Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Toledo
Curso de Engenharia Eletrônica
ET45A – Sinais e Sistemas
Prof. Eduardo Vinicius Kuhn
4ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1) A partir da definição, determine e esboce a magnitude e a fase da transformada de
Fourier de
d
a) x(t )  (t  1)  (t  1)
b) x(t )  [u (t  2)  u (t  2)] c) x(t )  e at [u(t )  u(t  T )]
dt
Obs.: Se necessário, utilize o MATLAB®.
2) A partir da definição, calcule e esboce a transformada inversa de Fourier de
 2, 0    2

a) X ()  2()  ( 4)  ( 4)
b) X ()  2, 2    0
 0,
|  | 2.

c)
X(ω)
2
0
0
ω
3) Utilizando a propriedade da dualidade e os pares correspondentes, mostre que
1
j
a) (t )    u ()
b) (t  T )  (t  T )  2cos(T )
2
t 
4) Levando em consideração a propriedade do deslocamento na frequência, determine a
transformada inversa de Fourier do sinal cujo espectro é mostrado na Figura 1.
5) Seja a relação de entrada e saída de um sistema LIT causal e estável dada por
d
y (t )  5 y(t )  2 x(t )
dt
determine o valor final s() da resposta ao degrau s(t ).
6) Determine a resposta em frequência e a resposta ao impulso do sistema descrito pela
seguinte equação diferencial:
d2
d
d
y(t )  3 y(t )  2 y(t )  2 x(t )  x(t )
2
dt
dt
dt
7) Para um filtro LIT causal cuja resposta em frequência H () é mostrada na Figura 2,
determine o sinal de saída y (t ) caso a transforma de Fourier da entrada x(t ) seja
1
X () 
.
2  j
H(ω)
X(ω)
2j
1
5
3
3
Figura 1.
5
ω
1
1
2 j
Figura 2.
1 de 6
ω
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8) Considerando que a relação de entrada e saída de um sistema LIT causal é dada por
d
y (t )  2 y (t )  x(t )
dt
determine:
a) a resposta em frequência H ();
b) o diagrama de BODE (magnitude e fase) do sistema;
c) a transformada de Fourier da saída Y () para
1
X () 
;
(1  j)(2  j)
d) e o sinal de saída y(t ).
9) Determine a equação diferencial que descreve a relação de entrada x(t ) e saída y (t ) do
sistema cuja resposta ao impulso é dada por
h(t )  2e2t u(t )  2te2t u(t ) .
10) Para um sistema LIT cuja resposta ao impulso é dada por
sen(t )
h(t )  2
cos(4t )
t
determine a saída do sistema y (t ) caso a entrada seja x(t )  1  cos(t )  sen(t ).
11) Encontre a transformada de Fourier do seguinte sinal periódico:


x(t )  1  cos  6t  
8

12) Considerando o diagrama de blocos ilustrado na Figura 3(a), determine
matematicamente e esboce X (), C (), S (), H () , R() e Y (). Para tal, assuma
que c(t )  cos(5t ), h(t )  6 sinc(6t ) e que o espectro de x(t ) é dado pela Figura 3(b).
X(ω)
x(t )
X
s (t )
h(t )
r (t )
c(t )
1
y (t )
X

c(t )
(a)

ω
(b)
Figura 3.
13) A partir da definição, obtenha a transformada inversa de Fourier do sinal x(t ) cujo
espectro de magnitude e fase é apresentado na Figura 4(a) e (b), respectivamente.
()
X ()
/2
1
W
W
W
0
W

0
 / 2
(a)
(b)
Figura 4.
14) A partir da propriedade da dualidade, determine a transformada de Fourier de
1
x(t ) 
.
1 t2
2 de 6

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15) Determine e esboce a transformada de Fourier de
x(t )  sinc(100t )  sinc2 (100t ).
16) Assuma que a transformada de Fourier do pulso triangular x(t ) ilustrado na Figura 5 é
dada por
1
X ()  2 (e j  je j  1).

A partir disso e das propriedades conhecidas, determine a transformada de Fourier do
a) sinal xa (t ) ilustrado na Figura 6(a);
b) sinal xb (t ) ilustrado na Figura 6(b); e
c) sinal xc (t ) ilustrado na Figura 6(c).
Vale salientar que é obrigatório o uso das propriedades da transformada de Fourier na
resolução do presente exercício, isto é, não pode ser realizada a integração direta das
funções no domínio do tempo.
x(t )
1
1
t
Figura 5.
xa (t )
xb (t )
1
1
1
1
t
(a)
2
t
(b)
xc (t )
1
1
1
t
(c)
Figura 6.
17) Considere que a saída y (t ) de um sistema linear e invariante no tempo (LIT) causal é
relacionada com a entrada x(t ) através de

d
y(t )  10 y(t )   x() z (t  )d   x(t )

dt
sendo
z (t )  et u(t )  3(t ).
A partir disso, determine
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a) resposta em frequência H () do sistema; e
b) a resposta ao impulso h(t ) do sistema.
18) Considere que a correlação cruzada entre x(t ) e saída y (t ) é definida como
 xy (t )  


x(t  ) y()d .
Então, assumindo que  xy () denota a transformada de Fourier de  xy (t ),
a) determine uma relação entre  xy () e  yx ();
b) obtenha uma expressão para  xy () em função de X () e Y (); e
c) demonstre que  xx () é real e não-negativo para todo .
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RESPOSTAS
b) X ()  2cos(2)
1) a) X ()  2cos()
2)
a) x(t )  1  cos(4 t)
b) x(t ) 
[1  e( a  j)T ]
a  j
4j
sen 2 (t )
t
1
[(t 2 0 2  2)sen(0t )  20t cos(0t )]
3
t
c) x(t ) 
3) a) ------------
b) ------------
2
cos(4t )sinc(t )

4)
x(t ) 
5)
s ( ) 
6)
H () 
7)
y(t )  4e2t u(t )  2(t )
2
5
1
j  1
8) a) H () 
c) Y () 
9)
c) X () 
h(t )  et u(t )
1
2+j
b) ------------
1
(2  j )2 (1  j )
d) y(t )  [et  (1  t ) e2t ]u(t )
d2
d
d
y(t )  4 y(t )  4 y(t )  2 x(t )  2 x(t )
2
dt
dt
dt
10) y(t )  sen(4t )


11) X ()  2()  e j 8 (  6)  e j 8 (  6)
12) C ()  [( 5)  ( 5)]
  
H ()  rect 

 12 
1
Y ()  [ R(  5)  R(  5)]
2
13) x(t ) 
S () 
R() 
1
[1  cos(W t )]
t
5 de 6
1     5 
   5 

  


2   2 
 2  
1     5 
   5  
  

  
  rect 


2   2 
 2  
 12 
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14) Veja o material complementar.
15) Veja o material complementar.
16) Veja o material complementar.
17) Veja o material complementar.
18) Veja o material complementar.
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