CAPÍTULO 1
FUNÇÕES VETORIAIS E REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA DE CURVAS
__________________________________________________________________________
1.
2.
Esboce as curvas definidas parametricamente pelas funções
 2 cos t 
a) F  t   
 , 0  t  2
 3sent 
 1  1 
b) F  t    2  t  1  ,    t  
 0  1 
   
 cos t 


c) F (t )   sent  , 0  t  4
 t 


 2t 
d) F  t     ,  1  t  2
t 
Obtenha uma representação paramétrica das curvas planas dadas pelas seguintes equações
cartesianas
b) 2 x 2  3 y 2  2
a) y  2  x 2
c) x2  y 2  2 x
3.
Sendo 𝐹(𝑡) = (𝑡 − 2, 2𝑡) , t ∈ ℝ, calcule lim F  t  .
4.
Calcule as derivadas F´(t) e F´´(t) de cada uma das seguintes funções vetoriais:
t 1

a) F  t   t,t 2 ,t 3 ,t 4



c) F  t   log 1  t 2 i  arctgt j 

5.


b) F  t   2et ,3et
1
1 t2


k
 
Seja F  t   et ,t . Esboce a curva representada por esta função e obtenha os vetores
F   0  e F  1 .
3
6.


Considere a curva F  t   t ,t 2 ,t 3 , 0  t  1 .
a)
Determine as equações paramétricas e cartesianas da reta tangente à curva descrita
1 1 1
por F, no ponto  , ,  .
 2 4 8
b)
Determine os pontos da curva nos quais o vetor tangente é paralelo ao vetor  4, 4 ,3
7.
Determine os versores da tangente e da normal principal, em cada ponto da espiral cónica

 
descrita por F  t   et cos t i  sent j  k , t ∈ ℝ.
8.
Considere a curva representada por


𝑭(𝑡) = (𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑏 𝑡)
para 𝑡 ≥ 0 e 𝑏 > 0. Construa o triedro de Frenet para essa curva no ponto (0, 0, 0).
9.
Considere a curva de equações paramétricas x  sen 2t , y  2sen2t e z  2 cos t , t   0, 2 
a) Mostre que a curva está sobre uma esfera centrada na origem.
b) Mostre que a norma da projeção do vetor tangente no plano Oxy é constante.
10. Considere a curva representada pela função F  t   1  2 cos t, 2  2sent  , t   0 , 2  .
a) Esboce a curva dada.
b) Determine a(s) reta(s) tangente(s) à curva no(s) ponto(s) onde esta intersecta o eixo dos
xx.
11. Calcule os seguintes integrais:

a) 0 2 F  t dt onde F  t    cos t,sent 
1


b) 0 G (t )dt onde G  t   t ,t 2 ,t 3 .
4
  



1
12. Calcule A  B onde A  2i  4 j  k e B  0 te 2t i  t cosh 2t j  2te 2t k dt .


13. Determine o comprimento de arco das curvas dadas pelas seguintes funções


 
a) F  t   cos 2 t,sen 2t , t   0, 
b) F  t   t 2 , t , t   1,1
c) F  t    t  sent,1  cos t  , t   0 , 2 
d) F  t   2t,t ,t 2 , t   0,2


14. Uma curva é descrita pela equação cartesiana y 2  x3 . Determine o comprimento de arco
da curva compreendida entre os pontos (1, -1) e (1,1).
15. Mostre que o comprimento de arco duma curva representada por uma função real de
variável real, y=f(x), definida num intervalo [a,b], é a 1   f ( x ) dx .
b
2
16. Determine o comprimento de arco compreendido entre a origem O e o ponto P de abcissa
x0 da curva de equações cartesianas y  x2  z  2x3 /3 .
17. Uma partícula move-se no espaço de tal modo que o vetor e posição em cada instante é


dado por r  t   cos t,sent ,et .
a) Esboce a trajetória descrita pela partícula.
b) Determine o vetor velocidade, a velocidade escalar e o vetor aceleração dessa partícula.
18. Uma partícula move-se num plano de tal modo que o vetor de posição em cada instante é
dado por r  t    cosh t,senht  , onde ω é uma constante. Esboce a trajetória da
partícula e determine o seu vetor aceleração.
19. Uma partícula move-se ao longo da elipse de equação cartesiana 3x2  y 2  1 , com vetor
de posição r (t )   f (t ) ,g (t )  , e de tal maneira que a componente horizontal do vetor
velocidade no instante t é –g(t).
a) Qual o sentido do movimento?
b) Verifique que a componente vertical do vetor velocidade no instante t é proporcional a
f(t), e determine o fator de proporcionalidade.
c) Quanto tempo leva a partícula a percorrer a elipse?
5
20. A posição de uma partícula no instante t é definida pelo vetor de posição
r (t )  et  cos t ,sent,1 , t ≥ 0 . Determine:
a) O vetor velocidade e a velocidade no instante inicial, t=0.
b) O vetor aceleração e a aceleração no instante inicial.
c) O versor da tangente, da normal principal e da binormal no ponto onde se inicia o
movimento.
d) A função comprimento de arco que define o espaço percorrido pela partícula desde o
início do seu movimento.
e) O comprimento da trajetória percorrida entre os instantes t=0 e t=1.
21. Quando uma circunferência plana rola, sem deslizar, ao longo de uma reta fixa nesse
plano, um ponto fixo dessa circunferência descreve uma curva plana que se designa por
cicloide.
a) Se a reta for o eixo dos xx e o ponto P  (x, y ) estiver inicialmente na origem do
referencial, mostre que o cicloide pode ser descrito pela função
F    r   sen ,1  cos   .
b) Calcule o comprimento de um arco do cicloide.
c) Defina a função comprimento de arco para o intervalo  0,4  .


22. Considere a curva no espaço dada pela função F  u   cos u,senu,u 2 , u  0 . Supondo
que uma partícula se desloca ao longo dessa curva, a partir do ponto P  (1,0,0) e de tal
modo que a componente segundo Oz do vetor velocidade é constante e igual a 4m / s ,
obtenha o vetor aceleração quando a partícula se encontra no ponto Q  (-1,0, 2 ) .
23. Considere a curva no espaço definida pelas equações cartesianas x  z  x 2  y  x  0 .
Suponha que uma partícula se desloca ao longo dessa curva, de tal modo que a
componente segundo Ox do vetor aceleração é nula. Sabendo que a partícula demora 6s a
percorrer a distância entre os pontos P  (1,0,1) e O  (0,0,0) , quanto tempo decorre
1 2 1
entre a sua passagem em P e a chegada a Q   , ,  .
3 9 3
24. Considere uma curva em ℝ parametrizada em função do comprimento de arco s por
F (s )   x  s  , y  s  , z  s   . Mostre que T (s )  F (s )   x  s  , y  s  ,z   s   .


25. Considere a curva no espaço dada pela função F (u )  cos u, 2senu, 3 cos u , u  0 .
a) Calcule o comprimento de arco dessa curva compreendido entre os pontos
 3 3
 
P  
,1,  e Q  F   .
2
2
 2
b) Parametrize a curva em relação ao comprimento de arco.
6
26. Considere a hélice descrita pela função vetorial F (t )   a cos t,asent,bt  , onde
a,b e  são constantes positivas.
a) Prove que o ângulo que a tangente à hélice faz com o eixo Oz, é constante.
b) Obtenha a curvatura da hélice em cada ponto.
27.
Para cada uma das curvas seguintes obtenha o vetor curvatura e a curvatura nos pontos
indicados:
a) 𝑭(𝑢) = (3𝑢 − 𝑢 , 3 𝑢 , 3𝑢 + 𝑢 )
b) 𝑭(𝑢) = cos 𝑢 , 𝑠𝑒𝑛 𝑢, √3𝑢
28.
𝑢 ∈ ℝ e 𝑃 = 𝑭(2)
𝑢 ∈ ℝ e 𝑃 = 𝑭(𝜋)
Para cada uma das curvas planas seguintes determine os pontos de curvatura máxima:
a)
b)
𝑦= 𝑒
9𝑥 + 4𝑦 = 36
SOLUÇÕES DE ALGUNS EXERCÍCIOS:
2. a)
𝑥=𝑡
𝑦 =2−𝑡
 x  cos t

b) 
2
sent
y
3

𝑡∈ℝ
 x  1  cos t
c) 
 y  sent
t  0, 2 
t   0 , 2 
3. lim F  t    1,2 
t 1

 e F  t    0,2,6t ,12t 2 
b) F   t    2et , 3et  e F   t    2et ,3et 
4. a) F   t   1,2t ,3t 2 , 4t 3

2t 
1 
2t
i
j
k
c) F   t  
2
1 t2
1  t2
1 t2




 
 
2
2 1 t2 
 2 3t  1 
2t
F   t  
i
j
k
2
2
3
2
2
2
1 t
1 t
1 t




5. A curva tem a equação cartesiana y  ln x ; F   0   1,1 e F  1   e,1 .
7
⎧ 𝑥 = +𝛼
⎪
𝑦 = +𝛼
⎨
⎪
⎩ 𝑧= + 𝛼
6. a) Equações paramétricas
𝛼∈ℝ
1

 x  y  4
Equações cartesianas

x  4 z  1

3
3
1 1 1
b) O único ponto da curva é  , ,  .
2 4 8
7. T  t  
1
 cos t  sent ,sent  cos t,1
3
N t  
2
  cos t  sent ,cos t  sent ,0 
2
8.
9.
10. a) Circunferência de centro (1,2) e raio 2. b) Equação da reta tangente y=0.
1 1 1
11. a) 1,1
b)  , , 
2 3 4
12. 0
13. a) 2 2
b)
c) 8
d)
3
3

2 
2 3
14.
13 2 - 4 2  16. s  0 ,t 0   t 0  t 0
27 
3




17. b) v  t   r   t    sent , cos t, e t , v  t   1  e 2t e a  t   r   t    cos t,  sent , e t

18. r   t    2  cosh t, senht 
19. a) Sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
2
b) g   t   3 f  t 
c) t 
 s
3
20. a) v  t   r   t   e t  cos t  sent, cos t  sent, 1 , v  0   3
b) a  t   r   t   e t  2sent, 2 cos t, 1
c) T  0  
1,1,1
3

, 𝑵(0) =

d) s  0 ,t   3 e t  1
√
,
a 0  5
(−1, 1, 0) , 𝑩(0) =
√
(−1, −1, 2)
e) s  0,1  3  e  1
8
 
 t 
 4r 1  cos   
 
 2 
c) s  0,t   
12r  4r cos  t 
 

2
21. b) s  0,2   8r
0  t  2
2  t  4
 2   4

4

,
,0 
22. a 
 4   2 3



24.
25.
26. a) ∢ 𝐹′(𝑡), 𝑘⃗ = 𝜃 tal que cos  
b
2
a b
2
.
b) 𝑘 (𝑡 ) =
27. a)
b)
(2) = −
(4,3,0) e 𝑘(2) =
(𝜋) = (1,0,0) e 𝑘(𝜋) =
28. a) ln √2 ,
√
b) (0, 3) e (0, − 3)
9