PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
ESCOLA DE ENGENHARIA
ENG1380 SISTEMAS LINEARES
CAPÍTULO 01 LISTA DE EXERCÍCIOS
PROFA. FABRÍCIA NERES BORGES
1.1-1 Determine a energia dos sinais mostrados na Fig. P1.1-1. Comente o efeito na energia da
mudança de sinal, deslocamento temporal ou escalamento (dobro) do sinal. Qual é o efeito na
energia se o sinal for multiplicado por k?
Figura 1: P1.1-1
1.1-3 a) Determine a energia do par de sinais x(t) e y(t) mostrados na Fig. P1.1-3a e P1.1-3b.
Trace e determine a energia dos sinais x(t) + y(t) e x(t)
= y(t).
Você consegue fazer alguma
observação a partir destes resultados? (b) Repita a parte (a) para o par de sinais mostrados na
Fig. P1.1-3c. A sua observação da parte (a) ainda é válida?
1
Figura 2: P1.13
1.1-4 Determine a potência do sinal periódico x(t) mostrado na Fig. P1.1-4. Determine, também,
a potência e o valor rms de:
(a)
=x(t)
(b) 2x(t)
(c) cx(t).
Comente.
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Figura 3: P1.1-4
1.1-5 Determine a potência e o valor rms para cada um dos seguintes sinais:
(a) 5 + 10 cos(100t +π/3)
(b) 10 cos(100t +π/3) + 16 sen(150t + π/5)
(c) 10 cos 5t cos 10t
(d) 10 sen 5t cos 10t
(e) 10 sen 5t cos 10t
(f) ejαt cosω0 t
1.2-1 Para o sinal x(t) mostrado na Fig. P1.2-1, trace os seguintes sinais
(a) x(-t)
(b) x(t+6)
(c) x(3t)
(d) x( 2t )
Figura 4: P1.2-1
1.2-2 Para o sinal x(t) mostrado na Fig. P1.2-2, trace,
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(a) x(t-4)
t
)
(b) x( 1,5
(c) x(-t)
(d) x(2t)
Figura 5: P1.2-2
1.2-3 Na Fig. P1.2-3, expresse os sinais x1 (t), x2 (t), x3 (t), x4 (t) e x5 (t) em termos do sinal x(t)
e suas versões deslocadas no tempo, escalonadas no tempo ou revertidas no tempo.
Figura 6: P1.2-3
1.3-1 Determine se cada uma das seguintes armativas é verdadeira ou falsa. Se a armativa
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for falsa, demonstre por prova analítica ou exemplo.
(a) Todo sinal contínuo no tempo é um sinal analógico.
(b) Todo sinal discreto no tempo é um sinal digital.
1.3-2 Determine se cada uma das seguintes armativas é verdadeira ou falsa. Se a armativa
for falsa, demonstre por prova ou exemplo porque a armativa é falsa.
(a) Todo sinal periódico limitado é um sinal de potência.
(b) Todo sinal de potência limitado é um sinal periódico
(c) Se um sinal de energia x(t) possui energia E, então a energia de x(at) é E/a. Considere a um
número real positivo.
(d) Se um sinal de potência x(t) possui potência P, então a potência de x(at) é P/a. Considere
a um número real positivo.
1.3-6 Seja y1 (t) = y2 (t) = t2 para 0 ≤ t ≤ 1. Observe que esta armativa não implica em y1 (t)
= y2 (t) para todo t.
(a) Dena y1 (t) como um sinal par periódico com período T1 =2. Rascunhe y1 (t) e determine
sua potência.
(b) Projete um sinal periódico ímpar y2 (t) com período T2 =3 e potência igual a um. Descreva
completamente y2 (t) e rascunhe o sinal por, pelo menos, um período completo. [Dica: Existe
um número innito de possíveis soluções para este problema
= você só precisa encontrar uma
delas!].
(c) Podemos criar uma função de valor complexo y3 (t)=y1 (t) + jy2 (t). Determine se este sinal
é periódico ou não. Se sim, determine o período T3 . Se não, justique por que o sinal não é
periódico.
(d) Determine a potência de y3 (t) denido na parte (c). A potência de uma função de valor
R T
1 +2
T
− T2
T →∞
complexo z(t) é P = lim
Z(τ )Z ∗ (τ )dτ .
1.4-2 Expresse cada um dos sinais da Fig. P1.4-2 por uma única expressão para todo t.
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Figura 7: P1.4-2
1.5-1 Determine e rascunhe as componentes pares e ímpares de:
(a) u(t)
(b) tu(t)
(c) sin(ωo t)
(d) cos(ωo t)
(e) cos(ωo t + θ)
(f) sin ωo tu(t)
(g) cos ωo tu(t)
1.6-2 Uma força x(t) atua em uma bola de massa M (Fig. P1.6-2). Mostre que a velocidade v(t)
da bola em qualquer instante t > 0 pode ser determinada se conhecermos a força x(t) durante
todo o intervalos de 0 a t e a velocidade inicial da bola v(0).
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Figura 8: P1.6-2
1.7-1 Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
(a)
dy
2
dt +2y(t)=x (t)
(b)
dy
2
dt +3ty(t)=t x(t)
(c) 3y(t) + 2 = x(t)
(d)
dy
dt
+ y 2 (t) = x(t)
2
(e) ( dy
dt ) + 2y(t) = x(t)
(f)
dy
dt
+ (sin t) (y(t)) =
(g)
dy
dt
+ 2y(t) = x(t) dx
dt
(h) y(t) =
Rt
−∞
dx
dt
+ 2x(t)
x(τ )dτ
1.7-2 Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), explique
com razões quais dos sistemas são sistemas com parâmetros invariantes no tempo e quais são
sistemas com parâmetros variantes no tempo.
(a) y(t) = x(t − 2)
(b) y(t) = x(−t)
(c) y(t) = x(at)
(d) y(t) =
(e) y(t) =
R5
−5
x(τ )dτ
dx 2
dt
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1.7-3 Para um certo sistema LIT com entrada x(t) e saída y(t) e as duas condições iniciais q1 (0)
e q2 (0), as seguintes observações foram realizadas:
x(t)
q1 (0)
q2 (0)
y(t)
0
1
−1
e−t u(t)
0
2
1
e−t (3t + 2)u(t)
u(t)
−1
−1
2u(t)
Determine y(t) quando as duas condições iniciais são zero e a entrada x(t) é como mostrado
na Fig. P1.7-3 [Dica: Existem três causas: a entrada e cada uma das duas condições iniciais.
Devido a propriedade de linearidade, se uma causa for aumentada por um fator k, a resposta a
aquela causa também aumenta pelo mesmo fator k. Além disso, se as causas forem somadas, as
respostas correspondentes também serão somadas.]
Figura 9: P1.7-3
1.7-7 Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais são causais e quais são não causais.
(a) y(t) = x(t − 2)
(b) y(t) = x(−t)
(c) y(t) = x(at), para a>1
(d) y(t) = x(at), para a<1
1.7-8 Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais são inversíveis e quais são não inversíveis. Para os sistemas inversíveis, determine a
relação entrada-saída do sistema inverso.
t
(a) y(t) = ∫−∞
x(τ )dτ
(b) y(t) = xn (t), para x(t) real e n inteiro
(c) y(t) =
dx(t)
dt
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(d) y(t) = 3(3t − 6)
(e) y(t) = cos (x(t))
(f) y(t) =ex(t) , para x(t) real
1.7-11 Um sistema é dado por y(t) =
dx(t−1)
dt
(a) O sistema é estável BIBO? [Dica: Considere a entrada do sistema x(t) uma onda quadrada.]
(b) O sistema é linear? Justique sua resposta.
(c) O sistema é sem memória? Justique sua resposta.
(d) O sistema é causal? Justique sua resposta.
(e) O sistema é invariante no tempo? Justique sua resposta.
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