UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS
LISTA DE EXERCÍCIOS 2
1) Resolva o seguinte problema de valor inicial analiticamente no intervalo de x = 0 a 2 com
y(0) = 1:
𝑑𝑦
= 𝑦𝑥 2 − 1,1𝑦
𝑑𝑥
Utilizando um passo de 0,25 e 0,1, produza um gráfico com os resultados obtidos pelos
métodos de Euler Explícito e Runge-Kutta de 4ª Ordem. Qual método e passo se aproxima
mais da solução analítica?
2) Plote um gráfico e compare os resultados da equação diferencial apresentada na questão
01 utilizando os métodos de Runge-Kutta de 4ª Ordem com o Preditor-Corretor de Euler
Modificado.
3) O modelo matemático que descreve o comportamento de um pêndulo é representado pela
seguinte equação:
0,5
dQ
 56Q  24sen(10t )
dt
Uma pessoa segura o pendulo e o solta, Q= 0 em t = 0 s, a equação diferencial
representada acima, irá mostrar as amplitudes desse movimento. Utilizando um passo de
0,015 s, obtenha um gráfico e encontre em que instante o pêndulo estará na sua segunda
amplitude máxima positiva no intervalo de tempo de 0 a 1,5 segundos. Utilize o método
de Euler Modificado e Runge- Kutta de 4ª Ordem.
4) Supondo que o arrasto seja proporcional ao quadrado da velocidade, podemos modelar a
velocidade de um objeto em queda livre como o paraquedista com a seguinte equação
diferencial:
𝑑𝑣
𝐶𝑑
=𝑔−
𝑣²
𝑑𝑡
𝑚
em que v é a velocidade (m/s), t é o tempo (s), g é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²),
cd é um coeficiente de arrasto de segunda ordem (kg/m) e m é a massa (kg). Resolva para
determinar a velocidade e a distância percorrida na queda por um objeto de 9x10 4g com
um coeficiente de arrasto de 0,225 kg/m. Se a altura inicial for 1 km, determine quando
ele atinge o chão. Obtenha sua solução com (a) o método de Euler e (b) o método RK de
quarta ordem.
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DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS
5) Três bungee jumpers estão ligados entre si. Se as cordas de bungee são idealizadas como
molas lineares (isso é, gorvenadas pela lei de Hooke), é possível deduzir as seguintes
equações diferenciais, com base no balanço de forças,
𝑑2 𝑥1
𝑚1
= 𝑚1 𝑔 + 𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ) − 𝑘1 𝑥1
𝑑𝑡²
𝑚2
𝑑2 𝑥2
= 𝑚2 𝑔 + 𝑘3 (𝑥3 − 𝑥2 ) + 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 )
𝑑𝑡²
𝑚3
𝑑2 𝑥3
= 𝑚3 𝑔 + 𝑘3 (𝑥2 − 𝑥3 )
𝑑𝑡²
Em que 𝑚𝑖 = a massa do i-ésimo saltador (kg), 𝑘𝑖 = a constante da mola para a i-ésima
corda (N/m), 𝑥𝑖 = o deslocamento do i-ésimo saltador medido para baixo a partir de sua
posição de equilíbrio (m) e g = aceleração da gravidade (9,81 m/s²). Resolva essas
equações diferenciais usando Runge-Kutta de 4ª Ordem e esboce um gráfico para
determinar as posições e velocidades dos três saltadores dadas as condições iniciais que
todas as posições e velocidades são nulas em t = 0. Use os seguintes valores dos
parâmetros em seus cálculos: 𝑚1 = 60 kg , 𝑚2 = 70 kg , 𝑚3 = 80 kg, 𝑘1 =𝑘3 = 50 e 𝑘2 = 100
(N/m).
6) A disciplina de Métodos Numéricos de um curso de Engenharia tem 92 alunos inscritos.
Inicialmente, um grupo de 10 alunos resolveu lançar o boato de que o exame iria ser
cancelado. Em média, cada estudante conversa com outros colegas a uma taxa de 2
estudantes/hora, podendo estes já saberem ou não da novidade. Se y representar o número
de estudantes que sabem do boato no instante t (horas), então a taxa de recepção do boato
é dada por:
𝑑𝑦
92 − 𝑦
= 2𝑦(
)
𝑑𝑡
92
Utilizando o método de Euler modificado, calcule o número de estudantes que tomou
conhecimento do boato após 3 horas (use ℎ = 1).
7) O progresso de uma epidemia de gripe numa população de N indivíduos é modelada pelo
seguinte sistema de equações diferenciais:
𝑑𝑥
= −𝛽𝑥𝑦
𝑑𝑡
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DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS
𝑑𝑦
= 𝛽𝑥𝑦 − 𝛼𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧
= 𝛼𝑦
𝑑𝑡
x é o número de pessoas susceptíveis a contrair a gripe, y é o número de pessoas infectadas
e z o número de pessoas imunes, incluindo todos os recuperados, no tempo t. Os
parâmetros α e β são as taxas de recuperação e transmissão (por dia), respectivamente.
Assume-se que a população é fixa, logo novos nascimentos são balanceados pelas mortes.
Considere 𝛼 = 0.05, 𝛽 = 0.0002, 𝑥(0) = 980, 𝑦(0) = 20, 𝑧(0) = 0. Avalie a situação
da população passados 10 dias do começo da epidemia, usando o método de Euler
modificado com ℎ = 5.
8) A concentração de sal (x) em um tanque é dada como uma função do tempo por:
𝑑𝑥
= 37.5 − 3.5𝑥
𝑑𝑡
No instante inicial 𝑡 = 0, a concentração de sal no tanque é 50 g/l. Usando o método de
Runge-Kutta de 4ª ordem e um passo ℎ = 1,5 𝑚𝑖𝑛, determine a concentração de sal após
3 minutos.
9) Se y(t) representar a altitude de uma granada, então esta pode ser descrita pela seguinte
equação diferencial:
𝑦 ′′ (𝑡) = −𝑔 + 0.2𝑦
𝑔 = 9.8
𝑚
𝑠2
representa a aceleração da gravidade.
Sabe-se que a granada é lançada no instante 𝑡 = 0 a partir do chão e que, como a granada
explode após 5 segundos, esta deverá estar a 40 m do chão. Será que, com uma velocidade
inicial de 18 𝑚 ∙ 𝑠 −1, a granada explode antes, depois ou na distância prevista. Resolva o
problema por meio do método de Euler modificado. Utilize ℎ = 2.5.
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DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS
10) Para o problema de valor inicial dado, estime 𝑦(0.2), 𝑦(0.4) e 𝑦(0.6) pelo método de
Runge-Kutta de 4ª ordem e 𝑦(0.8) e 𝑦(1.0) pelo método de Adams-Bashforth de 4ª
ordem.
𝑦 ′ = 0.04𝑦
𝑦(0) = 1000
11) As equações diferenciais abaixo descrevem o comportamento dinâmico da sobrevivência
de duas espécies animais em um mesmo hábitat. A variável 𝑁1 representa o número de
elementos da espécie 1, que é um ser herbívoro para o qual há abundância de elementos,
e a variável 𝑁2 representa o número de elementos da espécie 2, que é o ser predador que
se alimenta da espécie 1. As equações diferenciais que descrevem essa dinâmica são:
𝑑𝑁1 (𝑡)
= 𝛼 ∙ 𝑁1 (𝑡) − 𝛽 ∙ 𝑁1 (𝑡) ∙ 𝑁2 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑁2 (𝑡)
= −𝛾 ∙ 𝑁2 (𝑡) + 𝛿 ∙ 𝑁1 (𝑡) ∙ 𝑁2 (𝑡)
𝑑𝑡
Essas equações estão sujeitas às condições iniciais: em 𝑡 = 0 (início da contagem do
tempo), 𝑁1 = 𝑁1,0 e 𝑁2 = 𝑁2,0 .
Com os valores de 𝛼 = 0.3, 𝛽 = 1⁄90, 𝛾 = 0.2106 e 𝛿 = 0.0002632 e as condições
iniciais 𝑁1,0 = 60 e 𝑁2,0 = 10, deseja-se simular o comportamento temporal das espécies
até 𝑡 = 20 anos. Utilize o método de Runge-Kutta de 4ª ordem com um passo de
integração:
(i) ℎ1 = 2 anos
(ii) ℎ2 = 1 ano