∂x e ∂y são de classe C 1 em R2 , então ∂x∂y ( x, y) = ∂y∂x ( x, y) para todo
( x, y) ∈ R2 .
b. Se
c.
d.
∂2 f
∂y∂x ( x0 , y0 )
existe, então
e. f pode ser de classe C 2 e satisfazer
∂f
∂x ( x, y )
= x2 + y sin x e
∂f
∂y ( x, y )
= xy2 , para todo
( x, y) ∈ R2 .
R ESPOSTAS
−y
x
e f y ( x, y) = x2 +
x 2 + y2
y2
−y3 sin(2xy3 )
f x ( x, y) = 1+cos2 ( xy3 ) e f y ( x, y)
−3xy2 sin(2xy3 )
.
1+cos2 ( xy3 )
5.1. a. f x ( x, y) =
b.
=
5.2. −2.
5.4. Não é contínua nem diferenciável em
(0, 0).
∂f
∂f
5.5. ∂x (0, 0) = 1 e ∂y (0, 0) = 0; não é diferenciável em (0, 0); nenhumas das derivadas parciais é contínua em (0, 0).
5.7. a. f não é diferenciável em nenhum
ponto da reta y = − x.
b. f não é diferenciável nos pontos da
forma ( a, 0) com a ̸= 0.
c., d. f é diferenciável em R2 pois é de
classe C1 em R2 .
MAT–2454 (2022)
5.8. a. z = 1 e r : X = (0, 0, 1) +
λ(0, 0, 1), λ ∈ R.
b. e3 y − 2z − 2e3 = 0 e r : X =
(3, 2, 0) + λ(0, e3 , −2), λ ∈ R.
5.10. 6x − y − z + 6 = 0 (sim, só um).
5.11. k = 8.
5.13. f x : não; f y : sim.
∂2 f
(0, 0) = 0 e
5.15. b.
∂x∂y
∂2 f
(0, 0) não existe.
∂y∂x
5.16. c. Não é contínua em (0, 0).
5.17. 2x + y − z − 1 = 0
5.18. a. V; b. F; c. V; d. F
5.19. a. V; b. F; c. V; d. V; e. F
Página 10